Заключительный этап LI Всероссийской олимпиады школьников по математике

45

ОЛИМПИАДЫ

ющие общей глубины потенциальной ямы. Считаем, что Ван-дер-Ваальсовая составляющая U не изменяется, поскольку плотность воды изменяется совсем мало (на 4%). Например, при температуре 0 q С теплота испарения на моль воды $Q_{0}$, согласно приведенной выше таблице, равна 45 кДж моль. Вычислим эту теплоту испарения $Q_{0}$, используя ранее выведенные формулы:

0,857 ˜ 42 U 4,5 R ˜ 273 К $Q_{0} 3 1 R$ ˜ 273 К, откуда $Q_{0} | 45$ кДж моль. Тоже прекрасное совпадение! Можно попробовать применить эту же модель для воды при температуре, близкой к критической (374 q С ), например, при температуре 370 q С 643 К. При таких условиях плотность воды уже в два с половиной раза меньше, чем при 277 К. А это означает, что вклад Ван-дер-Ваальсовой составляющей стал в $2,5^{2} | 6$ раз меньше. Молярная

теплота испарения (согласно данным таблицы) стала равной примерно 7,9 кДж моль. Таким образом,

x ˜ 42 1,6 0,5 R ˜ 643 К 7,9

0, откуда найдется доля x оставшихся «в работе» водородных связей: x = 0,21. Это означает, что от прежнего (в составе холодного льда) количества водородных связей на один моль молекул осталась примерно лишь пятая часть. Иными словами, в среднем на одну молекулу при этих условиях приходится меньше одной водородной связи (критическая температура близка!). Предлагаемое в модели, описывающей тепловые свойства воды, разделение потенциальной энергии взаимодействия молекул на две части позволяет, как видно из приведенных вычислений, получить хорошее соответствие предсказаний модели и экспериментальных данных в широком диапазоне температур от весьма низких до близких к критической.

ОЛИМПИАДЫ

Заключительный этап LI Всероссийской олимпиады школьников по математике

Заключительный этап LI Всероссийской математической олимпиады проходил с 16 по 22 апреля 2025 года на Федеральной территории «Сириус». Участники отметили, что оргкомитет при поддержке традиционных партнеров Всероссийской олимпиады добился очень высокого качества проведения олимпиады. «Сириус» собрал около 500 лучших юных математиков страны, также в онлайн-режиме в олимпиаде приняли участие шестеро школьников из Китая, в этом году — представители провинции Сычуань. Дипломами победителя или призера были награждены представители 29 регионов России, всего 221 участник олимпиады. В следующих трех таблицах отражена успешность решения задач (учтены результаты всех российских участников; решившим задачу здесь считается участник, набравший по этой задаче не меньше 5 баллов из 7 возможных).

9 класс

10 класс

46

11 класс

КВАНТ 2025/№5–6

Границы баллов, необходимых для того, чтобы стать победителем или призером, показаны еще в одной таблице.

ных треугольника не имели общего отрезка границы? С.Берлов

2. Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке E. Точки касания описанных окружностей треугольников ABE и CDE с их общими внешними касательными лежат на окружности Z. Точки касания описанных окружностей треугольников ADE и BCE с их общими внешними касательными лежат на окружности J. Докажите, что центры окружностей Z и J совпадают. А.Терёшин

3. См. задачу М2848 «Задачника «Кванта».

По традиции, в конце олимпиады среди участников был проведен опрос, в котором ребята указали наиболее понравившиеся задачи. В этом задачном «конкурсе красоты» в 9 и 10 классе победила одна и та же задача по теории чисел (задача 3, автор – Таисия Коротченко), в 11 классе лучшей была признана задача по стереометрии (задача 2, автор – Александр Терёшин). Также призовые места заняли следующие задачи: в 9 классе – задачи 4 (2 место) и 5 (3 место), в 10 классе – задачи 7 (2 место) и 1 (3 место), в 11 классе – задачи 4 (2 место) и 8 (3 место). Ниже приводятся условия задач и список победителей заключительного этапа LI Всероссийской олимпиады школьников по математике.

9 класс 1. На прямоугольном листе бумаги провели несколько отрезков, параллельных его сторонам. Эти отрезки разбили лист на несколько прямоугольников, внутри которых нет проведенных линий. Петя хочет провести в каждом из прямоугольников разбиения одну диагональ, разбив его на два треугольника, и окрасить каждый треугольник либо в черный, либо в белый цвет. Верно ли, что он обязательно сможет это сделать так, чтобы никакие два одноцвет-

Условия задач

4. Шахматного короля поставили на клетку доски 8 u 8 и сделали им 64 хода так, что он побывал на всех клетках и вернулся в исходную клетку. В каждый момент времени вычислялось расстояние от центра клетки, в которой находился король, до центра всей доски. Назовем сделанный ход приятным, если в результате хода это расстояние стало меньше, чем было до хода. Найдите наибольшее возможное количество приятных ходов. (Шахматный король за один ход передвигается на клетку, соседнюю по стороне или по углу.) С.Токарев

5. Пусть $P_{1} x$ и $P_{2} x$ – приведенные квадратные трехчлены, а точки $A_{1}$ и $A_{2}$ – соответственно вершины парабол $y P_{1} x$ и $y P_{2} x$. Через m g x будем обозначать наименьшее значение функции g x. Известно, что разности $m P_{1} P_{2} x m P_{1} x$ и $m P_{2} P_{1} x m P_{2} x$ оказались равными положительными числами. Найдите угол между прямой $A_{1} A_{2}$ и прямой, содержащей ось Ox. Н.Агаханов

6. Петя выбрал 100 попарно различных положительных чисел, меньших 1, и расставил их по кругу. Затем он проделывает с ними операции. За одну операцию можно взять три стоящих подряд (именно в таком порядке) числа a, b, c и заменить число b на a b c. При каком наибольшем k Петя мог выбрать исходные числа и сделать несколь-

47

ОЛИМПИАДЫ

ко операций так, чтобы после них среди чисел оказалось k целых? С.Берлов

7. В строку выписаны числа 1, 2, 3, …, 60 (ровно в таком порядке). Игорь и Руслан по очереди ставят знаки «+», «–» и « u » между ними, начинает Игорь; за ход каждый ставит один знак. Когда между каждыми двумя соседними числами поставлен знак, вычисляется значение полученного выражения. Если оно делится на 3, то победа присуждается Игорю, иначе – Руслану. Кто из игроков может выиграть, независимо от действий соперника? И.Ефремов

8. На периметре треугольника ABC выбраны точки $D_{1}, D_{2}, E_{1}, E_{2}, F_{1}, F_{2}$ так, что при обходе периметра точки встречаются в порядке $A, F_{1}, F_{2}, B, D_{1}, D_{2}, C, E_{1}, E_{2}$. Оказалось, что $AD_{1} AD_{2} BE_{1} BE_{2} CF_{1} CF_{2}$. Докажите, что периметры треугольников, образованных тройками прямых $AD_{1}, BE_{1}, CF_{1}$ и $AD_{2}, BE_{2}, CF_{2}$, равны. К.Бельский

10 класс 1. См. задачу М2846 «Задачника «Кванта».

2. Внутри треугольника ABC отмечена точка P. На отрезке AB отмечена точка Q, а на отрезке AC – точка R так, что описанные окружности треугольников BPQ и CPR касаются прямой AP. Через точки B и C провели прямые, проходящие через центр описанной окружности треугольника BPC, а через точки Q и R – прямые, проходящие через центр описанной окружности треугольника PQR. Докажите, что существует окружность, которая касается четырех проведенных прямых. А.Терёшин, А.Кузнецов

3. См. задачу М2848 «Задачника «Кванта».

4. На плоскости отмечены $10^{6}$ точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и проведены все отрезки между ними. Гриша поставил на каждом проведенном отрезке вещественное число, по модулю не превосходящее 1, и для каждой шестерки отмеченных точек посчитал сумму чисел на

всех 15 отрезках, соединяющих их. Оказалось, что каждая такая сумма по модулю не меньше числа C, при этом среди таких сумм есть как положительная, так и отрицательная. При каком наибольшем C это возможно? Г.Челноков

5. Дано натуральное число n. Натуральные числа 1, 2, …, n выписывают на доске в строчку в некотором порядке. У каждых двух стоящих рядом чисел вычисляют их НОД (наибольший общий делитель) и записывают этот НОД на листке. Какое наибольшее количество различных чисел может быть среди всех n – 1 выписанных на листке чисел? И.Богданов

6. При каком наименьшем k для любого многочлена f x степени 100 с вещественными коэффициентами найдется такой многочлен g x степени не выше k с вещественными коэффициентами, что графики y f x и y g x имеют ровно 100 общих точек? А.Кузнецов

7. В программу соревнования входит 25 видов спорта, в каждом из которых определяется один победитель, получающий золотую медаль. В соревновании участвуют 25 спортсменов, каждый – во всех 25 видах спорта. Имеется 25 экспертов, каждый из которых должен сделать прогноз, сколько золотых медалей получит каждый спортсмен, при этом в его прогнозе количества медалей должны являться целыми неотрицательными числами с суммой 25. Эксперта признают компетентным, если он верно угадает количество золотых медалей хотя бы у одного спортсмена. При каком наибольшем k эксперты могут сделать такие прогнозы, что хотя бы k из них будут признаны компетентными независимо от исхода соревнования? М.Федотова

11 класс

8. См. задачу 8 для 9 класса.

9. На доску выписали 777 попарно различных комплексных чисел. Оказалось, что можно ровно 760 способами выбрать два числа a

48

КВАНТ 2025/№5–6

и b, записанных на доске, так, чтобы выполнялось равенство $a^{2} b^{2} 1 2 ab$. Способы, которые отличаются перестановкой чисел, считаются одинаковыми. Докажите, что можно выбрать такие два числа c и d, записанных на доске, что $c^{2} d^{2} 2025 2 cd$. А.Кузнецов

увеличивает каждое из них на 1. Ребята ходят по очереди, начинает Петя. Докажите, что Вася сможет действовать так, чтобы после каждого его хода среди 100 выписанных чисел было не менее пяти положительных, как бы ни играл Петя. С.Берлов

2. См. задачу М2847 «Задачника «Кванта».

3. Четырехугольник ABCD, в котором нет параллельных сторон, вписан в окружность:. В треугольники DAB, ABC, BCD, CDA вписаны окружности $Z_{a}, Z_{b}, Z_{c}, Z_{d}$ соответственно. Проведены общие внешние касательные к окружностям $Z_{a}$ и $Z_{b}, Z_{b}$ и $Z_{c}, Z_{c}$ и $Z_{d}, Z_{d}$ и $Z_{a}$, не содержащие сторон четырехугольника ABCD. Четырехугольник, последовательные стороны которого лежат на четырех проведенных прямых (именно в таком порядке), вписан в окружность *. Докажите, что прямые, соединяющие центры окружностей $Z_{a}$ и $Z_{c}, Z_{b}$ и $Z_{d}$,: и *, пересекаются в одной точке. А.Кузнецов

4. Пару многочленов F x, y и G x, y с целыми коэффициентами назовем важной, если из делимости на 100 обеих разностей F a, b F c, d и G a, b G c, d, где a, b, c, d – целые, следует, что числа a – c и b – d делятся на 100. Существует ли такая важная пара многочленов P x, y, Q x, y, что пара многочленов P x, y xy и Q x, y xy также является важной? А.Голованов

5. См. задачу М2849 «Задачника «Кванта».

6. См. задачу 5 для 10 класса.

7. По кругу выписаны 100 единиц. Петя и Вася играют в игру, каждый делает по $10^{10}$ ходов. Петя каждым своим ходом выбирает 9 стоящих подряд чисел и уменьшает каждое из них на 2. Вася каждым своим ходом выбирает 10 стоящих подряд чисел и

9 класс

8. Пусть f: ¡ o ¡ – непрерывная функция. Хордой будем называть отрезок целой длины, параллельный оси абсцисс, концы которого лежат на графике функции f. Известно, что у графика функции f ровно N хорд, причем среди них есть хорда длины 2025. Найдите наименьшее возможное значение N. А.Кузнецов

Победители олимпиады

Аксенова Елизавета – Санкт-Петербург, Главатских Максим – Республика Татарстан, Ровинский Кирилл – Москва, Буровик Нелли – Санкт-Петербург;

10 класс

Кравченко Роман – Санкт-Петербург, Шишко Андрей – Москва,

Соколов Анатолий – Московская область, Прокудина Арина – Челябинская область;

11 класс

Часовских Иван – Московская область, Коптилин Ратибор – Новосибирская область, Гришко Дмитрий – Москва, Патрушев Василий – Приморский край, Замоторин Илья – Санкт-Петербург.

Публикацию подготовили Н.Агаханов, И.Богданов, П.Кожевников, А.Кузнецов, О.Подлипский, К.Сухов