Задачи М166—М170; Ф178—Ф182

ЗАДАЧИ

М166. а) Школьники одного класса в сентябре ходили в два туристских похода. В первом походе мальчиков было меньше $2/5$ общего числа участников этого похода и во втором — тоже меньше 2/5. Докажите, что в этом классе мальчики составляют меньше 4/7 общего числа учеников, если известно, что каждый из учеников был по крайней мере в одном походе.

6. Пусть в $i$-м походе ($i=1,2,\dots,n$) мальчики составляли $\alpha_i$ часть общего количества участников этого похода. Какую наиболее долю могут составлять мальчики на общей встрече всех туристов (всех, кто был хотя бы в одном из $n$ походов)?

М167. Докажите, что в любойарифметической программе $a, a+d, a+2d,\dots,a+nd,\dots,$ составленной из натуральных чисел, найдется бесконечно много членов, в разложение которых на простые множители входят в точности один и те же простые числа.

Дж. Пойа

М168. В правильной усеченной примите (рис. 1) точка $K$ — середина некоторых стороны $AB$ верхнего основания, $L$ — середина некоторых стороны $CD$ нижнего основания.

Докажите, что проекции отрезков $AB$ и $CD$ на прямую $KL$ равны по длине.

Г. Номен

М169. Пусть $k<n$ — натуральные числа. Расставьте числа 1, 2, 3, $\dots,n^2$ в таблицу $n \times n$ так, чтобы в каждой строке числа шли в порядке возрастания и при этом сумма чисел в $k$-м столбце была а) наименьшей; б) наименьшей.

Н, Б. Васильев

39

М170. а) Пусть $M$ и $N$ — точки касания окружности, вписанной в треугольник $ABC$, со стороны $AB$ и $AC$, $P$ — точка пересечения прямой $MN$ с биссертской угла $B$. Доказите, что угол $BPC$ — прямой.

6. Доказите более общий факт: если точка $O$, расположенная внутри треугольника $ABC$, такова, что $\angle BOC = \angle BAO = 90^\circ$, $M$ и $N$ — основания перпендикуляров, опущенных из точки $O$ на стороны $AB$ и $AC$, $P$ — точка пересечения прямых $BO$ и $MN$, то $\angle BPC = 90^\circ$ (рис. 2).

Рис. 2.

Ф180. В закрытом кубическом сосуде с ребром 1 см имеется $n$ молекул газа. Степки кубика таковы, что молекул газа, попав на стенку, остается на ней $10^{-2}$ с. Оценить, сколько молекул газа находится на стенках.

Сосуд находится при комнатной температуре.

А. А. Боровой

Ф181. Подводная лодка, погружаясь вертикально, излучает короткие звуковые импульсы сигнала гидролокатора длительностью $\tau_0$ в направлении дня. Длительность отра-

женных сигналов, изменяемых гидроакустиком на лодке, равна $\tau$. Какова скорость погружения лодки?

Скорость звука в воде $V$. Дно горизонтальное.

Ф182. В однородное электрическое поле, направлено которого равна $E$, внесли металлический шар. Известно, что плотность поверхности зарядов на «полюсе» шара в точке $A$ (рис. 3) равна $\sigma_0$. Определить плотность поверхности зарядов в точке $B$, направление на которой из центра

Рис. 3.

шара составляет угол $\alpha$ с направлением внешнего электрического поля.

Ю. А. Дрейзин

Ф183. Спутник движется вокруг земли по почти круговой орбите со скоростью $v$. Изменение его орбиты связано с тем, что на спутник действует со стороны микрочасти сила трения $F = A \cdot v^\alpha$, где $A$ и $\alpha$ — константы. Найти $\alpha$, если известно, что радиус орбиты спутника меняется очень медленно.

Ф184. Оцените, на какую высоту вы смотли бы подрыгнут на Луне.

И. Ш. Словодечкий