Фигуры Лиссажу

23

В «Кванте» № 1 за 1972 год мы уже расссказывали об опытах с одним из самых простых физических приборам — магнитком *). В этой статье мы рассекем еще о несколько опытах, которые мы можете провести у себя дома.

Смыные простые колебания тела — это колебания, при которых отклонение $x$ тела от положения равновесия изменяется по закону

$$x = a \sin(\omega t + \varphi),$$

где $a$ — амплитуд, $\omega$ — частота, $\varphi$ — начальная фаза колебаний.

Такие колебания называются гармоничическими. Гармоничские колебания совершают математический мятник, грузик на пружине, направление в электрическом контуре.

В этой статье мы рассмотрим случай, когда тело участует одновременно в двух гармоничских колебаниях. Если оба колебания происходит вдоль одной прямой, то уравнение движения тела будет представлено суммой уравнения двух движений:

$$x = A_1 \sin(\omega_1 t + \varphi_1) + A_2 \sin(\omega_2 t + \varphi_2).$$

Нетрудно построить график смешения тела от положения равновесия в зависимости от времени. Для этого нужно сложить ordinаты кривых, соответствующих первому и второму движениям. На рисунке 1 показан пример сложения двух гармоничских колебаний (черные синусиды). Красная линия соответствует результатурушему колебанию. Оно уже не является гармоничским.

Более сложные траектории получаются при сложении колебаний в двух взаимно перепределительных направлениях. Примером такого колебания может служить движение тела, изображенное на рисунке 2. В этом случае вид траектория зависит от соответствия частот, амплитуд и фаз взаимно перепределительных колебаний. Эти траектории называют фигурами Лиссажу, по имени французского физика Лиссажу, который в 1863 году впервые описал их. Установка, использованная Лиссажу,

*) Г. Л. Коткин, Олыты с магнитами, «Квант» № 1, 1972 г.

24

Рис. 2.

показана на рисунке 3. Камертоон $T'$ колблется в горизонтальной плоскости, камертоон $T$ — в вертикальной. Луч света проходит через линзу и попадает на зеркальце, прикрепленное к камертону $T'$, отражается им, попадает на зеркальце, прикрепленное к камертону $T$, и после вторичного отражения попадает на экран. При колбании только одного камертона светлое пятно на экран колблется вдоль прямой линии. Если колблотся оба камертона, пятно может описывать замысловые траектории.

Рис. 3. Установка Лиссажу.

Траектория движения тела в том случае, когда оно одновременно участвует в двух взаимно перpendикулярных колбанях, описывается системой управления

$$x = A_1 \sin (\omega_1 t + \varphi_1),$$
$$y = A_2 \sin (\omega_2 t + \varphi_2),$$

где $x$ и $y$ — проекции смешения тела на оси $X$ и $Y$.

Допустим для простоты, что $\varphi_1 = \varphi_2 = 0$ и $\omega_1 = \omega_2 = \omega$. Тогда

$$x = A_1 \sin \omega t,$$
$$y = A_2 \sin \omega t.$$

Это означает, что $y = \frac{A_2}{A_1} x$; следовательно, соответствия (2) описывается отрезок прямой. Угол наклона $\alpha$ к оси $X$ определяется уравнением

$$tg \alpha = \frac{A_2}{A_1}.$$

Пусть теперь $\varphi_1 = \varphi_1' + \frac{3\pi}{2}$. Тогда

$$x = A_1 \cos (\omega_1 t + \varphi_1'),$$
$$y = A_2 \sin (\omega_2 t + \varphi_2).$$

Разберем сначала самый простой случай, когда $A_1 = A_2$, $\varphi_1' = \varphi_2 = 0$ и $\omega_1 = \omega_2 = \omega$, то есть

$$x = A \cos \omega t,$$
$$y = A \sin \omega t.$$

Точка с координатами $x$ и $y$, определяемыми этим уравнением, описывает окружность радиуса $A$. Действительно, $x^2 + y^2 = A^2 \cos^2 = \omega t + A^2 \sin^2 \omega t = A^2$. А это и означает, что траектория движения — окружность.

Пусть теперь $A_1 \neq A_2$. Построим траекторию движения для случая $A_1 = 1$, $A_2 = 2$. В момент максимального отклонения $x = A_1 = 1$, то есть $\cos \omega t = 1$, $\omega t = 0$ и следовательно, $y = 2 \sin \omega t = 0$. Аналгично, при $x = 0$ $y = 2$, при $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $y = \sqrt{2}$ и так далее:

Построив по этим координатам график, мы получим эллипс, больше получь которого равна $A_2$,

25

a малая $-A_1$, то есть эллипс вытянут по оси $Y$ (рис. 4, а) *). Нетрудно показать, что при $A_1 = 2$ и $A_2 = 1$ мы получим эллипс, вытянутый по оси $X$ (рис. 4,б).

Таким образом, ясно, что, меняя соответствие амплитуд, можно получить различные эллипсы.

Пусть теперь $\omega_1 = 2\omega$, $\omega_2 = \omega$, $\varphi'_1 = 0$ и $\varphi'_2 = 0$. тогда система уравнения (3) прибретает вид

$$x = A_1 \cos 2\omega t,$$
$$y = A_2 \sin \omega t.$$

Преобразуем уравнение для $x$ следующим образом:

$$x = A_1 \left( \cos^2 \omega t - \sin^2 \omega t \right) =$$
$$= A_1 \left( 1 - 2 \sin^2 \omega t \right) = A_1 \left( 1 - 2 \frac{y^2}{A_2^2} \right).$$

Эта кривая — часть параболы с осью вдоль оси $X$ и вершиной в точке $x = A_1$ (рис. 5). Таким образом, мы получили незамкнутую кривую.

Рассмотрим теперь влияние частот на форму траектории, а амплитуды поперечного и продольного коллебаний, описываемых системой уравнения (3), возьмем одинаковыми.

Построим, например, кривые, соответствующие уравнениям

$$\begin{cases} x = A \cos \omega t, \\ y = A \sin 2\omega t, \end{cases}$$

Сделать это проще всего так. Возьмем окружность радиуса $A$ (рис. 6), отметим на ней точки, соответствующие углам $\omega t$, равным 0, $\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{8}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{8}, \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{8}, \pi, \dots, 2\pi.$

*) To, что система уравнения

$$\begin{cases} x = A_1 \cos \omega t, \\ y = A_2 \sin \omega t \end{cases}$$

описывает эллипс, можно показать и анализе:

$$\frac{x^2}{A_1^2} + \frac{y^2}{A_2^2} = \cos^2 \omega t + \sin^2 \omega t = 1,$$

то есть точка с координатами $x$ и $y$ лежит на эллипсе. (См. статью И. Н. Бронштейна «Эллипс», опубликованную в «Кванте» № 9, 1970 г.)

26

взяли окружность радиуса $A$, то координаты $x$ и $y$ каждой окружности — это проекции радиусов векторов этих точек на оси $X$ и $Y$.

Для обонх случаев получаются замкнутые кривые, число петель которых соответствует отношению
$$n = \frac{\omega_2}{\omega_1} \text{ (рис. 7, а, б)}.$$

Фигура, приведенная на рисунке 8, незамкнута. Она соответствует системе уравнения
$$x = \cos 2\omega t,$$
$$y = \sin 3\omega t.$$

В каком же случае получается незамкнутые фигуры? Можно ли найти общие закономерности? Расмотрим уравнения в виде
$$x = A_1 \cos p\omega t,$$
$$y = A_2 \sin q\omega t.$$

Прежде всего заметим, что в той точке, где кривая поворачивает обратно по той же траектории, скорости тела вдоль осей $X$ и $Y$ одновременно обращаются в нуль. Ведь именно в этом случае тело, дивяясь вдоль кривой, останавливается, а затем начинает дивягаться обратно. Если $x = A_1 \cos p\omega t$, то
$$v_x = \frac{A_1 \cos p\omega t_2 - A_1 \cos p\omega t_1}{t_2 - t_1} =$$
$$-2A_1 \sin \frac{p\omega t_2 + p\omega t_1}{2} \sin \frac{p\omega t_2 - p\omega t_1}{2} = \frac{t_2 - t_1}{t_2 - t_1}.$$

Когда $t_2 \approx t_1 = t$ (разность $t_2 - t_1$ мала), $\sin \frac{p\omega t_2 - p\omega t_1}{2} \approx \frac{p\omega t_2 - p\omega t_1}{2}$.

В результате
$$v_x = -A_1 p\omega \sin p\omega t.$$
Аналогично для $v_y$ получаем
$$v_y = A_2 q\omega \cos q\omega t.$$

Посмотрим, когда скорости $v_x$ и $v_y$ обращаются в нуль.
$$v_x = 0, \text{ если } p\omega t = k\pi,$$
$$v_y = 0, \text{ если } q\omega t = \frac{\pi}{2} + m\pi.$$

Из этих условий ясно, что фигура Лиссажу получается незамкнутой в

27

техслучаях, когда

$$\frac{p}{q} = \frac{2k}{2m + 1}$$

В частности, кривая на рисунке 8 удовлетворяет этому условию.

Фигуры Лиссажу можно наблюдать на экране осцилографа. На вертикальном развертуку подается одно гармоничное колебание, на горизонтальном — другое. Их сумма может принимать разнообразные формы. Для этого достаточно менять частоту переменного напряжения на обкладках осцилографа.

Каждай из вас может сам сделать очень простое устройство для наблюдения и фотографирования фигур Лиссажу. Возьмите обыкновенную металлическую линейку и изогните ее так, чтобы плоскость одной половины линейки была переменную плоскости второй ее половины (см. рис. 9).

Один из концов линейки zajмите в тиски. Если теперь качнуть свободный конец линейки, он будет описывать в воздухе замыслованные фигуры. Это и будет фигуры Лиссажу.

Движение свободного конца линейки складывается из независимых колебаний двух частей линейки. Однако — от тисков до перегиба и вторая — от перегиба до конца. Колебания каждой частей переменную плоскости линейки на этом отрезке. Поскольку угол перегиба линейки равен $\frac{\pi}{2}$, колебания взаимно переменикularны. Вид траектории конца линейки зависит от длины и ширины линейки и от того, в каком месте ее перегнуть.

Для получения разных фигур можно использовать одну и ту же линейку. Чтобы изменять соответствие вертикального и горизонтального колебаний, достаточно зажимать линейку в тиски в разных местах.

Так как частота колебаний зависит от длины линейки, то, меняя соответствие между длинами частей линейки, вы будете изменять соответствие между частотами взаимно переменикularных колебаний конца линейки. При этом вы будете получать различные траектории конца линейки.

Чтобы сформировать получающие фигуры, к свободному концу надо прикрепить маленькую лампочку от карманного фонарика. Лампочка проводами, протянутыми вдоль линейки, соединяется с батарейкой (рис. 9). Поместив наш сложный магнит в темной комнате, можно сформировать колебания линейки. Время экспозиции должно быть достаточно велико. Его вы можете определить, проверяя несколько опыт с разной экспозицией.