第十二届国际中小学生数学奥林匹克竞赛

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第十二届国际小学生数学奥林匹克竞赛

7月8日至22日，第十二届国际数学奥林匹克竞赛在布达佩斯和凯斯特海伊（匈牙利）举行。来自奥地利、英国、保加利亚、匈牙利、荷兰、东德、蒙古、波兰、罗马尼亚、苏联、法国、捷克斯洛伐克、瑞典和南斯拉夫的代表队参加了比赛。每队由八名学生组成。

7月9日，我们的团队抵达布达佩斯。 7月9日晚和7月10日，我们熟悉了这座城市，7月11日，奥林匹克竞赛的所有参赛者搬到了凯斯特尔，7月13日和14日，他们在那里参加了任务解决任务。

和往常一样，在每个完美的一天，参与者必须在 4 小时内解决 3 个问题。您将在注释末尾找到这些任务的文本。每个问题后都会标明该问题是哪个国家提出的，以及该问题的解决方案得多少分。

7月18日，乔尼委员总结了北方比赛的成绩，并讨论了下一届奥运会的举办地点和程序问题。捷克斯洛伐克领导人宣布决定在捷克斯洛伐克举办奥运会。提出了对法规进行个别修改的建议。特别是，建议将一些任务分为两个版本，参与者可以从中选择自己最喜欢的一个。还建议给出现代数学的问题：群论、代数结构、解析几何、向量代数。

7 月 19 日，所有队伍返回布达佩斯，并于 7 月 21 日向获胜者颁发了证书，并举行了奥运会闭幕式。

第十二届国际数学奥林匹克竞赛苏联代表队成员（从左至右）：亚历山大·利涅茨基、安德烈·霍德乌列夫、亚历山大·科尔柳科夫、帕维尔·科皮洛夫、I.S.彼得拉科夫（副队长）、谢尔盖·谢缅科夫、M.I.谢罗夫（队长）、阿列克谢·亚历山德罗夫、维洛·阿尔特莱斯、阿尔卡季·克里莫夫。

根据奥林匹克竞赛的成绩，颁发了7个一级文凭、11个二级文凭和40个三级文凭。

获得37分至40分的参与者将获得第一学位证书。 Andrey KhodULEV（苏联，莫斯科国立大学综合学校；来自加里宁）、Wolfeane Burmeister（东德）、Imre Ruzhe（匈牙利）获得了 40 分。 Silverman Bernard（英格兰）、Arkady Klimov（苏联，莫斯科国立大学综合学校；来自阿尔扎马斯）、Erwin Baymots（匈牙利）各得39分。匈牙利小学生伊姆特万·戈尼齐获得37分。

得分在30分至35分之间的参与者将获得二级学位证书。我们小学生的

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阿列克谢·阿列克萨德罗夫 (Alexey Aleksadrov) 获得 35 分（列宁格勒国立大学寄宿学校九年级）。

得分在19分至28分之间的参与者将获得11级文凭。在我们的队伍中，获得27分的Serdey Semenkov（列宁格勒国立大学寄宿学校10年级）、获得24分的Vello Alpleis（爱沙尼亚苏维埃社会主义共和国塔尔图区新闻中学11年级）和获得24分的Aleksadr Korlyukov（莫斯科国立大学寄宿学校10年级；来自格罗德诺）。

Pavel Kolylov（沃罗涅日，第 58 号学校）和 Aleksadr Linetsky（哈尔科夫，第 27 号学校）未能充分展示自己的能力，分别获得 15 分和 17 分。

总体而言，匈牙利队得分为233分，苏联和东德各221分，南斯拉夫209分，罗马尼亚208分，英格兰180分，保加利亚和捷克斯洛伐克各145分，法国141分，瑞典110分，波兰105分，奥地利104分，荷兰87分，MPR 78分。

现在，苏联代表队所有从学校毕业的成员都参加了莫斯科或列宁格勒大学的比赛，阿列克萨德罗夫即将读完十年级，正在考虑参加在捷克斯洛伐克举行的第十三届国际数学奥林匹克竞赛。彼得拉科夫

第一天提出的任务

1. 给定一个三角形ABC，M是边AB的内点。设$r_1, r_2, r$分别为三角形AMC、BMC、ABC的内切圆半径； $\rho_1, \rho_2, \rho$ 是位于角 ACB 内部的圆的半径，并且分别是三角形 AMC、BMC、ABC 的外部圆的半径。

证明$\frac{r_1 r_2}{\rho_1 \rho_2} = \frac{r}{\rho}$（波兰，5分）。

2. 令$a, b$和$n$为大于1的自然数。数字$a$和$b$是主要的两个数字系统。数字$A_n, B_n$在数字系统中具有相同的表示法$\frac{x_n x_{n-1}}{x_1 x_0}$，基本的$a$和$b$为$x_n \neq 0, x_{n-1} \neq 0$。划掉第一个数字$x_n$后得到的数字称为$A_{n-1}, B_{n-1}$。

证明$a > b$当且仅当$\frac{A_{n-1}}{A_n} < \frac{B_{n-1}}{B_n}$（罗马尼亚，7分）。

3. 实数序列$a_0, a_1, \dots, a_n, \dots$满足条件

$$1 = a_0 \leqslant a_1 \leqslant \dots \leqslant a_n \leqslant \dots$$

(1)

序列$b_1, b_2, \dots, b_n, \dots$定义如下：

$$b_n = \sum_{k=1}^{n} \left(1 - \frac{a_k-1}{a_k}\right) \frac{1}{\sqrt{a_k}}.$$

a) 证明对于所有 $n$ 都有 $0 \leqslant b_n < 2$。

b) 证明对于给定的$c$使得$0 \leqslant c < 2$，存在一个序列$a_0, a_1, \dots, a_n, \dots$满足(1)也满足$b_n > c$对于无限索引集$n$（瑞典，8分）。

第二天提出的问题

4. 找到所有具有以下属性的正数$n$：将集合分为两个集合，使得其中一个集合的所有元素的乘积等于另一个集合的所有元素的乘积（捷克斯洛伐克，6分）。

5. 在三角面体 ABCD DB ⊥ DC 中，从 D 垂到三角形 ABC 平面上的主垂线与该三角形的垂心重合。

证明$(AB + BC + CA)^2 \leqslant 6(AD^2 + BD^2 + CD^2)$。哪个地球体有平局（保加利亚 6 分）？

6. 平面上有 100 个点，其中没有三个点位于同一条直线上。考虑在这些点处具有顶点的所有可能的三角形。

证明其中锐角三角形的比例不会超过70%（苏联，8分）。