Электрическое сопротивление — квантовое явление

Квант 1970, №9 с. 10-17 Тег W24C

Д. А. Франк-Каменецкий

Сопротивление проводника протекнию электрического тока — совсем не такая простая вешь, как это кажется на первый взгляд. Как мы увидим, и здесь не обойтись без кванта. Посмотрим сначала, что можно сделать без его помощью.

Классическая теория

Мы привыкли, что «классический» — слово похожное. Говорят: Стрельцов забил «классический гол». Вместо «классический» можно было бы на более современном жаргоне сказать «классный» или даже «железный». Совсем иначе относится к этому слову физик. В современной физике классические называются теории, созданные классами науки прошлыхов, до возникновения квантовой физики и теории относительнойности. Чаще всего слово «классический» физики употребляют как противоположный слову «квантовый». Классическая теория отличается тем, что в ней не участвует кванти. Такие теории очень просты, современному физiku они какужятся несколько наивными. Они часто приносят большую роль, но, как правило, решают вопрос не до конца. В классической теории для современного физика всегда чего-то не хватает.

Во многих книгах, в том числе и в учебниках (и даже очень хорошо), пишется, что электрическое сопротивление металла проискот от стольновейный электриов, пере-

носящих ток, с атомами*) кристаллической решетки. Правильно ли такое понятие сопротивления?

Лучше всего не говорить ни «да», ни «нет», а сказать, что оно выражает классический теории электрического сопротивления. К ней относится все, что мы только что говорили о классических теориях вообше. Но в данном случае классический теория оказывается совсем слабой: она не может объяснить многохых основных особенностей электрического сопротивления. В классический теории безусловно верно одно: сопротивление проискот от того, что электроны передают часть своей энергии и импульса (количество движения) кристаллической решетке. Но каким именно образом проискот эта передача — вопроссовсем не простой и очень интересный.

Температурная зависимость

Сопротивление чистых металлов сильно возрастает с температурой. Для многих из них оно применено пропорционально абсолотной температуре. При низких температурах такая простая зависимость наруша-

*) Точнее было бы сказать — с понами, но это здесь для нас не существует. Механизм электрического сопротивления заключается в том, что электроны, ударясь об атомы кристаллической решетки, заставляют их колебаться—электрическая энергия переходит в тепловую.

Рис. 1. График зависимости удельного сопротивления меди от абсолотной температуры.

ется. Это хорошо видно на рисунке 1, где показано, как меняется с температурой удельное сопротивление меди — самого употребительного проводника электрического тока. Как видно из рисунка, в области высоких температур зависимости хорошо представляется прямой линейной. Но если эту прямую продолжить в сторону низких температур (на рисунке показано пунктиром), она уходит не в абсолотный нуль, а в несколько более высокую температуре — для меди около 60° К. На самом деле при низких темперарах зависимости становится более сложной: сопротивление меняется пропорционально пяной степени температуры. При приближении к абсолотному нуль сопротивление чисых металлов становится очень малым. Есть группа металлов, у которых сопротивление совсем исчезает при температуре на несколько градусов выше абсолотного нуля. Это явления, называемого сверхпроводимостью, мы сейчас какаться не будем. Достаточно много интересного можно сказать и о более простых вещех.

Если объяснить электрическое сопротивление стольновениями электронов с атомами, то температура зависимости сопротивления чисых металлов остается совершенной непо-
нятной. Ведь дело обстоит так, как если бы электроны сталькились только с атомами, совершающими тепловое движение, но свободно прополетами mismo неподвижных. Иногда так и говорят (как будто электрону легче попасть в движущийся atom), но это ошибка. Это все равно что считать, будто, стреля не целясь, легче попасть в качающийся магнитик, чем в неподвижный. Итак, классическая теория не способна обьясить зависимости сопротивления от температуры.

Остаточно сопротивление

Когда изменяют сопротивление чисых металлов при очень низких температурах, то обнаруживается замечательная вешь. Продолжая кривую рисунка 1 к абсолотному нуль, получают сопротивление, которое должно быть бы остаться, если бы можно было на опите достичь абсолотного нуля. Его так и называют остаточным сопротивлением. Оказывается, что оно сильно меняется от образца к образцу. Ostаточно сопротивление крайне чувствительно к ничтожным примесям, к механической и термической обработке. Тщательно очищая металл, образытая его так, чтобы добиться безупречного кристалического строения, можно уменьшить остаточное сопротивление, и нет предела этому уменшению. Итак, опыт наталкивает на удивительный вывод: идеальный кристалл при температуре абсолотного нуля не должен иметь электрического сопротивления. Иньми словами: электрическое сопротивление чисых металлов происходит только от нарушений кристаллеского строения, которые вызывают тепловыми движениями, примесями и дефектами (неправильностями) кристаллеского решения.

Атомные коридоры

Если бы электроны двигались по законам классической механики, они должны быть сталькиться с атомами неависимо от того, расположены ли атомы в строгом порядке или

Рис. 2. Движение электронов и распространение электронных волн в правильном (идеальном) кристалле.

нет. Конечно, между правильными рядами atomов есть своего рода коридоры (рис. 2), но чтобы направить электрон по такому коридору, требовалась бы точная ориентировка кристалла по отношению к приложениюу электрическому напряжению. А ведь обычно мы имеем дело не с одним кристаллом, а с сочетанием множества мелких кристаллов, ориентированных случайным образом. Однаконый правильный кристалл называют монокристаллом (от греческого слова «mono» — один), а сочетание многих кристаллов — поликристаллическим агрегатом (от греческого «поли» — много). Так вот, точные измерения показали, что сопротивление поликристаллических агрегатов очень мало отличается от сопротивления монокристаллов. Особенно важно то, что сопротивление поликристаллических агрегатов сильно уменьшается с понжением температуры. Это никак нельзя избежать движения электронов по atomным коридорам по законам классической механики. При переходе из одного кристалла в другой atomный коридор резко меняет свое направление (рис. 3). Электрон должен быть с разлету стукнутся о «стенку». А он способно шестивет по atomному лабиринту, подобно Тезею, ко-

Рис. 3. Схема движения электронов по atomным лабиринтом в поликристаллическом агрегате. Красным цветом показаны электrons.

торому указывал направление нить Аридны. Что же это за чертовщина и как это обьяснить?

Чудеса без чудес

Давно известны еще более удивительные факты. Механическая и термические обработка заметно влияют на электрическое сопротивление металлов. Воспользовемся для удобства применения в технике единиц удельного сопротивления $om \cdot mm^2/m = 10^{-4} \cdot om \cdot cm = 10^{-6} \cdot om \cdot m$ . В этих единицах удельное сопротивление общей технической меди при $20^\circ C$ выражается числом 0,0172. После холодной протяжки сопротивление медной проводки возрастает до 0,0177. Далее наматывания проводки на катушку достаточно, чтобы ее сопротивление возросло. Если же подвергнуть проводку отжигу, то есть длительное нагреву, а затем охладить ее опять до $20^\circ C$ , значение сопротивления возвращается к нормальной величины. Очевидно, сопротивление чувствительного к небольшим нарушениям кристаллической структуры (такие свойства называют структуром чувствительными). Еще妒зительнее чувствительность сопротивления к ничтожным примесям. Тщательная очистка уменьшает удельное сопротивление me-

ди при температуре 20°С до 0,0169 $om \cdot mm^2$ /м. Это обстоятельство имеет большое значение для техники. Ведь если уменшить сопротивление проводов, то уменшают и бесполезные потери электрозергини на их нагрев. Поэтому медь, предназначенную на электrotechnическе нужды, подвергают специальной очистке посредством электролиза. Этот своеобразный металлургический процесс несколько напоминает «переливание из пустаго в порожнее». На аноде медь растровляется, а на катode осаждается медь, чистота которого изменяется «трея девятками» после запятой: 99,999%, то есть примеси в электропитической меди составляют всего тысячиную долю процента. Такая тщательная очистка очень важна: после нее сопротивление, а с ним и тепловые потери заметно снижают.

Постотрим теперь, как количество примесей в сопротивление меди. Достаточно добавить к меди 1% марганца, чтобы удельное сопротивление ее возросло до 0,048 $om \cdot mm^2$ /м, то есть почти в три раза! Между тем сопротивление чистого марганца составляет 0,05 $om \cdot mm^2$ /м. Таким образом, достаточно в медь 1% марганца, чтобы ее сопротивление стало практическим равно сопротивлению 100%-ного марганца! Это не исключительно случай. Примерно так же действуют добавки железа, кобальта, иридия и другие. Если бы сопротивление произходило от стольновейный электронов с атомами примесей, эти примеси должны были влиять раз в сто слабее. С точки зрения классической теории непомерное действие малых примесей — чистое чудо.

У сплавов, содержащих примеси в большой пропорции, сопротивление очень велико. Металурги разработали заменательные рецепты сплавов с высоким сопротивлением: нikелин, манганин, константан, нихром и другие. Сопротивление этих сплавов в нескольких раз больше, чем у каждой из составных частей. Так,CONSTANTан, состояние из 60% меди и 40% нikеля, имеет удельное сопротивление 0,44 $om \cdot mm^2$ /м, в то время как у чистой меди оно равно 0,017, а у нikеля 0,072 тех же единиц*).

«Королем» подобных сплавов можно назвать всем известным ихром, удельное сопротивление которого 1 $om \cdot mm^2$ /м. Недаром он нашел такое широкое применение в нагревательных приборах. Есть разные рецепты ихрома. Простейший из них — 80% нikеля и 20% хром. Такой сплав имеет удельное сопротивление 1,05 $om \cdot mm^2$ /м, в то время как у чистого нikеля оно 0,072 и у хрома 0,131. Этот сплав дорогой, но можно без ущерба заменить часть дорогого нikеля дешевым железом. Однако время «рекорд» среди подобных сплавов держал медарип из 65% железа, 30% хрома и 5% алюминия с удельным сопротивлением 1,4 $om \cdot mm^2$ /м.

Поразительно, что температура зависитимость сопротивления у сплавовсовсем другая, чем у чистых металлов. Сопротивление большище сплавов тоже возрастает с температурой, но гораздо слабее. Специально для научных прибора, где желательно имеет постоянное сопротивление, разработан уже упоминавшийсяCONSTANTан, названного означает «постоянный». В интервале температур от 0° до 400°С его сопротивление меняется всего лишь от 0,441 до 0,448 $om \cdot mm^2$ /м.

С точки зрения классической теории постоянного сопротивления сплавов столбже малой понятно, как и пропорциональность сопротивления температуре для чистых металлов. Сопротивление сплава должна быть по смыслу этой теории складывать из сопротивления его составных частей по простому правилу смешения (как, например, теплоемкость). Если внешательно разобрать во всем, что известно об

*) Все цифры здесь приведены для температуры 20°С.

Рис. 4. Нарушение правильности atomного волновода тепловым движением.

электрическом сопротивлении, то станет ясно, что уже это простое явление вынуждает для своего понимания обратиться за помощью к кванту.

Электронные волны и atomные волноводы

Все становится на свое место, если вспомнить, что по законам квантовой механики электрон имеет одновременное свойства частицы и волны. Ширина atomных коридоров близка к длине волны электрона, и потому при движении по таким коридорам волновые свойства электрона проявляются в полной мере.

В радиотехнике сантиметровых волн широкое применение имеет волноводы. Это — металлические трубки круглого или прямогольного сечения. Радиоволлы распространются по волноводу, следуя за всему его изгибами. Свет — тоже электромагнитные волны, и его можно запрять в световод — трубку с зеркальными стенками *). В последнее время охотно пользовются тончайшими световодами — стеклянными волокнами.

Их можно как угодно изгибать — свет все равно будет послушно

*) На практике нет необходимости делать стенки зеркальными. Объчно использует явление полного внутреннего отражения, но это для нашей темы не имеет значения.

следовать вдоль волокна.

Действие световода с зеркальными стенками легко понять. Световые волны все время отражаются от стенок и, таким образом, остаются внутри световода. Радиоволлы тоже хорошо отражаются от главных металлических поверхностей. Если же поверхность шероховатая, то волна как бы разбивает озаубрины и в результате рассеивает и поглощается. Ее энергия переходит в тепло.

В квантовой теории протекание электрического тока через металлические как распространение электронных волн по atomным коридорам, играющим роль волноводов. Если atoms расположены на плоскости в идеальном порядке, на равных расстояниях друг от друга, то такая плоскость полностью отражает электронные волны — наподобие идеального зерка. Рассеяние и поглощение электронных волн проискходит только при нарушении строого порядка в расположении atomов. Этот удивительный вывод был получен впервые довольно сложным математическим путем из уравнения квантовой механики. Но его можно было бы сделать и на основании установленных опытных путем свойств электрического сопротивления, если бы к ним относялись более внешательно.

В идеальном правильном кристалле волноводы совершено гладке. Вся-

Рис. 5. Первый тип дефектов кристалической решетки — вакансии (пустые места). Замечательно, что электроны рассеиваются и на вакансии — нужно ли лучше доказательство того, что они стalkиваются вовсе не с atomами решетки? Дело в том, что вакансия играет роль ответствия в стенке atomного волновода, нарушающегоправотранение электронных волн.

кое нарушение atomного порядка действует как шероховатость стенок волновода. Электронные волны рассеиваются нарушениями решетки. Часть энергии электронов поглощается и переходит в телло. Это и есть квантовый механизм электронского сопротивления. Правильность atomных волноводов нарушается тепловыми колебаниями, на которых рассеиваются электронные волны (рис. 4). Отсюда возникет тепловая часть электронского сопротивления, зависящая от температуры. Охлаждая металл, ее можно сделать сколько угодно малой. При этом сохраняется остаточное или структурное сопротивление, связанное с постояными дефектами (порчей) кристалической структуры (рис. 5 и рис. 6). Дефекты есть во всяком кристалле и зависят от его «биографии» — от условий, в которых он зарождается, рос и существовал. Дополнительные дефекты возникают при холодной механической обработке — протяжке проводки и даже намотке ее на катушку. Оттого и возрастает сопротивление. При дли-

Рис. 6. Второй тип дефектов кристалической решетки — дислокации.

тельном нагреве (отжиге) atoms возврашаются на свой места и дефекты залечиваются — сопротивление падает.

Внедрене инородных atoms вызывает сербезную поруч кристалической решетки (рис. 7). При этом atom примеся может быть с места сотни atoms кристалла-«хозяина». Оттого примеся и повышают сопротивление. Замечено, что действ.

Рис. 7. Атом примеся с места множество atomов решетки. Из-за этого нарушается правильное движение не только тех электронов, которые стalkиваются с самим atomом примеся, но и множества других. (Соотношение расстояний между atomами кристалла и их размеров по отношению к atomу примеся—условные.)

виные примеси тем сильнее, чем большее атомы по размерам и другим факторам отличия от atomов «хозяина», чем сильнее они нарушают правильность кристаллической решетки.

Если охлаждать металл, то тепловая (то есть пропсходящая от теплового движения) часть сопротивления падает. Когда она становится гораздо меньше, чем не зависящая от температуры структурия часть, то при дальнейшем охлаждении сопротивление почти не меняется. У сплавов с неупорядоченным строением структурия часть сопротивления настоящего влика, что даже при высоких температурах преобладает над тепловой. Эти и обясняются слабая зависящость электрического сопротивления сплавов от температуры.

Звуковой квант — фонон

Мы познакомились с некоторыми квантовыми явлениями, но сам квант пока оставался в тени. Сейчас он выйдет на передний план.

Теплоовое движение в твердом теле можно представлять себе как колебания atomов около своих положений равновесия. Но частицы в твердом теле не могут колебаться независящimo. Они все прочно связаны между собой и совершают всегда колективные колебания. Не так, как на таниплощадке, где каждой пара движется независящimo от других, а как в массовой системе большого балета, где все исполняют свои партии согласноно.

Коллективные колебания громадного числа части вещества — это то же самое, что звуковые волны. Если вывести любую частицу из положения равновесия, то возможно будет распространяться по телу со скоростью звука. Оказывается, что тепловое движение в твердом теле можно рассматривать как распространение звуковых волн. Нагревая тело, мы заставляем его звучать. К счастью для нас, частота этих колебаний в миллиарды раз выше тех, как может услышать нашейухо. Очевидно, живые существа в процессе эволюции приспособились не слышать «телловой звук», иначе мы не видержали бы непрерывного шума «кричаших» предметов.

Итак, обнаруживается необходимая связь между электрическим сопротивлением и звуком. Электроны рассеиваются на звуковых волнах, возникдаемых при тепловом движении кристаллической решетки. Но всякая волна состоит из квантов. У световой или вообще электромагнитной волны — это фотоны, у звуковой волны — фононы (от греческих слов, ознакомших свет и звук). Фотоны — самые настоящие частицы, вполне равноверные с другими элементарными частицами. Фононы не совсем равноверны в том смысле, что они способны существовать только внутри вещества (в пустоте фононов быть не может). Они — и подобные им — называются квазичастцами (то есть «почти частцами»). Фонон — самый простой представитель общирной семьи квазичастцы. Другие ее члены нас сейчас не интересуют.

Мы говорили, что электронные волны рассеиваются на шероховатости, созданных тепловыми движениями, то есть звуковыми волнами. Но если звуковую волну описывается как поток фононов, то и электроны можно считать частицами, забив про их волновые свойства. Тепер мы как бы возвращаемся к простому обясиению сопротивления: электронам мешает свободно движаться то, что они сталкиваются с другими частцами. Но только не с частицами вещества, а с звуковыми квантами — фононами.

Тепер можно, наконец, немного и посчитать. Будем для простоты вести расчет так, как если бы фононы имели одну одинаковую часть v. Такое допущение неправильно, но ошибка от него получается необольная. В свое правдание мы можем сослаться на то, что великие физики Планк и Эйнштейн исходили из того же допущения в своей теории теплоемкости твердых тел и получили

Чали не такие уж плоские результаты.

Энергия фонана, как и всякого кванта, равна $hv$ , где $h$ — постоянная Планка, а $v$ — частота волны.

Число фонанов есть $\frac{E}{hv}$ , где $E$ — энергия теплового движения, пропорциональная абсолотной температуре $T$ . За множество пропорциональныхности можно принять постоянную Больцмана $k$ . Итак, число фонанов $N = \frac{kT}{hv}$ . Мы получили очень важный результат. Число фонанов в твердом теле пропорционально абсолотной температуре. Следовательно, если сопротивление пропорционально постоянной мощности можно принять постоянную Больцмана $k$ . Итак, число фонанов $N = \frac{kT}{hv}$ . Мы получили очень важный результат. Число фонанов в твердом теле пропорционально абсолотной температуре. Следовательно, если сопротивление пропорционально постоянной мощности можно принять постоянную Больцмана $k$ . Итак, число фонанов $N = \frac{kT}{hv}$ . Мы получили очень важный результат.

Но этот результат справедлив только при достаточно высоких температурах. Ведь по смыслу квантовой теории число фонанов не может быть меньше единицы. Посмотрим, при какой температуре оно равно единице. Эту температуру называют температурой Дебая и обозначают греческий буквой $\theta$ . Приравняв $N$ единице, находим: $\theta = \frac{hv}{k}$ . Температура Дебая (или дебаевская температура) играет очень важную роль в физике твердого тела. С помощью этой величины интересующей нас число фонанов выражается совсем просто: $N = \frac{T}{\theta}$ . При температуре ниже базовый это число становится меньше единицы. Это значит, что можно говорить только о среднем числе фонанов, и расчет условийятся. Но величины $\frac{T}{\theta}$ по-прежнему остаются меры числа фонанов в твердом теле, а следовательно, и числа тольковой электринов с фонанами. Ис

*) Это число фонанов на одно колбание решетки, точнее говоря, на одну колбательную степень свободы, или, как любят выражаться физики, на один осцилляр.

Рис. 8. Обобщенная кривая температурной зависимости уделного сопротивления чистых металлов.

ходя из этих сообщений, была высказана следующая гипотеза: температура зависитимость электрического сопротивления чистых металлов выражается универсальной функцией от меры числа фонанов $\frac{T}{\theta}$ . Математически эта гипотеза записывается так: $\frac{R}{R_0} = F\left(\frac{T}{\theta}\right)$ , где $R$ — сопротивление при температуре $T$ , $R_0$ — при температуре $\theta$ , а $F$ — функция, вид которой может быть найден из опыта. Важно то, что функция $F$ обещая для разных чистых металлов. Как хорошо эта гипотеза оправдывается на опите, видно из рисунка 8. Этот график построил в свое время американский физик Бардин, прославившийся в последствии своим работами по теории сверхпроводимости.

Интересно и полезно связаать дебаевскую температуру $\theta$ со скоростью звука $c$ . Вспомним, что вещество состоит из atomов и волна распространяется не непрерывно, а перескакивает от atom к atomу. За период колбания $t$ волна не может пройти путь, меньше, чем расстояние между соседними atomами $a$ .