[习题 M46—M50; F55—F60]

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在本期中，我们继续发表 1970 年全联盟数学和物理奥林匹克竞赛中提出的问题。（提出问题的班级在问题后的括号中标明。）

M46。凸多边形有多少条边与最长对角线的长度相等？ （八）

G·加尔佩林

M47。从数字 1 和 2 开始，它们组成了 $n$ 位数字的路径，因此每两个数字在 $m$ 位中重合，但并非所有五个数字在任何一位数字中都重合。证明

$$\frac{2}{5} \leq \frac{m}{n} \leq \frac{3}{5}.$$

(IX-X)

M48。在锐角三角形 $ABC$ 二分线 $AD$ 中，中线 $BM$ 和高 $CH$ 相交于一点。证明角$BAC$大于45°。 （九）

M49。卡片上写有从 11111 到 99999 的所有五位数字。然后这些卡片按随机顺序一次完整地放置。证明更好的 444,445 位数字不可能是 2 的幂。 （十）

M50。正 $n$ 边形的顶点被涂上多种颜色（每种颜色为一种颜色），因此相同颜色的点可作为正多边形的顶点。证明这些多边形中有两个相等的多边形。 （十）

N·瓦西里耶夫

F55。估计从弓垂直射出的箭将上升的高度。箭重 20 $e$，弦长 1 $m$。弓弦向后拉 5 $cm$。弦张力被认为是恒定的，等于 25 $ke$。 （九）

F56。为什么旗帜会在风中“飘扬”？ (九-十)

F57。两个相同的球通过失重弹簧连接，以相同的速度沿着光滑的水平地板移动，垂直于垂直的墙壁。描述系统与墙壁的碰撞将如何发生。撞击后球将如何移动？球对墙壁的冲击是绝对弹性的，冲击时间与球在外面的振荡周期相比可以忽略不计。 （九）。

F58。在磁场中，直径为$d$、电阻为$r$的圆环从高处落下。环的平面始终是水平的。根据$B=B_0(1+\alpha h)$定律，求场感应随高度变化时圆环下落的稳态速度。 （十）

F59。应移除接线立方体的哪一条边，以便点 $A$ 和 $B$（参见 图）之间的电阻变化尽可能大？立方体所有边的电阻相同。 （八）

B·B·布霍夫采夫

F60。在平面镜中可以看到蜡烛的图像。如果在镜子和蜡烛之间放置一块平行平面的玻璃板，会发生什么？ （八）