Решения задач М108—М109; Ф129—Ф130

35

РЕШЕНИЯ
В этом номере мы публикуем решения задач M108—M109.

M108

a) Докажите, что прямая, разбиющая данные треугольник на два многоугольника равной площади и равного перimetра, проходит через центр окружности, вписанной в треугольник.

b) Докажите аналогичное утверждение для произвольного многоугольника, в котором вписать окружность.

Решим сразу задачу. 6). Пусть неокторая прямая пересекает контур многоугольника, описанного около окружности с центром O, в точках P и Q, которые делят перimetр многоугольника пополам. Тогда отрезки OP и OQ разбиают этот многоугольник на два равновеликих многоугольника (чтоы убедиться в этом, достаточно соединить точку O со всеми вершинами многоугольника и заметить, что высоты у всех получившихся треугольников с вершиной O равны радиусу окружности). Но если и прямая PQ делит площадь многоугольника на две равные части, то точка O должна лежать на отрезке PQ (инчете образуется «лишний» треугольник OPQ (см. рис. 1)).

To же рассуждение позволяет доказать что более общий факт (для треугольника он приведен в книге «Задания и теоремы по геометрии» 3. А. Скопец и В. А. Жарова, Учредгиз, 1962, задача 565): прямая, пересекающая описанный многоугольник, делит его площадь и перimetр в одинаковых отношениях моеda и молько моеda, когда она проходит через центр окружности.

Любитляем геометрических неравенств представляется исследовать вопрос: сколько существует прямых, делящих площадь и perimetр треугольника со стороны a, b и c? Ответ и указание данных на стр. 60. Максимальное количество таких прямых — три, и они, по доказанному, всегда пересекаются в одной точке.

Что же касается n-угольника при n>3, то здесь таких прямых может быть даже бесконечно много, причем если многоугольник не описанный, то они могут и не проходить через одну точку (например, в равновесной трапеции с основаниями a и b можно подобрать длину боковой стороны так, что будет существовать прямая, параллельная основаниям, которая делит пополам и площадь, и perimetр; кроме нее этим свойством обладает и все прямые, проходящие через средней линии и пересекающие основания трапеции).

36

Можно доказать, основываясь на сообщениях «неперрывности», что по крайней мере одна прямая, делящая пополам и площадь, и перimetр, существует для любого выпуклого многоугольника (и вообще для любой ограниченной выпуклой фигуры). Прежде всего, ясно, что если двигать прямую, перpendикулярную фиксированному направлению $Ox$, то наступит такой момент (единистенный), когда она разделит пополам площадь, и такой момент, когда она разделит пополам перimetр. Пусть $x_S$ и $x_P$ — координаты соответствующих точек на оси $Ox$. Теперь зафиксируем точку $O$ и повернем ось $Ox$ вокруг нее на угол $\varphi$ ($0 < \varphi \leq \pi$) (рис. 2). Для каждого угла $\varphi$, то есть для каждого пополения оси $Ox$, мы сможем аналогично определить числа $x_S$ ($\varphi$) и $x_P$ ($\varphi$). Ясно, что каждая из функций $x_S$ и $x_P$ зависит от $\varphi$ «неперрывно», причем при $\varphi = 0$ и $\varphi = \pi$ каждая из них принимает значения, равные по абсцилтной величины, но противоположные по значку (ведь ось $Ox$ смотрит при этом в противоположные стороны). Следовательно, при каком-то промежутном значении $\varphi = \varphi_0$ значения $x_S$ и $x_P$ должны равнять другую другу (рис. 3). Это и есть основное свойство «неперрывности», который мы получаемся.

Как оформлять подобные доказательства строго, подробно расссказывается в книге Н. Стиниода и У. Чинна «Первые понятия топологии», одной из лучших книг популярной серии «Современная математика» («Мир», 1967).

Рис. 2. Красные прямые делят пополам площадь, сине — перimetр.

Рис. 3. Две неперрывные кривы — красная и сине — должны пересекаться.

М109

a) В вершине $A_1$ правильно 12-угольника $A_1A_2A_3\ldots A_{12}$ стоит знак минус, а в остальных — плоцы. Разрешается одновременное менять знак на противоположный в любых шести последовательных вершинах многоугольника. Докажите, что за несколько таких операций нельзя добиться того, чтобы в вершине $A_2$ оказался знак минус, а в остальных вершинах — плоцы.

b) Докажите то же утверждение, если разрешается одновременное менять знаки не в шести, а в четырех последовательных вершинах многоугольника.

b) Докажите то же утверждение, если разрешается одновременное менять знаки в трех последовательных вершинах многоугольника.

Начнем с задачи b). Разобъем все 12 вершин на три группы по четыре вершины в каждой: первая группа — вершины с номерами 1, 4, 7, 10, вторая — 2, 5, 8, 11, третья — 3, 6, 9, 12 (рис. 4, вершины каждой группы составляют квадрат). Ясно, что какие бы три последовательные вершины 12-угольника мы ни выбрали, в каждую из трех наших групп попадетровно одна из выбранных вершин. Таким образом, смена знака у трех последовательных вершин вызовет изменение количества минусов (и плосов) в каждой групперовно на единицу.

Теперь доказет, что от расположения $A$ знаков на рисунке 4 нельзя перейти к расположению $B$. У расположения $A$ и во второй, и в третьей группе количество минусов равно нулю. После первой знаков, где бы она не произошла, во второй и в третьей группе будет по одному минусу; потом, после второй знаков в каждой из этих двух групп станет 0 или 2 минуса, затем — 1 или 3 минуса, потом — 0,2 или 4 минуса, затем снова 1 или 3 минуса в каждой и т. д. Таким образом, в этих двух группах будет одновременное либо четное число минусов, либо нечетное. Но у расположения $B$ во второй группе 1 минус, в третьей — 0. Поэтому мы его заведomo не сможем получить из $A$.

37

Аналогично можно решить задачи a) и 6). Подумайте, какие группы вершин удобно рассмотреть в этих случаях. Мы не будем отдельно записьвать решения этих задач, а сразу попытаемся выяснить более общий вопрос.

Пусть в вершинах правильного $n$-угольника расставлены плюсами и минусы, и разрезается изменять знак одновременного в любых $k$ вершинах, стоящих подряд ($n$ и $k$ — данные натуральные числа, $k < n$); какие расположения знаков можно получить из данного, а какие — нет?

Рис. 4.

Рассмотрим сначала частный случай, неосредственно обобщший задачи a)—в) $n$ — делится на $k$.

Пусть $n = kn_1$. Разобъем все $n$ вершин на $k$ групп так, что в каждую группу включются $n_1$ вершин правильного $n_1$-угольника. Каждый расположение плюсов и минусов поставим в соответствии набор $y = (y_1, y_2, \dots, y')$, где

$$y_i = \begin{cases} 0, & \text{ если в } i-\text{й группе четное число минусов,} \\ 1, & \text{ если в } i-\text{й группе нечетное число минусов.} \end{cases}$$

Ясно, что смена знаков в любых $k$ последовательных вершинах вызывает изменение количества минусов в каждой группе на единицу, то есть из расположения, которое соответствовал набор $y$, получается расположение, которое соответствовал *промышленной набору $y$, получающихся из $y$ заменой всех нулей на единицу и единицу — на нулы: Изовем два расположения $x, x'$ плосков и минусов эквивалентными ($x \sim x'$), если их наборы $y, y'$ либо равны, либо противоположны *). (Например, на рисунке 4, где $n=12$, $k=3$ расположение $B$ эквивалентно $A$, а $\Gamma \sim \delta$.

Докажем, что одно из расположений можно перевести в другое тогда и только тогда, когда они эквивалентны. В одну сторону это уже, по существу, доказано: из расположения $X$ с набором $y$ при сменах знаков будут последовательно получаться расположения с наборами $y, y, y, y$ и т. д., то есть, если из $X$ можно получить $X'$, то $X \sim X'$. Докажем обратное: если $X \sim X'$, то из начального расположения знаков $X$ можно получить расположение $X'$. Ясно, что можно получить в вершинах с номерами 1, 2,…, $(n-k+1)$ те знаки, которые нам хотятся, последовательно меняя (если нужно) знаки у вершин с 1-й по $k$-ю, затем со 2-й по $(k+1)$-ю,… с $(n-k+1)$-й по $n$-ю. Таким образом, мы можем получить расположение $X''$, которое, во-первых, совпадает с $X'$ во всех вершинах, кроме, быть может, $(k-1)$ вершин с $(n-k+2)$-й по $n=10$, и во-вторых, эквивалентно $X'$ ($X'' \sim X'$ потому, что оба они эквивалентны $X$). Но тогда расположения $X''$ и $X'$ должны совпадать полностью. Действительно, поскольку $y_{1'} = y_1'$ (знаки у всех вершин 1-й группы расположения $X''$ и $X'$ совпадают) и $X'' \sim X'$, то $y_{1'} = y_1'$ для всех $i=2, 3, \dots, k$, следовательно, в вершинах с номерами от $(n-k+2)$ до $n$ у $X''$ должны стать те же знаки, что у $X'$.

Наште утверждение доказано (для $n=kn_1$). Из доказательства видно, что все множества всех наборов. (Об этом понятии см. статью М. М. Глухова «Отношение эквивалентности и разбення множества» в «Кванте» № 2, 1972).

38

Если вы разобрались в этом доказательстве, то построить переход от $A$ к $B$ и от $B$ к $Γ$ на рисунке не составит для вас никакого труда.

Прежде чем исследовать общий случай, полезно прочитать статью В. Н. Вагутена *), особенно лемму на стр. 33 и рассмотреть некоторые примеры, скажем $n=12$, $k=8$; $n=12$, $k=9$ или даже более простые $n=3$, $k=2$; $n=4$, $k=3$. Окончание решения вы найдете на стр. 60, но прежде попробyte найти его самостоятельно.

Нанболее полные и оригинальные решения задач М106—М109 присладами Г. Гриченко, В. Кореняко и М. Илларционов из Воронежка, Э. Туркевич из Черновцов, А. Черняк из Минска, Н. Чернов из Кривого Рога, А. Шерстюк из Николаева, М. Преезер из Томска, Л. Хакин из Ленинграда.

Н. Б. Васильев.

В этом номере мы публикуем решения задач Ф129—Ф130.

Ф129

Тело находится в точке $A$ внутри неподвижной полой сферы (рис. 5). В каком случае только скорее достигнет нижней точки $B$ сферы: если оно будет скользить по поверхности сферы? если оно будет скользить вдоль прямой $AB$? Трене в обих случаях пренебрежимо мало, начальная скорость тела равна нулю и расстояние $AB$ много меньше радиуса сферы.

Движение тела по поверхности сферы совершено аналогично движению математического матрика с длиной подвеса, равной радиусу сферы $R$. Так как $AB \ll R$, то отклонение тела от положения равновесия (точки $B$) мало. Поэтому для пернода колебаний матрика можно воспользоваться формулой $T = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$. Время движения тела от точки $A$ до точки $B$ равно четверти пернода колебаний, то есть

$$t_1 = \frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{R}{g}}.$$

Движение тела по наклонной плоскости — равноскорее. Ускорение $a$ ему сообщает составляющая силы тяжести, параллельная наклонной плоскости. Если угол наклонной плоскости к горизонту равен $\alpha$, эта составляющая равна $mg \sin \alpha$. Так как $AB = \frac{at^2}{2}$

($t_2$ — время движения тела по наклонной плоскости) и $AB = 2R \sin \alpha$, то

$$t_2 = \sqrt{\frac{2AB}{a}} = \sqrt{\frac{4R \sin \alpha}{g \sin \alpha}} = 2 \sqrt{\frac{R}{g}}.$$

Мы получили $t_2 > t_1$, то есть тело достигнет точки быстрее в том случае, если оно будет движаться по поверхности сферы.

Ф130

Внутри гладкой сферы находится маленький заряженный шарик. Какой величины заряжено поместить в нижней точке сферы для того, чтобы шарик удерживался в ее верхней точке? Диаметр сферы равен $d$, заряд шарика $q$, его масса $m$.

Заряд $Q$, который нужно поместить в нижней точке сферы, должен быть таким, чтобы электрическая сила, действующая на верхней шарид, была не меньше силы тяжести шарика $mg$.

*) Смотри «Квант» № 6, 1972.

To есть $\frac{qQ}{d^2} \geq mg$. Отсюда $Q \geq \frac{mgd^2}{q}$.

Однако нам нужно еще проверить, будет ли равновесие шарика устойчивым. Расстоянием малое отклонение шарика от положения равновесия (рис. 6).

Равновесие шарика устойчиво, если проекция силы $F$ электронского взаимодействия шариков на касательную к сфере больше или равна проекции силы тяжесте на ту же касательную.

$$\frac{qQ}{d^2} \sin \alpha \geq mg \sin 2\alpha.$$

(Cила $N$ реакции перпендикулярна поверхности сферы.)

Так как угол $\alpha$ отклонения шарика от положения равновесия мал, то $\sin \alpha \approx \alpha$, $\sin 2\alpha \approx 2\alpha$ и $l \approx d$. Поэтому

$$2mg \alpha \leq \frac{qQ}{d^2} \alpha.$$

Следовательно, для устойчивого равновесия шарика в верхней точке сферы в нижнюю точку сферы должен быть помещен шарид $Q \geq \frac{2mgd^2}{q}$.

Редакция получила 150 писем с решениями задач Ф123—Ф130. Наиболее трудной оказалась задача Ф123, самой легкой — задача Ф124.

Правильные решения задач прислали: А. Айзиковский (Кременчуг) Ф124, Ф125, Ф126; А. Александров (Глазов УАССР) Ф129; Т. Аманбаев (ст. Ново-Казалинск Кзыл-Ординской обл. Каз. ССР) Ф125; П. Аиненков (с. Тоцкое Оренбургской обл.) Ф124, Ф125; С. Арасланова (с. Н.-Ивкино Кировской обл.) Ф125, Ф129; Д. Архипов (Рязань) Ф127; Э. Ахмедов (Баку) Ф128; А. Баевский (Гомель) Ф123, Ф124, Ф125, Ф126, Ф129, Ф130; В. Белов (Вологда) Ф124, Ф125, Ф126, Ф128, Ф129; Л. Брадиский (Фрунзе) Ф125, Ф126, Ф128, Ф129; И. Вакер (Минск) Ф128, Ф129; В. Воронцов (п. Ивня Белгородской обл.) Ф129; С. Галахвардзе (Тбилис) Ф124, Ф125, Ф126, Ф127; А. Григорян (Баку) Ф129; В. Дарингов (с. Киншга Бур. АССР) Ф125; А. Довжиков (Ленинград) Ф129; Е. Долев (Москва) Ф124, Ф125, Ф126, Ф129, Ф130; В. Долматов (ТАшкент) Ф125, Ф126; А. Едренкин (Горький) Ф129; А. Ельков (Москва), Ф128; В. Зайцев (Острогожск Воронежской обл.) Ф129; К. Зарембо (Харьков) Ф128, Ф129; Н. Зыков (Саратов) Ф128, Ф129; А. Истомин (Подольск Московской обл.) Ф125, Ф126; Я. Итин (Речница Гомельской обл.) Ф125, Ф127; А. Каримов (Уфа) Ф128, Ф129; М. Кауль (Фрунзе) Ф125; М. Каунельсон (Магнитогорск) Ф124; Л. Книжерман (Москва) Ф128, Ф129, Ф130; В. Кокосуй (Гомель) Ф129; А. Кохман (Москва) Ф129; В. Коротхих (Новокузнецк) Ф125; С. Комко (Воронеже) Ф129; Г. Левин (Куйбышев) Ф128; О. Лимонов (Тимошевск Краснодарского края) Ф123; В. Лоевизисский (Ртишево Саратовской обл.) Ф128, Ф129; А. Лучевой (Грозный) Ф127; Ю. Лурье (Грозный) Ф128, Ф129; С. Лягушкин (Днепропетровск) Ф128, Ф129, Ф130; А. Мамула (с. Дыбинцы Богуславского р-на Кивевской обл.) Ф128; В. Михнев (Пятгирск) Ф129; Р. Мухамедов (п. Старая Кулятка) Ф127; А. Набамов (Евпатория) Ф128; С. Помашев (Ульяновск) Ф129; М. Премер (Томск) Ф130; Л. Рудцер (Харьков) Ф125, Ф129; О. Саакян (Ереван) Ф125, Ф126, Ф127; Л. Сафцулин (с. Б. Сабы Сабинского р-на Татарской АССР) Ф124; А. Сбоев (п. Медведок Нолинского р-на Кивевской обл.) Ф124, Ф126; П. Сергееев Грозный) Ф123, Ф124, Ф126, Ф128, Ф129, Ф130; И. Сидоров (Москва) Ф125, Ф126; Г. Симоненков (Кунас) Ф126, Ф127; Л. Смушкеевич (Магнитогорск) Ф123, Ф124, Ф125; М. Темкин (Минск) Ф129; В. Терентьев (Павлово Горьковской обл.) Ф126; О. Трунов (Джалал-Абад Кирг. ССР) Ф125, Ф127; Ф. Тахватулин (ТАшкент) Ф129, Ф130; Н. Федин (Омск) Ф124, Ф125, Ф128, Ф129; М. Флеров (Москва) Ф125, Ф130; Д. Фушман (Черновцы) Ф125, Ф126, Ф127; Л. Циферблам (Ливов) Ф123; С. Черников (Семипалатинск) Ф125, Ф127; Ю. Шашков (Шигры Курской обл.) Ф129; И. Юрченko (Киев) Ф129.

И. Ш. Словодечкий