Задачи М151—М155; Ф163—Ф167

33

ЗАДАЧИ

В этом номере мы помещаем задачи, предлагавшиеся на заключительных турах Всегоозной математической и физической оптимизации в апреле этого года.

Решения задач этого номера можно присылать не позднее 15 сентября по адресу: 117071, Москва В-71, Ленинский проспект, 15, издательство «Наука», редакция журнала «Квант».
После адреса на конверте укажите, решения каких задач вы посылаете (например: «Задачик «Кванта», М151, Ф153.)

Решения задач по математике и физике, а также новые задачи по каждому предмету посылайте в отдельных конвертах. В начале писем укажите свое фамилию, имя, отчество, домашний адрес (а также класс и школа, в котором вы учитесь).

M151. Каждая из девяты примых разбиает квадрат на два четырехугольника, площади которых относится как 2:3. Доказать, что по крайней мере три из этих девяты примых проходят через одну точку. (8, 10 кл.).

Б. М. Ивлев

M152. Пусть $a, b, m, n$ — натуральные числа, причем $a$ взаимно просто с $b$ и $a > 1$. Доказать, что если $a^m + b^m$ делится на $a^n + b^n$, то $m$ делится на $n$ ($9^*$), 10 кл.).

Д. Ю. Григорьев.

M153. Двое играют в следующую игру. Один называет цифру, а другойставляет ее по своему усмотренному вместе одной из звездочек в следующей разности:

---

---

Затем первый называет еще одну цифру и так далее 8 раз, пока все звездочки не заменятся на цифры.

*) В 9 классе эта задача предлагалась для частного случая $b=1$

Тот кто называет цифры, стремится к тому, чтобы разность получилась как можно больше, а второй — чтобы она стала как можно меньше. Доказать, что

a) второй может расставлять цифры так, чтобы получшаяся при этом разность стала не больше 4000, независямо от того, какие цифры называют;

b) первый может называть цифры так, чтобы разность стала не меньше 4000, независямо от того, куда расставляет цифры второй (8 кл.).

Ю. И. Ионин.

M154. На прямой дано 50 отрезков. Доказать, что верно хотя бы одно из следующих утверждений:

a) некоторые возможности обшую точку;

b) найдется возможность, никакие два из которых не имеют обшей точки (8, 9 кл.).

А. Г. Харазишвили.

M155. Дано несколько квадратов, сумма площадей которых равна 1.

Доказать, что их можно помещить без наложений в квадрат площади 2 (9, 10 кл.).

Г. А. Гальперин.

Ф163. Согласно одной из первых моделей атома водорода (модель Томсона), он представляет собой равномерно заряженный полоЖительным электрическом шар, в центре которого находится электрон. В целом atom нейтрален. Найти радиус такого атома, если известно, что минимальная энергия, которую нужно сообщить электрону для удаления его из атома на большое расстояние, равна W. Заряд электрона e. (10 кл.)

Рис. 1. Рис. 2.

Ф164. Кубик из пенопласта массой $M=100$ е лежит на горизонтальной подставке. Высота кубика равна $a=10$ см. Снизу кубик пробивает вертикальное летящая пуля, массой $m=10$ е (см. рис. 1). Скорость пули при входе в кубик $v_1=100$ м/c, при вылете $v_2=95$ м/c. Подпрыгнет ли кубик? (8, 9 кл.)

А. Р. Зильберман

Ф165. Определить, во сколько раз изменится освещенность изображения Солнца, полученного плосковым линзой, если линзу разрезать по диаметру и сложить плоскими сторонами. (10 кл.)

В. Н. Листвин

Ф166. В расположенном горизонтальном цилиндре с одной стороны от закрепленного поршня нахождения 1 molл идеального газа. В другой части цилиндра вакуум. Пружина, расположенная между поршнем и стенкой цилиндра, нахождения в недеформированном состоянии (рис. 2). Цилиндр теплопроводан от окружаюшей среды. Поршень освообходимот и после установления равновесия объем, занимаемый газом, увеличивается вдвое. Как изменится температура газа и его давление? Теплоемкость цилиндра, поршня и пружины пренебрежимо малы. (9 кл.)

Е. И. Бутиков, А. А. Быков, А. С. Кондратев

Ф167. К выходу «черного ящика» подключен идеальный аммертр. Если ко входу подключенбаатерия с эд.с. $E$ и внутренним сопротивлением $r$, то ток через аммертрровно в 2 раза меньше, чем в том случае, когда ко входу ящика подключены две такие батарей, соединенные последовательно. Нарисовать простейшую возможность схему внутреннего устройства «черного ящика». (8, 9 кл.)

А. Р. Зильберман