Вычисление сумм

37

ВЫЧИСЛЕНИЕ СУММ

Вычисление сумм — один из важнейших и интереснейших вопросов математики. Существуют различные методы вычисления сумм. В статье рассказывается о двух из них.

1. В математике и ее многочисленных приложениях для сокращенной записи суммы употребляется специальный знак. Это Σ — буква греческого алфавита «сигма». Запись суммы посредством знака Σ часто бывают очень удобной. Познакомимся с этим знаком.

Пусть дана сумма вида
$$a_1 + a_2 + \dots + a_n.$$
Все слагаемые этой суммы обозначаны одной буквой, для отличия использования индексы. Данную сумму сокращенно можно записать в следующем виде:

$$\sum_{k=1}^{n} a_k.$$
Читается: «сигма $a_k$, $k$ меняется от 1 до $n$». Для такой записи берется «типичное» слагаемое суммы, в нашем случае $a_k^*$, перед ним пишется знак Σ и указавются границы изменения $k$. Например, запись

$$\sum_{k=1}^{10} k$$
означает сумму
$$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10,$$
*) $a_k$ называется общим членом суммы.

а запись
$$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}$$

— сумму
$$\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{(n-1)n} + \frac{1}{n(n+1)}$$.

Нетрудно проверить следующие свойства знака Σ:
$$\sum_{k=1}^{n} 1 = n, \quad \sum_{k=1}^{n} ca_k = c \sum_{k=1}^{n} a_k,$$
$$\sum_{k=1}^{n} (a_k + b_k) = \sum_{k=1}^{n} a_k + \sum_{k=1}^{n} b_k.$$

Проверим, к примеру, второе свойство.

По определению
$$\sum_{k=1}^{n} ca_k = ca_1 + ca_2 + \dots + ca_n,$$

позтому, согласно известному свойству суммы, имеем:
$$\sum_{k=1}^{n} ca_k = c(a_1 + a_2 + \dots + a_n).$$

Но выражение в скобках есть не что иное, как
$$\sum_{k=1}^{n} a_k$$
и, следовательно,
$$\sum_{k=1}^{n} ca_k = c \sum_{k=1}^{n} a_k.$$

38

Аналогичное проверяются остальные два свойства.

2. Рассмотрим вопрос о вычислении суммы вида

$$\sum_{k=1}^{n} f(k) = f(1) + f(2) + \dots + f(n),$$

где $f$ — известная функция целочисленного аргумента, определяная на отрезке $[1, n]$ натурального ряда.

Эту сумму легко вычислить, если удасссянная тайку функцию $F$, определяную на отрезке $[1, n+1]$ натурального ряда, что при всех $k, 1 \leq k \leq n$, справедливо равенство

$$f(k) = F(k+1) - F(k).$$

В самом деле, полагая в этом равенстве последовательно $k = 1, 2, \dots, n-1, n$, получим:

$$f(1) = F(2) - F(1),$$
$$f(2) = F(3) - F(2),$$
$$f(3) = F(4) - F(3),$$

$$f(n-1) = F(n) - F(n-1),$$
$$f(n) = F(n+1) - F(n).$$

Складывая эти равенства, приходим к следующей формуле:

$$\sum_{k=1}^{n} f(k) = F(n+1) - F(1).$$

Таким образом, если функция $F$ найдена, сумма (1) вычисляется элементарно.

Проиллюстрируем формулу (3) геометрической прогрессии.

На рисунке 1 нам нужно найти сумму (1), обозначенную просто через $\Sigma$, как длину вертикального отрезка. Каждый член вида $f(k)$ соответствует длине красного отрезка, равной разности длины зеленьх отрезков $F(k+1)$ и $F(k)$. Очевидно, сумма длины всех красных отрезков равна разности длини первого и последнего из зеленьх отрезков.

Пример 1. Вычислим сумму

$$\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)},$$

то есть

$$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}.$$

Здесь

$$f(k) = \frac{1}{k(k+1)},$$

и, как нетрудно проверить, ее можно представить в виде следующей разности:

$$f(k) = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}.$$

Поэтому, если обозначить

$$F(k) = -\frac{1}{k},$$

то формула (2) будет выполнена для всех натуральных $k$:

$$f(k) = F(k+1) - F(k).$$

Приимена формулу (3), легко получим

$$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}.$$

Пример 2. Найдем сумму членов следующей геометрической прогрессии:

$$q, q^2, q^3, \dots, q^n \quad (q \neq 1).$$

Здесь $f(k) = q^k$, и, воспользоваться равенством $q^{k+1} - q^k = q^k(q-1)$, можно написать

$$q^k = \frac{q^{k+1}}{q-1} - \frac{q^k}{q-1}.$$

Отсюда видно, что можно положить

$$F(k) = \frac{q^k}{q-1},$$

и, следовательно,

$$\sum_{k=1}^{n} q^k = \frac{q^{n+1}}{q-1} - \frac{q}{q-1} = \frac{q^{n+1}-q}{q-1}.$$

Получили известную формулу.

39

Пример 3. Вычислим сумму
$$\sum_{k=1}^{n} \sin kx (x \neq 2\pi n).$$
Нетрудно проверить, что
$$\sin kx = \frac{\cos(k-0,5)x - \cos(k+0,5)x}{2\sin 0,5x},$$
то есть
$$\sin kx = F(k+1) - F(k),$$
где
$$F(k) = -\frac{\cos(k-0,5)x}{2\sin 0,5x}.$$
Тепер на основании формулы (3) после несложных преобразований получим
$$\sum_{k=1}^{n} \sin kx = \frac{\sin 0,5(n+1)x \sin 0,5nx}{2\sin 0,5x}.$$
Читатель сам убедился, что формула (3) дает эффективный способ вычисления суммы (1). Главное — нахождение функции $F$. Нередко, к сожалению, это — задача не из легких, а иногда даже незарешимая.
3. Пусть теперь заданы две конечные последовательности чисел
$$u_1, u_2, \dots, u_n,$$
и
$$v_1, v_2, \dots, v_n$$
и требуется вычислить сумму
$$\sum_{k=1}^{n} u_k v_k.$$
Здесь часто бывают полезным одно преобразование, которое было указано замещенным норвежским математиком Абелем. Именно пусть $V_k$ — сумма первых $k$ членов последовательности (4), то есть
$$V_k = \sum_{i=1}^{k} v_i = v_1 + v_2 + \dots + v_k.$$
Ясно, что $v_1 = V_1$; если же $k > 1$, то
$$v_h = V_h - V_{h-1}.$$

Позтому
$$\sum_{k=1}^{n} u_k v_k = u_1 v_1 + u_2 v_2 + \dots + u_n v_n = u_1 V_1 + u_2 (V_2 - V_1) + \dots + u_n (V_n - V_{n-1})$$
Раскрывая скобки и группируя слагаемые по два, получим
$$\sum_{k=1}^{n} u_k v_k = (u_1 - u_2) V_1 + (u_2 - u_3) V_2 + \dots + (u_{n-1} - u_n) V_{n-1} + u_n V_n$$
или окончательно:
$$\sum_{k=1}^{n} u_k v_k = u_n V_n - \sum_{k=1}^{n-1} (u_{k+1} - u_k) V_k.$$ (5)
Геометрическая интерпретация этого способа дана на рисунке 2. Каждый член вида $u_k v_k$ соответствует площади прямоугольника (зеленого). Члены вида $(u_{k+1} - u_k) V_n$ соответствуют площадям красных прямоугольников. Выражение $u_n V_n$ есть площадь всего прямоугольника. После этого формула (5) становится очень видно.

Пример 4. Вычислим сумму
$$1^2 + 2^2 + \dots + n^2.$$
Обозначим искому сумму через $S$ и запишем ее, используя знак $\Sigma$:
$$S = \sum_{k=1}^{n} k^2.$$