Что такое график функции

3

ЧТО ТАКОЕ ГРАФИК ФУНКЦИИ

А. Н. КОЛМОГОРОВ

Здесь продолжается изложение новой,
более общей точки зреня
на хорошего известные из школьной понятия —
функция и ее график.
Начало этого изложения было в статье
«Что такое функция»,
помещенной в первом номере «Кваента».
Для понимания настоящего статьи
необходимо владеть понятями, которые определены в первой статье

1. НАПОМИНАНИЕ И НЕБОЛЬШИЕ ДОПОЛНЕНИЯ

В первом номере журнала по статье «Что такое функция» вы познакомились с современным общим понимением слова функция: функция — это совершенное произвольное отображение некоторого множества $E$ на другое множество $M$. Множество $E$ называется область определения функции, а множество $M$ — множество ее значений. Чтобы задать функцию с областью определения $E$, надо указыть для каждой элемента $x$ этого множества

1* 3

4

$$y = f(x).$$

Каким бы способом мы это ни сделали, мы получим функцию с областью определения $E$. Если множество $E$ состоит из учеников вашего класса, то можно, например, для любого ученика $x$ принять за $y = f(x)$ вторую букву его имени (предполагая, что в классе нет учеников, имя которых состоит из одной-единственной буквы, — хотя я и знал девочку Олю, которое этали просто «О»).

При таком задании функции само собой определится множество ее значений $M$; это множество всех тех объектов $y$, для которых существует хотя один элемент $x$ множество $E$, для которого

$$f(x) = y.$$

Позному, описывая смысл термина функция, можно и не говорить в описании явно о множестве значений. Правильно будет, например, просто сказать, что «функция есть закон, по которой каждому элементу $x$ некоторого множество $E$ поставлен в соответствии в полне определений объекта $y = f(x)$». Мы поддерживаем, впрочем, что все эти описания лучше не считать о ределении ими. Если бы мы захотели в самом деле определить понятие функции через понятие «закона», то с нас потребовали бы точно определение смысл термина «закон» и т. д. Понятие функции будем считать одним из основных понятий математики, смысл которого только поясняется, а не дается формальным определением.

В школе вы привыклились дело только с числовыми, области определения которых состоит из чисел и значения которых является числами. Смысл выражения «числовая функция числового аргумента» не вполне определен. Ведь само понятие числа в школе построено обобщается. Мы оставимся на системе всех действиях их и сел, с которой школьники знакомятся в девятом классе. Действительные функции действительного аргумента и изучаются по примуществу в старших классах средней шкoles. Их графики вы умеете вычерчивать на «числовой плоскости».

В школьных учебниках пишут, что «числовая плоскость» — это такая плоскость, на котором неotropым определенным образом введены координаты. Если верить учебником буквально, то числовых плоскостей очень много. Провода на классной доске оси координат, учитель превращает в «числовую плоскость» плоскость этой доски; ученики на страницах своих терради изготовляют все новые «числовые плоскости», иногда по несколько на одной странице!

В п. 3 этой статьи вы узнали, с какой числовой плоскостью в действительности имеют дело математики. Но сначала мне хочеется сделать одно дополнительное замечание к изложению статьи «Что такое функция».

В школьном курсе алгебры чаще всего имеют дело с функциями, заданными «аналитически» при помощи формулы. Области определения такой функции, если не сказано ничего другого, считается множеством всех тех значений аргумента, для которых все предписанные формулы операции над числами выполнимы. Будем, например, как это принято в школе, счи-

*) Из первой статьи знаете, что значения функции могут быть не только числами, но и динамины, мальчики или девочками, вообще любыми предметами, или, как приято говорить, «объектами».

5

табл. знак $V$ знаком «арифметического» квадратного корня. Ясно, что формула

$$y = f(x) = (\sqrt{x})^2$$

(1)

позволяет вычислить по заданному $x$ соответствующее ему значение $y$ лишь при неотрицательном $x$ (инначе квадратный корень «не извлекается»).

При неотрицательном $x$

$$y = f(x) = x.$$

(2)

Формула (2) проще, чем формула (1), и хотелось бы ее считать формулой, определяющей нашу функцию. Но область определения функции, заданной формулой (2), состоит не из одних неотрицательных чисел $x$, а из всех чисел $x$. Если мы хотим дать новое определение той самой функции, которая определена формулой (1), надо написать

$$y = f(x) = \begin{cases} x \text{ при } x \geq 0, \\ \text{ не определена при } x < 0. \end{cases}$$

(3)

Подобным же образом функцию $g(x) = \frac{x^3 - 1}{x - 1}$ можно записать так:

$$g(x) = \begin{cases} x^2 + x + 1 \text{ при } x \neq 1, \\ \text{ не определена при } x = 1. \end{cases}$$

(4)

На школьных и взовских экзаменах требуется полной точности в подобных вопросах.

2. ГРАФИК ФУНКЦИИ

Рассмотрим следующий график декурств (см. № 1 «Кванта», стр. 29):

| | Пн | Вт | Ср | Чт | Пт | Сб | Вс |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| Петя | | | | | | | |
| Коля | | | | | | | |
| Саша | | | | | | | |
| Волода | | | | | | | |

Мы уже знаем, что это график функции: имя декурного можно считать функцией дня недели. Так как дней недели сеть, а мальчиков четыре, то мы нарисовали

$$7 \times 4 = 28$$

клеточек, но закрашили красным только семь из этих клеточек. Если бы мальчики решили расположить свои имена по алфавиту, то получилась бы таблица, приведенная на стр. 6. Выглядит она по-другому, но изобразает то же самое распределение декурств — ту же самую функцию.

6

В обеих табликах 28 клеточки соответствуют 28 возможным парам (день недели, мальчик).

Из этих 28 пар выделены семь пар
(пн, Петя), (вт, Коля), (cp, Саша), (чт, Волода),
(пт, Петя), (сб, Коля), (вс, Саша),

т. е. все пары, в которых день недели соединен с джурным на этот день:
(день недели, джурный на этот день),

или абстрактно: пары вида
$(x, f(x))$.

Только выбор этих пар и существен для задания функций.
После этого примера вам, быть может, не показется необходимым такое определение:
Графиком функции $f$ называется множество всех таких пар $*$
$(x, y)$,
что: 1) первый элемент пары $x$ принадлежит области определения функции,
2) второй элемент пары
$$y = f(x).$$

| | Пн | Вт | Ср | Чт | Пт | Сб | Вс |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| Волода | | | | | | | |
| Коля | | | | | | | |
| Петя | | | | | | | |
| Саша | | | | | | | |

В нашем примере график функции $f$:
$$\Gamma_f = \{(пн, Петя), (вт, Коля), (cp, Саша), (чт, Волода), (пт, Петя), (сб, Коля), (вс, Саша)\}.$$
Для функций, заданных таблией

| $x$ | $f_1$ | $f_2$ | $f_3$ | $f_4$ |
| :— | :— | :— | :— | :— |
| $A$ | $A$ | $B$ | $A$ | $B$ |
| $B$ | $A$ | $B$ | $B$ | $A$ |

*) Всюду в этой статье имеются в виду «упорядоченные пары». Пара (1,2) отличается от пары (2,1). Первый и второй элементы пары могут и совпадать: (1,1) или (2,2) — тоже пары.

7

в соответствии с данными определением получим графики

$$\Gamma_1 = \{(A, A), (B, A)\}, \quad \Gamma_2 = \{(A, B), (B, B)\}, \quad \Gamma_3 = \{(A, A), (B, B)\}, \quad \Gamma_4 = \{(A, B), (B, A)\}.$$

Ясно, что для функции с конечной области определения число элементов графика (т. е. число входящих в график пар) равно числу элементов области определения функции. Для функции с бесконечной области определения все пары

$$(x, f(x))$$

выписать нельзя. Приходится описывать эти пары при помощи их свойств. Например, для функции

$$y = f(x) = \sqrt{1-x^2}$$

график состоит из всех пар $(x, y)$, для которых выполнен два условия

$$x^2 + y^2 = 1 \text{ и } y \geq 0.$$

Это определение графика функции можно записать в виде

$$\Gamma_f = \{(x, y) | x^2 + y^2 = 1, \ y \geq 0\}.$$

Само общее определение графика функции $f$ можно записать в виде такой формулы *):

$$\Gamma_f = \{(x, y) | y = f(x)\}.$$

Определив график функции как множество пар, каждая из которых состоит из значения аргумента и значения функции, соответствующего этому значению аргумента, мы освободили понятие графика от всего случайного. В этом абстрактном понимании у каждой функции имеется один-eдинственный график.

3. ЧИСЛОВАЯ ПЛОСКОСТЬ

Обратимся к наиболее общным в школе действительным функциям действительного переменного. В школе вы привели к тому, что графиком такой функции $f$ называется множество тех точек $P(x, y)$ числовой плоскости, координаты которых $x$ и $y$ удовлетворяют равенству

$$y = f(x).$$

Эта формулировка и общее определение графика, данное выше, в п. 2, похожи, но слегка отличются. В п. 2 говорится о множестве пар $(x, y)$, а в общном школьном определении — о множестве точек $P$ с координатами $x$ и $y$. Но нет ли возможность привести эти две формулировки к полному согласию?

*) Мы пользовемся стандартным обозначением, принятым в теории множеств.

$$\{x | A(x)\}$$

обозначет множество всех объектов $x$, удовлетворяющих условию $A(x)$. Например, $\{x | x^2 = 1\}$ — множество всех $x$, для которых $x^2 = 1$, т. е. множество из двух чисел: $\{1, -1\}$.

8

Оказывается, это очень просто. Это простое решение и получило всеобщое распространение в современной научной литературе. По определению и считают, что числовая плоскость есть множество всех пар действительных чисел. Числовую плоскость обозначают $R^2$. Ее определение можно символически записать

$$R^2 = \{x, y \mid x \in R, y \in R\}.$$

Немного подумав, вы сами убедитесь в том, что при таком определении числовой плоскости обычно школьное определение графика действительного функции действительного переменного становится частью общего определения, данного в п. 2.

Обозначение $P(x, y)$ для точки с координатами $x$ и $y$ делает теперь излишним. Точками числовой плоскости в новом понимании является простое сaml пар чисел $(x, y)$. Можно говорить просто о «точке $(0, 0)$» (начало координат), о точках $(1, 2), (-2, -1)$ и т. д.

Не лише заметить, что и термин «числовая прямая» надо теперь придать новый смысл: числовая прямая это просто само множество действительных чисел $R$. Естественно, что точки числовой прямой при этом надо считать простое сaml действительные числа. Obviously в школьных учебниках этого не говорят прямо, но часто употребляют в применении к числам геометрической языке: множество чисел

$$[a, b] = \{x \mid a \leqslant x \leqslant b\}$$

называют «отрезком», говорят, что «точка» 2 принадлежит «отрезку» [1, 3] и т. п.

Любое множество точек числовой плоскости будем называть расположенной на числовой плоскости геометрической фигурой. Такова, например, окружность с центром $(0, 0)$ и радиусом единица: это множество точек, т. е. пар чисел $(x, y)$, для которых

$$x^2 + y^2 = 1.$$

Естественно, что точки и геометрические фигуры числовой плоскости можно наглядно изображать на чертеже. Для этого на реализной плоскости (листе бумаги или классной доске) выбирают оси координат и точку числовой плоскости $(x, y)$ изображают реальный точкой с координатами $x$ и $y$. Конечно, такое изображение может быть только приближенным. Начерченые на бумаге или классной доске графики являются лишь приближенными изображениями «настоящих» графиков функций, которые в нашем пониманиисут простое подмножества числовой плоскости. К этим «настоящим» графикам и относится утверждение, что функция полностью определяется своим графиком.

Пусть задано множество пар

$$M = \{(x, y)\}.$$

Таким множествором, например, является любая «фигура» на числовой плоскости. Что надо дополнительно потребовать, чтобы это множество пар было графиком некоторой функции?

9

Ответ не сложен: для этого необходимо и достаточно, чтобы в множество $M$ нельзя было найти две пары $(x, y_1)$ и $(x, y_2)$ с общим первым элементом $x$ и различными вторыми элементами $y_1 \neq y_2$. (Проведите доказательство сами.) На рис. 1 красная кривая есть график функции, а черная графиком не является.

Множество пар $(x, y)$, в котором не существует двух пар вида $(x, y_1), (x, y_2), y_1 \neq y_2$, можно назвать функциональным графиком. Заметьте, что мы сейчас определяли «функциональный график», не пользоваться понятием «функции». Нельзя ли с этой стороны дать формульное определение и самого понятия функции, которое мы считали основным, т. е. не подлежащим формальному определению? Я не хочу давать ответ на этот вопрос здесь. Он не совсем прост. В нашем журнале мы еще будем иметь повод вернуть как к современным представлениям о понятии функции, так и к его истории.

4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Чтобы освободся с широкой общERO понимания термина «функция», рассмотрим еще некоторые простые геометические преобразования.

Чтобы повернуть плоскую функру вокруг точки $O$ (рис. 2), можно перевести контуры функции на положенную на плоскость чертежа кальку, закрепить кальку будавкой в точке $O$ и, повернуть кальку, перенести контуры копии функции с кальки на плоскость чертежа (например, при помощи копировальной бумаги). При повороте все точки функры поворачиваются вокруг $O$ в одном и том же направлении на один и тот же угол.

Обозначим

$$Q = R_0^\alpha(P)$$ (1)

положение точки $P$ после поворота на угол $\alpha$ против часовой стрелки. Если точка $O$ и угол $\alpha$ заданы, то каждой точке $P$ по формуле (1) соответствует полне определения точки $Q$. Ясно, что в смысле нашего определения $R_0^\alpha$ есть функция. Ее область определения является многоестровым точком плоски $P$.

Углы поворота указывают со знаком. На рис. 3 точки $Q_2$ получается из точки $P$ поворотом на $120^\circ$, а точки $Q_1$ — поворотом на $-120^\circ$ (или поворотом на $240^\circ$). Если точки $Q$ получена из точки $P$ поворотом на $\alpha$ градусов, то точку $P$ можно получить, повернуть $Q$ на $-\alpha$ градусов: если

$$Q = R_0^\alpha(P),$$

10

$$P = R^{-\alpha} o(Q).$$

Мы видим, что поворот $R_0^\alpha$ всегда является обратимой функцией.

В применении к поворотам чаще говорят об «отображениях». Отображение, обратное к повороту $R_0^\alpha$, есть поворот $R_0^{-\alpha}$. Символически можно написать:

$$R_0^{-\alpha} (R_0^\alpha(P)) = P,$$
$$(R_0^\alpha)^{-1} = R_0^{-\alpha}.$$

Поворот отображает множество точек плоскости на самого себя. Если считать, что плоскость есть не что иное, как множество своих точек (так и поступают в современном изложении геометрии), то можно сказать, что поворот есть обратимое отображение плоскости на себя.

Обратимые отображения плоскости на себя и называются геометрическими преобразованиями плоскости. С геометрическими преобразованиями вы еще неоднократно встретились на страницах нашего журнала. Пока же приведем еще только один пример геометрического преобразования плоскости. Параallelным переносом называется отображение плоскости на себя

$$P \rightarrow Q = T(P),$$

при котором все точки $P$ перемещаются на одно и то же расстояние и в одном и том же направлении (рис. 4).

5. ВЕКТОРЫ

Хотя возникло, что вы уже установили от знакомства с новыми понятиями и необычным толкованием понятый вам уже известных, сделаем еще одно успешное. Постараемся понять, что такое граф и к паралельного переноса $P \rightarrow Q = T(P)$. По общему определению это — множество всех таких пар точек

$$(A, B),$$

для которых

$$B = T(A).$$

12

3. Какое дополнительное условие надо добавить к формуле
   $$f(x) = 1,$$
   чтобы получилось определенные функции
   $$f_4(x) = (\sqrt{x})^2 + (\sqrt{1-x})^2?$$

Замечание e. В задачах 1—3 под знаком $V$ понимается «арифметический» квадратный корень, т. е. неотрицательное число.

2. График функции

3. Сколько существует функции с областью определения 1, 2, 3, графики которых являются подмножествами множества пар
   $$\{(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (2,3), (3,3)\}$$

(cm. рис. 6)?
Сколько из этих функций имеет обратную?

5. Показите, что график обратной функции $f^{-1}$ определяется формулой
   $$\Gamma_{f^{-1}} = \{(x, y) | (y, x) \in \Gamma_f\}.$$
   (Естественно, предполагается, что функция $f$ имеет обратную.)

6. Числовая плоскость

7. Опишите устройство графика функции Дирихле:
   $$D(x) = \begin{cases} 1, если x рационально, \\ 0, если x irrationalно. \end{cases}$$

7*) Число $x$ из отрезка [0; 1] разлагается в бесконечную тречную дробь
$$x = 0, x_1 x_2 x_3 \dots (x_n = 0, 1, 2).$$

Значение функции $y = C(x)$ определяется двойной дробью
$$y = 0, y_1 y_2 y_3 \dots (y_n = 0, 1)$$
следующим образом:
если $x_n = 0$, то $y_n = 0$,
если $x_n = 1$ или $x_n = 2$, то:
$$y_n = 1$$ при условии, что среди цифр $x_1, x_2, \dots, x_{n-1}$ не было единиц,
$$y_n = 0$$ при условии, что среди цифр $x_1, x_2, \dots, x_{n-1}$ уже встречалась одна единица.

Попробуйте начертить график этой функции. Докажите, что он содержит бесконечное число горизонтальных отрезков. Если вы знакомы с понятным непрерывности функции, попробуйте доказать, что наша функция непрерывна.

Замечание e. В этой задаче мы не избегаем троичных дробей, в которых все знаки, начиная с некоторого, двойки, и двойных дробей, в которых все знаки, начиная с некоторого, единицы. Например, мы пишем в троичной системе
$$0,2222 \dots = 1; 0,1222 \dots = 0,200000 \dots$$

и в двойной системе считаем, что
$$0,1111111 \dots = 1; 0,01011111 \dots = 0,01100000 \dots$$

*) Это— трудная задача (см. § 15 в книжке: С. В. Фомин «Системы счисления», 1968.

13

4. Геометрические преобразования

5. Описите в геометрических терминах преобразования числовой плоскости, которые аналогичны задачом формулиан:

a) $(x, y) \rightarrow (-y, x)$,
b) $(x, y) \rightarrow (x, -y)$,
c) $(x, y) \rightarrow (y, -x)$,
d) $(x, y) \rightarrow (x+1, y)$,
e) $(x, y) \rightarrow (x+a, y+a)$.

9. Докажите для поворотов вокруг центра $O$ формулу

$$R_O^\alpha [R_O^\beta (P)] = R_O^{\alpha+\beta}(P).$$

(1)

10. Докажите, что при любых центрах $O_1$ и $O_2$ преобразование

$$F(P) = R_O^\alpha [R_O^{-\alpha}(P)]$$

будет параллельным переносом. На какое расстояние и в каком направлении?

5. Векторы

6. Докажите формулу

$$T_a [T_b(P)] = T_{a+b}(P).$$

(2)

12. Покажите, что преобразование

$$F(P) = T_a [R_O^\alpha(P)]$$

является поворотом на угол $\alpha$. Вокруг какого центра?

Замечание. Формулы (1) и (2) короче пишут

$$R_O^\alpha R_O^\beta = R_O^{\alpha+\beta},$$

$$T_a T_b = T_{a+b}.$$

Взятие функции от функций во многих отношениях похоже на умножение. Но это уже особая тема, разработка которой не уменьшается в этой стране. Мы воспользовемся такой короткой записью функции от функций (композиции отображений) в задачах 13 и 14.

13. Докажите, что всегда

$$T_a T_b = T_b T_a$$

и

$$R_O^\alpha R_O^\beta = R_O^\beta R_O^\alpha$$

при поворотах вокруг центра. Покажите на примере, что, вообше говоря,

$$R_O^\alpha R_O^\beta \neq R_O^\beta R_O^\alpha$$

при поворотах вокруг центров $O_1, O_2$.

14. Выясните полностью вопрос о том, когда все-tаки

$$R_O^\alpha R_O^\beta = R_O^\beta R_O^\alpha.$$