Математический бой

Квант 1972, №10 с. 71, 72, 74 Тег RP1T

В «Кванте» № 5 в информации о слете учащихся физико-математических школ мы упоминали о том, что на слете проводился математический бой — соревнование, ставшее популярным в физико-математических школах. В этом номере мы публикуем правила математического боя и задачи математического боя, состоящейся на 6-ой Всесоюзной математической клиппаде в Челябинске.

В математическом бсе участвуют 2 или 3 команды, состоящие из 8—12 членов каждой, один из них является капитаном. Подготовку боя и судейство ведет жюри, которое заранее отбирает задачи и (объчно столько же, сколько членов в команде) и утверждает правила и регламент боя, а во время боя присуждает командам очики. Наболее интересно проходит боий трех команд, поэтому мы изложим правила математического боя для трех команд, а затем раскажем об сообщенности боя двух команда.

Подготовительная часть

Первые 2—5 часов команды нахо-дятся в различных помещениях и решают задачи. При этом ни одна из команд не должна получить информацию о том, какие задачи решены противниками.

На этом этапе команда выступает как единое целое: все ее члены вместе решают задачи, и если задача решения кем-либо из них, то остальные решать ее уже не надо. Распределением задачи руководит капитан. Однако в дальнейшем по каждой задаче команду будет представлять один человек, поэтому капитан должен распределить решенные задачи между командами (при этом один человек может выступать по нескольким задачам). Кроме того, нужно «специалисты» по перешенным задачам, знакомые со всеми трудностями и тонкостями задачи и способные опровергуть неправильное решение противника.

Бой

Когда кончается время на подготовку, команды собираются вместе в зале и начинается бой, который состоит из тuroв (по каждой задаче). Прежде всего жюри с помощью легких дополнительных вопросов, конкурса капитанов или жеребевкой присваивает команда номера A, B, C (в дальнейшем роли команда меняются в соответствии с заранее составленным расписанием, если ни одна из команда не отказывается от вызова).

Псслед этого жюри предоставляет право команде A вызвать команду B на любую задачу, которая решена командой A и еще не рассказывалась. Если команда A не имеет таких задач, то она может отказывать от вызова, но при этом сна лишится права выступать до конца боя. Поэтому иногда команда сознать дело вызов на нерешенную задачу. Если это в дальнейшем обнаруживается, то классифицируется как «некорректный вызов» и соответствующим образом карается.

Далее возможно 9 вариантов, собранные в таблицу 1.

Команда B может принять вызов, либо может отказывать рассказывать решение. В случае отказа проверяется корректность вызова: решение обязана рассказыть команда A. Если команда знает решение, но не может четко рассказыть его или подозревать, что в решении есть ошибки, часто бывают выгоднее отказыться отечать. Однако из команда A или B назначает ответашего решения, другая—оппонента. Команда C сразу же назначает

9 вариантов распределения роли 3 команд в.type

| A | B | A | C | B | ответ | опп. | рец. | штраф |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| вызов B | принят | — | — | — | B | A | C | — |
| вызов B | отказ | принят | — | — | A(?) | B | C | ? |
| вызов B | отказ | отказ | отказ (некорр. вызов) | принят | — | C | B | A | A |
| вызов B | отказ | вызов C | — | принят | — | C | B | A | — |
| отказ | вызов C | — | отказ | принят | B(?) | C | A | ? |
| отказ | вызов C | — | отказ | принят | отказ (некорр. вызов) | — | — | B |
| отказ | отказ | — | принят | — | C | B | A | — |
| отказ | отказ | — | отказ | — | — | — | — | — |

что она обязана повторить вышеов. Кроме того, жюри имеет право часть очков не распределять между командами вообще.

Расписание роликом надо составлять так, чтобы каждый команда могла вызвать каждый другую. Если войдется по 6 (или 12) задачам, то в 6 турах как раз получаются все перестановки 3 команд (3!=6): ABC, BCA, CAB, ACB, CBA, BAC.

Задачий математический боя в Челябинске на Всесоюзной математической олимпиаде *)

Дана последовательность {a_n} и функция f makeя, что f(n+1) — f(n) ≥ n+1. Известно, что a_n ≤ a_{n+1} + a_f(n). Доказите, что можно указыть также илены a_i1, …, a_ih, что a_i1 + a_i2 + … + a_ih > 100.
В сыре, имеющим форму куба. n × n × n, вырезана сферическая дырамра 1. Найти минимальное число плоских разрезов, позволяющих наверняка ее обнаружить.
Каждая страна на плоскости состояит из одного или двух кусков.

*) Эту часть статьи подготовил к печати председатель жюри математического боя Л. Г. Лиманов.

Докажите, что карту можно правильно раскрасть 12 цветами.

В треугольнике ABC построены внутренним образом равноведренные треугольники ABC’, BCA’, ACB’. Доказать, что прямые CC1, BB1 и AA1, перpendicularные A’B’, A’C’ и B’C’ соответственно, пересекаются в одной точке.
Для всякого n можно указыть макое m, что из m целовек можно выбрать n попарно знакомых или n попарно незнакомых.
Данные числа a_0, a_1, a_2, …, a_n, причем a_0=a_n=0, a_i > 0 при i≠0, n и a_s-1+a_s+1 ≥ a_s cos π/k.

Доказать, что n ≥ k.

Дана функция f на отрезке [ab], причем f + f’’ > 0, f(a) = f(b) = 0, f(x) > 0 на (ab).

Доказать, что b − a ≥ π *).

Пусть a и n — натуральные числа, большее 1. Доказать, что a^n − a ≠ ∑_d a^d − 1, где суммирование ведется по некоторым делимелям d числа n.

*) f’’ — вторая произведение функции f. Считается, что она существует во всех точках отрезка [a, b].

В «Кванте» № 6 следующие операции:

5a ± √a^2 + 4a | 5a − √a^2 + 4a
20√21, 20√21 | 10√21, 10√21
S | 2S