Конечные паркеты

25

КОНЕЧНЫЕ ПАРКЕТЫ

В. И. Каплун, В. Г. Лейбович, Е. Л. Папернов

Семь раз отмерь — один раз отрезь

Представьте себе, что вы захотели замостить пол в ванной кафельными плитками или сделать общный паркет в комнате. При этом ставится единственное условие: чтобы плитки (паркетины) были одинаковыми. Первое, что приходит в голову, — поprobовать сделать паркет из правильных многоугольников. О таких паркетах можно прочитать в статье А. Н. Колмогорова «Паркеты из правильных многоугольников»*, где рассматривается бесконечные паркеты, то есть плитки покрывались вся плоскость. Переход к ограниченным областям (таким, как комната) приводит к существенным осложнениям.

Задча 1. Докажите, что правильными треугольниками или шестиугольниками нельзя замостить прямогольную комнату.

Задча 2. Придумайте пример прямогольной комнаты, комору неелья заместить никакими квадратными плитками.

Как видите, без «неправильных» фигур нам не обойтись. Они часто делают задачу совсем простой. Например, нетрудно подобрать такую прямогольную плитку, чтобы с ее помощью можно было покрыть данную прямогольную комнату (рис. 1). В дальнейшем мы узнали, как замо-

*) См. «Квант», № 3, 1970.

стить паркетом самые разнообразные области. При этом мы будем пользоваться только многоугольными паркетинами и всегда требовать, чтобы в каждом конкретном случае все они были одинаковыми. Заметим, что если мы покрыли паркетом неокоторую фигуру, мы одновременно разбили ее отрезками прямых на многоугольника — плитки. Поэтому в дальнейшем мы будет часто употреблять слова «разбивание» и «разрезание». Слову «разрезание» мы для удобства изложения придам специальный смысл: это разбение, в котором границы плиток образуют отрезки, разрезанное нашу область «насквозь». На рисунке 2 приведен пример разбения, не являющегося разрезанием, а на рисунке 3 — пример разрезания.

Посмотрим теперь, как можно разрезать прямогольник на равные треугольники. Это и будет одной из основных наших задач. Например, проведя диагональ, мы разрежем прямогольник на два равных треугольника.

Задча 3. Докажите, что произвольный прямогольник можно разрезать на любое целое число треугольников.

Возникает естественный вопрос: можно ли разрезать прямогольник на нечетное число равных треугольников? Ответ на этот вопрос будет следовать из более общих результатов, для получения которых мы

26

Докажем одну теорему о разрезании бесконечных области на равные треугольники.

Для ее формулировки нам понадобится одно важное понятие.

Пусть имеется некоторое семейство прямых на плоскости. Будем говорить, что это семейство обладает системой направления и, если на плоскости можно выделить конечное число прямых, что каждая прямая из данной совокупности параллельна одной из них. Так например, направления, выделенные красным цветом на рисунке 4, являются направляющими для приведенного на этом рисунке множества прямых.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Основная теорема. Пусть плоскость разрезана на равные треугольники; модель возможны следующие случаи:

1. если треугольники разрезания — прямоугольные с углами 30°, то система направляющих семейства прямых разрезания состоит либо из 3, либо из 4, либо из 6 элементов;

2. если треугольники разрезания — прямоугольные, но не являются треугольниками из случая 1, то система направляющих может состоять только из 3 или 4 элементов;

3. наконец, если треугольники разрезания не являются прямойными, то направляющих всего 3.

Отметим одно свойство разрезаний, которое будет играть важную роль в дальнейших расчудениях.

Пусть имеется произвольный треугольник, входящий в разрезание (ΔABC на рис. 5). тогда каждая из сторон этого треугольника определяет одну из прямых разрезания. К каждой из этих прямых по другую стороны приложены еще треугольники. Расмотрим, например, сторону AC треугольника ABC на рисунке 5 и соответствующую ей прямую l (на которой она лежит). Расмотрим тот из приложенных к AC треугольников, который имеет с AC общее точку, отличные от точек A и C (такой треугольник, очень широку). тогда этот треугольник — обозначим его A’B’C’ — может занимать по отношению к ΔABC только два положения (рис. 5, а и б). Доказательство этого факта (основанное на равенстве треугольников ABC и A’B’C’ и на том, что нашей разбиение есть

Рис. 4.

Рис. 5, a.

Рис. 5, b.

Рис. 6.

27

разрезание) мы оставляем читателем в виде легкого упражнения, разминки перед более трудными задачами, которые встреятся уже очень скоро.

Тепер можно перейти непосредственно к доказательству теоремы. Расмотрим сначала случай 3. Пусть $ABC$ — произвольный треугольник нашего паркета (рис. 6). Пусть, для определения, угол $A$ у него наобольший (в случае равноведренного или равностороннего треугольника можно, как будет ясно из дальнейшего, брать произвольный из соответствующих углов). Покажем, что второй треугольник, приложенный к стороне, содержащей вершину $A$, может образовать только конфигурацию, представленную на рисунке 5, $6$ (в дальнейшем будем писать просто «приложен по типу «6»)). Действительно, так как угол $A$ наобольший, то $\angle A \geq 60^\circ$. Следовательно, если треугольник $A'B'C'$ приложен по типу «a», то к другой стороне, содержащей вершину $A$, приложить треугольник уже нельзя. Доказательство этого несложного факта оставляем читателю. Отделно рассмотрим случай $\Rightarrow A = 60^\circ$.

Отсюда следует (это тоже задача), что парket может выглядеть только как на рисунке 7 (часть треугольников на нем закрашена для нагладности).

Переходим к случай 2. Очевидно, что здесь можно составить такой же паркет, как в случай 3. Но в этом случае можно построить ещеровно один (задча!) паркет (см. рис. 8).

В случай 1, конечно, могут быть реализованы оба паркета случай 2 и еще один паркет (опять задча!), который приведен на рисунке 9.

Тепер, имея в руках теорему о бесконечных паркетах, можно рассмотреть и разрезания конечных фигуры.

Теорема 1. Если квадрат разрезан на равные треугольники, мотеугольники эти — непременно прямоуровневые и их центное число.

Действительно, конечный паркет является либо частью одного из бесконечных, изобравенных на рисунках 7—9, либо имеет вид правильного $n$-угольника (это задча) (рис. 10).

В квадратной комнате, оченьindo, треугольный паркет может иметь вид, только как на рисунках 7—9. Но стороны квадрата сами обязаны быть прямыми разрезания, так что слуай 3 отпадает. Следовательно, разбиение состоит из прямойных треугольников. (Заметим, что когда треугольники на рис. 8 — равноведенные, мы получаем паркет типа рис. 10.). Если паркет имеет вид, как на рисунке 7, то среди образующих направленный только два взаимно перpendикularны. Они-то и должны совпадать с направлением сторона квадрата. В этом случае каждый из категов треугольника разрезания должен целое число раз укладывать на стороне квадрата. Пусть сторона квадрата равна $a$, а категы укладывают в ней соответствующее две пары взаимно perpendикularны направляющих.

Отметим, наконец, что паркет типа рис. 9 на квадрате реализовать нельзя. В этом можно убедиться следующим образом. Пусть длина гипotenузы треугольника разрезания равна $a$, тогда категы соответствующее равны $\frac{a}{2}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2} a$. Но если какой-нибудь прямой паркетом типа рис. 9, то (доказите!) одна из его сторон равна $k \frac{\sqrt{3}}{2} a$, а другой $n \frac{3}{2} a$, где $n$ и $k$ — цельные числа. Но тогда

28

стороны прямогольника оказываются неоизмеренными, а поэтому квадрат получится не может.

Теорема 2. Если прямогольник разрезан на равные треугольники, то все эти треугольники — прямогольные и их центное число.

Доказательство этой теоремы не отличается существению от доказательства теоремы 1. Попробуйте доказать ее самостояльно.

Убедившись, что паркеты для прямогольника не столбут уж разнообразны, естественно задают вопрос: а как обстоит дело с другими фигурами, например, с треугольником? Ясно, что равноведренный треугольник можно разрезать на два равных треугольника. А другие?

Задчаа 4. Докажите, что если треугольник разрезается на два равных треугольника, то он равноведренный.

Задчаа 5. Дан произвольный треугольник; на сколько равных треугольников можно его разрезать?

Все-tаки и треугольник, как видно, можно разрезать. Можно подумать, что так обстоит дело в всех многоугольников.

Однако это не так. Простейшим примером неразрезаемой фугры мы сейчас и займемся.

Рассмотрим вопрос о разрезании трапеций. На рисунке 11 приведен пример трапеции, которое можно разрезать на равные треугольники. Покажем, однako, что имеются трапеции, которые нельзя не только разрезать, но и разбит на равные треугольники. Существование таких трапеций основано на существовании неоизмеримых отрезков.Напомним, что отрезки $a$ и $b$ неоизмеримы, если отношение их длин — irrationalное число *). Наозвем отрезки $a_1, \dots, a_n$ взаимно неоизмеримы, если никакой $a_r$ не представим в виде $a_r = k_1 a_1 + \dots + k_n a_n$, где $k_1, \dots, k_n$ — рациональные числа ($k_r = 0$).

Возьем трапецию со сторонами $l, m, n, p$ (рис. 12), где отрезки $l, m, n, p$ взаимно неоизмеримы. Допустим, что ее можно разбит на равные треугольники. Расмотрим сторону $l$. Наше разбиение разделит ее на части, каждая из которых — одна из сторон треугольника разбиения (рис. 13). Поэтому $l = k_1 a + k_2 b + k_3 c$, где $k_1, k_2, k_3$ — целые неотрицательные числа. Аналогичные рассуждания для остальных сторон трапеции дают систему равенств

$$\begin{align*} l &= k_1 a + k_2 b + k_3 c, \\ m &= k_1 a + k_5 b + k_6 c, \\ n &= k_7 a + k_8 b + k_9 c, \\ p &= k_{10} a + k_{11} b + k_{12} c \end{align*}$$

где $k_1, k_2, \dots, k_{12}$ — целые неотрицательные числа. Мы допустили, что разбиение осуществимо. Значит, при данных $k_1, k_2, \dots, k_{12}$ эти равенства можно рассматривать как систему уравнения относительно $a, b$ и $c$.

Задчаа 6. Покажите, что в общем случае из попарной неоизмеримости чисел $a_1, \dots, a_n$ не следует их взаимная неоизмеримость.

Задчаа 7. Покажите, что совместное перехвих трех уравнений имеет вид

$$\begin{align*} a &= r_1 l + r_2 m + r_3 n, \\ b &= r_4 l + r_5 m + r_6 n, \\ c &= r_7 l + r_8 m + r_9 n \end{align*}$$

где $r_1, \dots, r_9$ — рациональные числа.

Подставив значения $a, b$ и $c$ в четырёх уравнения, получим $p =$

*) В дальнейшем отрезок и его длина обозначются одинаково.

29

$$= r_{10}l + r_{11}m + r_{12}n, \quad r_{10}, r_{11}, r_{12} \text{ — разциональные числа. Но отрезки } l, m, n \text{ взимно несоизмеримы. Мы пришли к противоречию; следовательно, трапецю со взимно несоизмеримыми сторонами разбит на равные треугольники невозможно.}$$

Задачка 8. Показите, что граница со сторонами $n = \sqrt{2}, m = \sqrt{3}, l = \sqrt{7}, p = \sqrt{5}$ нельзя разбит на равные треугольники.

Возьем теперь прямогольник и склием из него цилиндр (рис. 14). Если мы разрежем полученный цилиндр под каким-либо углом к основанию, то получим параллелограмм (рис. 15). Тем самым задача разрезания цилиндра прямым эквивалентна разрезанию параллелограмма. Но тут ситуация во многом аналогична прямогольнику: на четное число разрезать легко, на нечетное число равных треугольников разрезать параллелограмм нельзя, а можно ли разбит его на нечетное число треугольников, неизвестно. Мы видели, что для трапеции возможно разбиения связывана с разрешимостью определенной системы уравнения. Для параллелограммы мы имеем только три независимых уравнений, соответствующие тем величины, определенным параллелограммм, то есть двум сторонами и углу при основании. Поэтому задача условияется. Важно отметить, что угол $\alpha$ при основании зависит целком от нас, и мы можем выбирать его, как нам удобно.

Интересными свойствами по отношению к разрезаниям обладает другая фигура, которое можно склеить из прямогольника — лист Мёбиуса. Лист Мёбиуса получается, если мы склеиваем прямогольник $ABCD$ (рис. 16) следующим образом: прикленм $AB$ к $CD$ так, чтобы $A$ склеилось с $C$, а $B$ с $D$, то есть $AB$ «переворачивается». Лист Мёбиуса обладает рядом замечательных свойства.

(См., например, «Энциклопедия элементарной математики», М., 1966, т. 5, стр. 500).

Если мы сделаем разрез под острым углом к краю поверхности, то получим равноведренную трапецию (рис. 17). В ней угол $\alpha$ произвольен и $a + b = AD + BC$. Нетрудно подобрать $\alpha$ так, чтобы $3b = 4a$, тогда, проведяя шесть разрезов, мы получим 7 равных треугольников.

Задачка 9. Показите, что лист Мёбиуса можно разрезать на любое число равных треугольников.

Теперь, когда читатель ознакомился с некоторыми идеями и методами разрезания, мы предоставляем ему самостояльно занять теорей разрезания и разбиения. Приведем ряд возможных задач из этой области.

Задачка 10. Показите, что всякий прямогольный треугольник разрезается на любое, начиная с двух, число треугольников, подобных пероначальному.