Закон Ома

Квант 1971, №4 с. 8, 10, 13 Тег OA0L

Закон Ома
Я.А.СМОРОДИНСКИЙ

Простой с первого взгляда

Объчно закон Ома формулирует так. Возьмем проводник с током (рис. 1). Пусть к его концам приложена разность потенциальов $V_A - V_B$ , причем $V_A > V_B$ . тогда сила тока, текущего по проводнику, будет определяться формулой

$I = \frac{V_A - V_B}{R},$

где $R$ — сопротивление проводника. Кроме того, добавляют, что если проводник с постоянным сечением $S$ однороден по всей длине $l$ , то $R = \frac{1}{\sigma} \frac{l}{S}$ , где $\sigma$ называют удельной проводимостью, а $\frac{1}{\sigma} = \rho$ — удельным сопротивлением.

График зависимости тока от приложенной разности потенциальов выражается прямой (рис. 2).

Закон Ома выглядит очень простым и оченьным. Ведь ясно, что чем больше разность потенциальов,

$V_A \quad V_B \quad I$

рис. 1.

tem больше и ток. Но почему между этим двумя величины существует простая пропорциональность,почему величина $R$ сама не изменяется с ростом тока? Обыт показал, что закон Ома оказывается верным как для очень маленьких, так и для очень больших токов в металх. К проводке прикладывали такую большую разность потенциальов, что на длине в 1 см потенциаль изменяется на миллион волт. И все-tаки ток можно было определить по закону Ома. Правда, на самом деле в таких опытах наблюдались очень небольшие отклонения от этого закона, но их вплоне можно было обьясить тем, что проводник, несмотря на все преодосторожности, нагревался, и его сопротивление менялось из-за изменения температуры. Этот на первый взгляд простой закон вызывает интересные вопросы.

В какую сторону течение ток?

Почему ток течение в сторону падает потенциальа, а не в сторону его повышения? Возьмем батарейку и замкнем ее на какое-нибудь сопротивление, например, включим лампочку. Согласно закона Ома по цепи потребет ток от положительной клеммы батарейки через лампочку к отпечатальной клемме, уменьшая разность потенциальов между клеммами, которая конечно будет восстановляться батарейой, но на это все время расходуется энергия (об этом будет еще разговор дальше).

Что было бы, если бы ток пошел в обратном направлении? Заряды клемм

временны выражается экспоненциальной функцией *).

Зная свойства экспоненциальной функции, мы можем написать, что величины заряда изменяется так:

$Q(t) = Qe^{-\frac{2t}{CR}}$

Таким образом, уменшение заряда будет произходить по экспоненциальному закону. Строю говоря, заряды исчезнут только при бесконечно большом времени, но практически они станут незаметными очень быстро.

Объчно временем установления равновесия принято называть время, за которое заряды шариков (а значит, и ток в цепи) уменшается в $e$ раз. Для нашей примера это время равно $\frac{CR}{2}$ .

История открытия

Мы и сейчас относят закон Ома к числу важнейших законов физики. Когда Георг Симон Ом (1787—1854) обнаружил этот закон, ему просто не поверили. Главная работа Ома вышла в 1927 году в Берлине и называлась «Гальваническая цель, математическая разработанная доктором».

*) Об экспоненте рассказано в «Кванте» № 1 за этот год. Только там α выбрано равным единице.

**) Проверим последнюю формулу. Расмотрим два момента времени $t$ и $t+\Delta t$ .

$Q(t+\Delta t) = Qe^{-\frac{2}{CR}(t+\Delta t)}$

$Q(t) = Qe^{-\frac{2}{CR}t}$

Разность этих двух функций можно вычислить (при малых $\Delta t$ ). Заметим, что речь идет об изменении функции $e^x$ , причем $x$ изменяется от $\left(-\frac{2}{CR}t\right)$ до $\left[-\frac{2}{CR}(t+\Delta t)\right]$ , то есть на величины $\Delta x = -\frac{2}{CR}\Delta t$ .

Таким образом, $\Delta Q = -\frac{2}{CR}\Delta t \cdot Q$ , так как скорость изменения экспоненциальной функции пропорциональна ей самой.

Г. С. Омом». Но первые его исследование началось раныше, результаты их были опубликованы в 1825 году. Чтобы понять, как трудно было добиться признания этих работ, надо знать, какими средствами располагают физик-экспериментатор 150 лет назад.

В 1820 году Ампер обнаружил, что электрический ток отклоняет магнитную стрелку компаса. Это позволило в принципе изменить «силу тока» и понять, что есть разница между силой тока и напряжением. К этому времени были известны два источника тока: электрическая батарея «вольтов столь» (его изобрел в 1799 году А. Волта) и термодействический элемент, изобретенный Зеебеком в 1821 году. Однако никак не предоплагал, что можно установить математические законы действия батареи. Изменению действия батареи при разных соедининых элементов физики удивлялись, но никак не мог увидеть здесь ясных закономерностей. Кроме того, галванические батареи в то время были плоские, направленные на их концах изменялись во время опыта (батареи «садились»), что сильно запутывало результаты опытов. Ом отказался от этих батареей и провел свои первые опыты, использую в качестве источника ток термодействический элемент, который давал значительное менший ток, но загол был стабилен. Разность потенциальов такого элемента составляет около 0,0045 волта. Чтобы изменить силу тока, получаемую от термодействия, Ом придумал новый метод. Проводник с током располагался вдоль по направлению свободно подвешенной магнитной стрелки (т. е. вдоль меридиана), и изменялся угол, на котором надо было закрутить нитку, чтобы стрелка не отклонилась от этого направления. Угол закручивания нитки и характеризовал силу тока.

Первая формула, которую получил Ом, имела вид

$X = \frac{a}{b+x},$

произведению ускорения $\frac{e}{m} \vec{E}$ на τ:
$\vec{u} = \frac{e}{m} \vec{E} \tau.$

Если число электронов («свободных электронов», то есть таких, которые не «привязаны» к атомам) в единице объема обозначить через $N$ , то через $1 \, cm^2$ будет протекать электрический ток, равный заряду электрона, умноженному на число электронов, проходящих через $1 \, cm^2$ в 1 секунду

$\vec{j} = \frac{1}{2} \frac{e^2}{m} N \tau \vec{E}.$

В этой формуле вместе скорсти $u$ мы написали половину от нее. Это просто среднее арифметическое начального и конечного значения скоростей между двумя соударениями.

Отсюда можно написать выражение для удельной проводимости (как коэффициента пропорциональности между $\vec{j}$ и $\vec{E}$ ):

$\sigma = \frac{1}{2} \frac{e^2 N \tau}{m}.$

Джоулево тепло и работа источника тока

Таким образом, за простой формулой закона Ома скрывается много сложных явлений. При течение тока электроны все время получают энергию от электрического поля и все время теряют ее при стольнових с атомами. В результате, как хорошо известно, выделяется тепло

*) Иногда эту же формулу пишут несколько иначе, заменяя τ по формуле

$\tau = \frac{\text{свободный пробег}}{\text{средняя тепл. скорость}} = \frac{\lambda}{v_{\text{cp}}}.$

Свободный пробег — это средний путь, протекаемый электроном между двумя соударениями. Тогда

$\sigma = \frac{1}{2} \frac{e^2 N \lambda}{m v_{\text{cp}}}.$

Эта формула носит название формулы Друде.

(так, например, нагревается электрическая плитка, проволока в которой обладает большим сопротивлением).

Количество тепла, которое выделяется на участке проводника с сопротивлением, определяется формулой Джоуля — Ленца

$Q = \frac{1}{J} I^2 R,$

где $J$ — механический эквивалент тепла:

$J = 4,184 \frac{\partial \chi}{\kappa \cdot \kappa a l}.$

За счет каких же ресурсов выделяется тепло? Ответ: эту работу как и производит источник тока, поддерживает потенциаль на своих клеммах.

Возвращаясь к формуле Ома для замкнутой цепи, можно сказать, что энергия, расходуемая в форме тепла во всей цепи, включая внутреннюю часть самого источника тока, равна $E I$ , то есть произведение Э. d. c. на силу тока

$I^2 (R + r) = E I.$

Работа, совершаемая источником тока, происходит либо за счет химического энергии (в батареях), либо за счет механического (в генераторах). Последняя формула выражает закон сохранения энергии для цепи, состоящей из источника тока, замкнутого каким-либо сопротивлением.

Формула закона Ома позволяет расчитывать любые цепи постоянного тока, а в немного измененной форме ее можно обобщить и на токи переменные.

Уражнения

Найдите, по какому закону будет изменяться потенциальы двух шариков, подобных нарисованным на рисунке 3, если заряд одного $Q=0,01$ кулона, а другого 0,02 кулона. Произведение $CR$ положите равным $10^{-12}$ сек.
Через сколько времени разность между зарядами шариков уменьшится в 20 раз?