Геометрические неравенства

23

Геометрические неравенства

М. И. БАШМАКОВ

На страницах нашего журнала начинает свою работу математической крупок. Темы его занятый будут в основном доступны уже восемиклассикам, но мы надемся, что они будут интересны всем читателем «Кванта».
Первое занятие крупка посвящается геометрическим неравенствам.

В самом начале изучения геометрины мы знакомимся с важным фактом: сторона треугольника меньше суммы двух других сторон (рис. 1). Однако неравенство, которое называют неравенством треугольника, позволяет решить ряд интересных геометрических задач.

Задача 1. Докажите, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри треугольника, до его вершин больше половины перimeter этого треугольника.

Решение. Рассмотрим треугольники AOB, BOC и COA (рис. 2) и напишем три неравенства

треугольника:
$$AO + OB > AB,$$
$$BO + OC > BC,$$
$$CO + OA > CA.$$

Складывая эти неравенства и деля пополам, получим
$$AO + BO + CO > \frac{1}{2}(AB + BC + CA),$$

что и требовалось доказать.

Попробуйте решить самостояльное еще несколько задачи на доказательство неравенств. Надо разумно выбирать треугольники, выписывать неравенства для их сторон и преобразовать эти неравенства к нужному виду.

Докажите, что:
Задача 2. Сумма диагоналей выпуклого пятнуюгольника меньше удвоенного перimeter.
Задача 3. Сумма диагоналей выпуклого пятнуюгольника больше перimeter.

Рис. 1
$$AC < AB + BC$$

Рис. 2

24

Задча 4. Медиана треугольника меньше полусуммы сторона, между которых она заключита.

Задча 5. Сумма медиан треугольника меньше перimetра, но больше трех четвертей перimetра.

Вы, наверно, обратили внимание на то, что в каждой задаче приходится по-своему выбирать, каким способом, в какую сторону проводить оценку (установливать неравенство). При этом не всегда удается сразу получить нужный результат. Например, в последней задаче легко получить, что сумма медиан больше полов ини перimetра. (Достаточно рассмотреть треугольники ABD, BCF и CAE на рис. 3.) В то же время из других треугольников можно получить более точную оценку, требуемую в задаче. Возникает вопрос: какова наиболее accurate к которой верна оценка

$$k_1 p < m_a + m_b + m_c?$$

(здеся $m_a, m_b, m_c$ — медианы к сторонам $a, b$ и $c$, а $p$ — перimetр треугольника). Точно так же, интересно получить точную оценку и с другой стороны: найти наиболее ую константу $k_2$, для которого неравенство

$$m_a + m_b + m_c < k_2 p$$

верно для любого треугольника.

Задча 6. Доказите, что при сравнения суммы медиан треугольник можно рассмотреть, например, также равноведенные треугольники, вер-

25

Шины которых приближаются к основанию (рис. 4). Ясно, что их перimetр близок к удвоенной стороне основания, а сумма медиан близка к $\frac{3}{2}$ основания. Равенство получится, когда вершина упадет на основание, а треугольник «выродится» в двойной отрезок.

Вообщше, для любого числа $x$ из интервала
$$\frac{3}{4} < x < 1$$

можно указыть такой равноведенный треугольник, для которого
$$\frac{m_a + m_b + m_c}{p} = x.$$

Это позволяет решить задачу 6.

3 адача 7. Докажите, что сумма расстояний любой точки внутри треугольника до его вершин меньше перimetра.

3 адача 8. Сравните задачи 1 и 7, 2 и 3; поставьте и исследуйте вопрос, аналогичный тому, который мы обсуждали относительно медиан.

3 адача 9. Расмотрим всевозможные выпukлы $n$-угольники ($n$ — определенное число). Возьмем точку внутри такого многоугольника и составим отношение суммы ее расстояний до вершин к перimetру. Какие значения это отношение может принимать? *)

В следующих задачах нужно использовать, кроме неравенства треугольника, некоторые другие простые неравенства, например то, что из двух сторон треугольника больше та, которая лежит против большого угла, в частиности, что гипотенуза прямого треугольника больше катета, и т. п.

3 адача 10. Докажите, что для всех прямогоных треугольников

*) Ср. задачу 4 на стр. 59 первого номера «Кванта».

верны следующие неравенства:
$$0,4 < \frac{r}{h} < 0,5, где r — радиус вписанного кругга, h — высота, опущенная из вершины прямого угла. Являются ли написанные границы точными?$$

3 адача 11. На биссертрисе внешнего угла $C$ треугольника $ABC$ берется точка $M$, отличная от $C$. Докажите, что сумма ее расстояний до вершин $A$ и $B$ больше, чем сумма расстояний от точки $C$ до этих же вершин.

3 адача 12. Для того чтобы угол $A$ в треугольнике $ABC$ был острым, необходимо и достаточно, чтобы медиана, проведенная из вершины $A$, была более чем вдвое больше стороны $BC$.

3 адача 13. В остроугольном треугольнике $ABC$ наиболее из высокот (обозначим ее через $AH$) равна медиане $BM$. Докажите, что угол $ABC$ меньше $60^\circ$.

3 адача 14. На продолжении наиболее стороны $AC$ треугольника $ABC$ отличается отрезок $CD=BC$. Докажите, что угол $ABD$ тупой.

3 адача 15. $A, B, C, D$ — последовательные вершины выпukлого четырехугольника $ABCD$. Докажите, что если
$$AB+BD \leq AC+CD,$$
то
$$AB \leq AC.$$

ЛИТЕРАТУРА

В. Делоне и О. Житомирский, Задачик по геометрию. Физматгиз, 1959.

3. А. Скопец, В. А. Жаров, Задачи и теоремы по геометрию. Планметрия. Учредгиз, 1962.

И. Е. Сивашинский, Неравенства в задачах.