[Задачи М6—М10; Ф7—Ф11]

47

В этом разделе, продолжаются из номера в номер, мы помещаем несколько задач, как правило, довольно трудных. Лучшие из решений этих задач, присланных читателями, будут опубликованы в журнале через несколько месяцев.

По математике

M6. Перед вами часы. Сколько существует положений стрелок, по которым нельзя определить время, если не знать, какая стрелка часовая, а какая — минутная?

(Считается, что положение каждой из стрелок можно определить точно, но следует за тем, как стрелки движются, нельзя.)

M7. a, b, c — стороны треугольника. Докажите, что

$$\frac{a}{b+c-a} + \frac{b}{c+a-b} + \frac{c}{a+b-c} \geq 3.$$

C. Берколайко

M8. Двое играют в такую игра. Из кучки, где имеется 25 спичек, каждый берет себе по очереди одну, две или три спички. Выигравает тот, у кого в конце игры — после того, как все спички будут разобраны, — оказывается чисто спичек.

Кто выигравает при правльной игре — начинаяший или его партнер? Как он должен играть, чтобы выиграть? Как изменится ответ, если считать, что выигравает забравший нечетное число спичек?

Исследуйте эту игру в общем случае, когда спичек 2n+1 и разрешается брать любое число спичек от 1 до m.

M9. Рассмотрим следующие свойства tetraэдра (тетраэдром мы называем произвольную треугольную парамиду):

a) все грани равновелики;
b) каждое ребро равно противоположному;
b) все грани равны;
г) центры описанной и вписанной сфера совпадают;
d) суммы плоских углов при каждой вершине tetraэдра равны.

Докажите, что все эти свойства эквивалентны.

Постарейтесь найти другие эквивалентные им свойства tetraэдра.

M10. Четыре круга, центры которых являются вершинами выпуклого четырехугольника, целиком покрывают этот четырехугольник. Доказать, что из них можно выбрать три круга, которые покрывают треугольник с вершинами в центрах этих кругов.

Г. Гальперин

48

Ф7. Горизонтальный стержень $O_1A$ длиной $l$ вращается вокруг вертикальной оси $O_1$ (см. рис. 1). На ось, прикрепленную к концу стержня $O_1A$, наажено колесо радиуса $r$. Ось колеса горизонтальная и составляет угол $\alpha$ со стержнем $O_1A$. Колесо вращается на оси без трения и катися по земле. Трене между колесом и почвой больше. Сколько оборотов сделает колесо, когда стержень $O_1A$ сделает один оборот вокруг вертикальной оси?

Г. Комкин

Ф8. Длинный стержень $AB$ с резьбой отверстием на конце накручен на вертикальной винт (см. рис. 2). Стержень отпускают. Трене между винтом и стержнем пренебрежимо мало. Как будет двигатся стержень после того, как он слетит с винт?

Физико-математическая олимпиада МИЭМ

Рис. 1

Рис. 2

Ф9. На горизонтальном столе находится грузик, прикрепленный к столу при помощи длиной пружины. Сначала пружина была не растянута. Затем грузик сдвинут на 20 см от положения равновесия и отпустили. Грузик начал колебаться вдоль пружины. За счет трения амплитуда его колебаний за период уменшается на 7%. Сколько всего колебаний совершит грузик до остановки? На каком расстоянии от положения равновесия он остановится?

Весоизная заочная физико-математическая олимпиада 1967 года

Ф10. Как из четырех тонких проволочных спиралей с сопротивлениями 10 ом, 20 ом, 30 ом и 40 ом, расччитанных на выделение мощности не более 2 вт на каждой, составить нагреватель наибольшей возможной мощности, если имеется источник тока с э. д. c. 20 в и внутренним сопротивлением 20 ом? Б. Буховцев

Ф11. Три открытые бочки наполненны водой и установлены на разной высоте (см. рис. 3). Из каждой бочки проведены вверх грубки, соединяющиеся вместе. Грузки тоже заполнены водой. Куда будет перетекать вода по трубкам, если одновременно открыть краны $K_1$, $K_2$ и $K_3$?