人民友谊大学数学入学考试

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帕特里斯·卢穆特巴其他国家大学除了接收来自亚洲、非洲和拉丁美洲国家的学生外，还接收苏联公民。由于大学设有不同的院系，这些院系对数学的要求性质自然也不同。很明显，对未来的物理学家和数学家的要求比对工程师、经济学家或化学家的要求更高。我们这里讲的是1970年物理、数学专业数学入学考试。
这是数学书面作业的一个版本（预制版本，实际上由各种选项的问题组成）。

选项0

1. 找到 z 的所有完整值，其中 $z^2 + (1 + i)z$ 取纯最小值。表示点对应的几何位置，利用平面上的完全数的图像。
2. 已知在$x = 3\frac{3}{4}$处满足不等式$\log_a(x^2 - 3x) > \log_a(4x - x^2)$。解决不平等问题。
3. 正四边形的侧边的二面角等于其底边的二面角的三倍。如果直线的高度为 H，求该直线的体积。
4. 解方程
   $$tg px + tg qx = tg (p + q)x$$
   （$p$和$q$是已知实数）。

$p$和$q$取什么值时它会成为恒等式？
5. 他们独立组群吊运，从事除土作业。如果他们都跑8次，土壤就会被完全清除。如果第一辆自卸车行驶 4 趟，第二辆自卸车行驶 2 趟，第三辆自卸车行驶 16 趟，则土也将被清除。如果第一辆和第三辆自卸车相应行驶 6 趟和 12 趟，那么第二辆自卸车需要行驶多少趟？

乍一看，很明显，这里给出的问题中只有三分之一是技术上繁琐的“经典”竞争型问题。第一个任务很简单，但内容不标准。其余的问题需要非常小的计算成本，并采用合理的方法来解决它们。然而，它们中的每一个都存在某种非隐私的时刻，需要独立方法的要素。

让我们考虑解决这些问题。

1. 这个问题有一个简单、相当自然的解决方案。让我们把复数 z 写成代数形式：$z = x + iy$；然后
   $$z^2 + (1 + i)z = (x + iy)^2 + (1 + i)(x + iy) = x^2 + 2 ixy - y^2 + x + iy + ix - y = x^2 - y^2 + x - y + i(2xy + x + y).$$
   为了使这个数成为纯最小数，其实部等于零是必要且充分的（当然，零也适用于纯最小数）。我们有：
   $$x^2 - y^2 + x - y = 0.$$

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我们将这个差异重写为形式
$(x - y)(x + y + 1) = 0$
我们发现所需的轨迹由两条直线组成：$x - y = 0, x + y + 1 = 0$，如图 1所示。如果我们想用代数表达答案，那么我们将这些直线的方程写成$y = x$和$y = -x - 1$的形式。那么$z$所需的值将由两个等式给出：$z = (1 + i)x$或$z = x - (x + 1)i$。

申请人——通常试图解决这个例子的人——提出了这种方式，而不是这种合乎逻辑且几乎无需计算的解决方案。让我们把 $z^2 + (1 + i)z = bi$;右边$bi$是最小数。现在我们求解二次方程：

$$z = \frac{-(1 + i) \pm \sqrt{2i + 4bi}}{2}.$$

从某种意义上说，解决这个问题的方法是对等式的右边进行变换，这涉及到提取最小数的平方根；他们未能果断地应对这一问题，但正如我们所看到的，通过更成功的方法来完成这项任务，这是不需要的。

2. 例子很简单，但是你需要仔细阅读条件并稍微思考一下。给定条件：不相等

венство выполено при $x = 3\frac{3}{4}$; для чего оно дано? Подставим $x = 3\frac{3}{4}$ в неравенство, получим
$$\log_a \frac{45}{16} > \log_a \frac{15}{16}.$$
Отсюда вывод: $a > 1$. В этом весь смысл данного условия, оно позволяет сразу установить, что $a > 1$. Тепер мы приходим к неравенству $x^2 - 3x > 4x - x^2$; к нему надо присоединить неравенство, характеризующее ОДЗ: $4x - x^2 > 0$. Заметим, что писать еще и неравенство $x^2 - 3x > 0$ незачем, так как оно уже завершено выполняется в силу написанных двух неравенств. Итак, получается система двух неравенств
$$2x^2 - 7x > 0, \quad 4x - x^2 > 0.$$
Первое из них выполняется при $x < 0$ и $x > 3\frac{1}{2}$, второе — при $0 < x < 4$; решением служит инвервал
$$3\frac{1}{2} < x < 4.$$
Эта задача, в общем, совершенное стандартная, дополнительное условие в ней при правильном понимании не условияет, а упрощает задачу. Многие абитриенты решили примерdo конца, но в большинстве случаеев очень его запутали, а некоторые так и уtonули в вычислениях. Именно, игнорируя данное в задаче условия о значении $x = 3\frac{3}{4}$, они рассуждают «по стандарту»: либо $a < 1$, либо $a > 1$. Потом писали полностью условия, определяющие ОДЗ, и получали две системы неравенств:
$$\begin{cases} x^2 - 3x > 0, \\ 4x - x^2 > 0, \\ x^2 - 3x < 4x - x^2 \end{cases}$$
Вместо одной системы из двух неравенств, приходилось решать две системы из трех неравенств каждой и лишь потом учитывать дополнительно-

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电话条件。在这里你可能已经迷路了。

3. 立体测量问题是标准问题，但相当困难。问题不仅在于二面角问题并不总是以递减的方式解决，而且条件不给出单个角度值，而只给出两个这样的值之间的对应关系。一般来说，正四边形帕米达由一个线性尺寸和一个角度尺寸确定。线性尺寸dan是paramid的高度，并且角度尺寸一起表示两个角度之间的对应关系。

许多申请人已经解决了这个问题。换句话说，他们中的一些人根本没有理解问题的本质。将其中一个二面角指定为$\alpha$，另一个指定为$3\alpha$，他们就能够通过角度$\alpha$来表达体积，而不认为这个角度是由问题的条件决定的。

这是该问题的一种可能的解决方案。在 图 2 上，$\alpha$ 表示底边边缘处的二面角，$\beta$ 表示 Paramid 外侧边缘处的二面角，因此 $BK$ 和 $DK$ 是从底面顶点绘制的 Paramid 侧面的高度。在$\beta = 3\alpha$条件下。

为了方便起见，我们还引入了符号 $\gamma$ 来表示 paramid 底部的平面角； $a$表示底边，$h$表示侧面的高度，即paramid的边心线。

立即可以在角度$\alpha$和$\gamma$之间找到对应关系：从三角形$SOL$我们有$\frac{a}{2h} = \cos \alpha$；三角形$SLB$中的相同关系表示如下：$\frac{a}{2h} = \text{ctg} \gamma$。

因此，$\text{ctg} \gamma = \cos \alpha$。由于在考虑三角形 $ABK$ 时我们需要 sin $\gamma$，因此我们通过角度 $\alpha$ 的函数来表达该正弦：

$$\sin \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 + \text{ctg}^2} \gamma} = \frac{1}{\sqrt{1 + \cos^2 \alpha}}.$$

现在，从三角形$ABK$我们有$BK = a \sin \gamma$，从三角形$BKD$$BK = \frac{a}{\sqrt{2} \sin \frac{\beta}{2}}$，从那里有$\sqrt{2} \sin \frac{\beta}{2} = \frac{1}{\sin \gamma}$或$\sqrt{2} \sin \frac{\beta}{2} = \sqrt{1 + \cos^2 \alpha}$。

因此$2 \sin^2 \frac{\beta}{2} = 1 + \cos^2 \alpha$或$1 - 2 \sin^2 \frac{\beta}{2} = -\cos^2 \alpha$，也就是说，明确地

$$\cos \beta = -\cos^2 \alpha.$$

四边形帕拉米德之间的这种有趣的对应关系。在我们的问题 $\beta = 3\alpha$ 中，因此要找到角度 $\alpha$，我们得到方程

$$\cos 3\alpha = -\cos^2 \alpha.$$

可以使用标准方法来解决。用角度函数 $\alpha$ 表达 cos $3\alpha$

$$\cos 3\alpha = 4 \cos^3 \alpha - 3 \cos \alpha,$$

我们得到

$$4 \cos^3 \alpha - 3 \cos \alpha = -\cos^2 \alpha.$$

为简洁起见，我们假设 cos $\alpha = u$，我们得出以下等式：

$$4 u^3 + u^2 - 3 u = 0.$$

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根$u_1 = 0$在我们的问题中没有任何意义；剩下的是一个二次方程

$$4 u^2 + u - 3 = 0$$

根为$u_2 = -1$和$u_3 = \frac{3}{4}$，我们只对后者感兴趣。所以，$\cos \alpha = \frac{3}{4}$；找到这样的$\sin \alpha = \frac{\sqrt{7}}{4}$和$\text{ctg} \alpha = \frac{3}{\sqrt{7}}$很方便。

现在剩下的就是表达原始的体积；我们找到$\frac{a}{2} = H \text{ctg} \alpha$或$a = \frac{6H}{\sqrt{7}}$。因此，

$$V = \frac{1}{3} Ha^2 = \frac{12}{7} H^3.$$

4. 解方程非常简单：

$$\text{tg}(p + q) x = \frac{\text{tg} px + \text{tg} qx}{1 - \text{tg} px \text{tg} qx}.$$

这表明$\text{tg} px + \text{tg} qx = 0$或$\text{tg} px \cdot \text{tg} qx = 0$。因此，在三种情况下均满足该方程：

a) $\text{tg} px + \text{tg} qx = 0$，相当于$\sin (p + q) x = 0$； 6）$\text{tg} px = 0$； 8）$\text{tg} qx = 0$。因此，如果$p + q = 0$，或$p = 0$，或$q = 0$，它会去同一个地方；如果这三个等式都不满足，则方程满足三个系列解：

$$x = \frac{k\pi}{p + q}, \quad x = \frac{k\pi}{p}, \quad x = \frac{k\pi}{q}$$

($k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$).

在详细解决问题时，有必要查明某些指定的解决方案是否可以采用这些案例的形式，因为只有少数解决问题的方案清楚地表明了解决同一地点的所有三种情况。

5. 大部分问题都得到了解决，但往往是以一种繁琐或不合逻辑的方式解决的。让每辆自卸车一次分别清除$\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}$部分土壤。而且

$$\text{obщее количество ручента за единицу. Тогда условие задачи перешдает в виде системы}$$

$$\left\{ \frac{8}{x} + \frac{8}{y} + \frac{8}{z} = 1, \quad \frac{4}{x} + \frac{2}{y} + \frac{16}{z} = 1, \quad \frac{6}{x} + \frac{p}{y} + \frac{12}{z} = 1. \right.$$

这里第二辆自卸车$p$的行程次数未知； $x, y, z$ 也是未知的，但是我们不需要确定。通过一定量的数学观察，我们可以同意将前两个等式除法相加，并将所得方程两边除以 2。我们得到等式

$$\frac{6}{x} + \frac{5}{y} + \frac{12}{z} = 1,$$

通过将其与我们系统的第三个方程进行比较，我们发现飞行次数等于脚后跟：$p = 5$。

对申请人的工作进行分析表明，不同申请人的技术水平当然是不同的。但这不仅是由于一些申请者技术不足，还因为许多正式准备的申请者习惯了标准，不考虑任务的条件。这些条件与有吸引力的条件有最轻微的偏差，即使是在简化的方向上，也会导致混乱，从而导致错误和非理性的决定。

我们为独立解决方案提供书面工作选项（这两个选项是“真实的”，而不是预制的）。

选项1

1. 已知方程$x^3 - 5x^2 + px + 8 = 0$的一个实数根等于另一个方程的根。求 $p$ 以及方程的所有根。

2. 找到 $a$ 不等式的所有值

$$\log_{2a+1}(2x - 1) + \log_a(x + 3) < 0$$

同时执行$x = 1$和$x = 4$。

3. 解决不平等问题

$$\sin x \cdot \cos 2x \cdot \sin 3x \geq 0.$$