Задачи М171—М175; Ф183—Ф187

Квант 1972, №11 с. 40-41 Тег JSVX

ЗАДАЧНИК
КВАНТА

Решения задач этого номера можно посылать не позднее 31 декабря по адресу: 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15, издательство «Наука», редакция журнала «Квант». После адреса на конверте укажите, решения каких задач вы посылаете; например: «Задачик «Кванта», М146, М148». В начале письма укажите свое фамилию, имя, отчество, домашний адрес, а также класс и школа, в котором вы учитесь. Решение каждой задачи (если вы посылаете сразу несколько) должно быть написано на отдельном листке (листках), страниццы пропуверованы. Решения задач по каждому из предметов — математике и физике, а также новые задачи, — просылать в отдельных конвертах.

Задачи

M171. На плоскости нарисован правильный шестиугольник, длина стороны которого равна 1. При помощи только линейки построить отрезок длины 1/7.

А. В. Аляев

M172. Докажите, что при любом простом $p$ число
$\underbrace{11\ldots122\ldots233\ldots3\ldots99\ldots9}_{p}$
делится на $p$ .

M. Л. Гервер

M173*. В квадратной таблице 4×4 расставлены числа 1, 2, 3,…,

Рис. 1.
40

16 так, что сумма четырех чисел в каждой строке, в каждой стольце и на каждой из двух диагоналей равна одному и тому же числу, причем 1 и 16 стоит в противоположных углях таблицы. Докажите, что в этом «магический квадрат» сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, одна и та же.

Л. Г. Лиманов

M174. На сторонах треугольника $ABC$ , как на основаниях, построены равноведенные треугольники $AB_1C$ , $BA_1C$ и $AC_1B$ (рис. 1). Докажите, что перпендикуляры, опущенные из

точек $A, B$ и $C$ соответственно на прямые $B_1C_1, C_1A_1$ и $A_1B_1$ , пересекаются в одной точке.

А. Г. Гейн

М175* a) Каждая сторона правильно треугольника разбиита на $m$ равных частей, и через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам, разрезанное треугольник на $m^2$ маленьких треугольников. Среди вершин полученных треугольников нужно отметить $N$ вершин так, чтобы ни для каких двух отмещенных вершин $A$ и $B$ отрезок $AB$ не был параллелен ни одной из сторон (на рисунке 2 $m=6$ ). Каково наиболее возможное значение $N$ (при заданном $m$ )?

разделим каждое ребро tetrahedра на $m$ равных частей, и через точки деления проведем плоскости, параллельные граммы. Среди вершин полученных многогранников отметим $N$ вершин так, чтобы никакие две отмещенные вершины не лежали на прямой, параллельной одной из граней. Каково наиболее возможное $N$ ?

в) среди целочисленных решений уравнения

$x_1+x_2+\ldots+x_k=m,$

удовлетворяющих условиям $0 \leq x_i \leq m$ (для всех $i=1, 2, \ldots, k$ ), нужно выбрать $N$ решений так, чтобы ни в каких двух из выбранных решений никакое не принадлежное $x_i$ не принадлежало одного и того же значения. Чему равно наиболее возможное значение $N$ ? (Задание a) и 6) является частьным случаем задания в соответствии при $k=2$ и $k=3$ .

М. Л. Гервер

Ф183*. Динамиметр, который скольzt по гладкому горизонтальному столу, тянут с постоянной силой $F=4 \text{ n}$ . Что показывает dynamometer, если масса егоружины равна массе корпуса и отградирован диаметром был в горизонтальном положении?

Г. Л. Комкин

Ф184. При передаче телевизионного изображения на Земле за 1 секунду передается 25 кадров. Это означает, что 1 кадр передается за $\frac{1}{25}$ секунды. В то же время, как известно, передача одного кадра изображения Луны совершенствовала стандар «Луна» длялась 25 минут. Почему так велика разница во времени передачи 1 кадра изображения в общих случаях?

Ф185. Волейбольный мяч массой 200 г и объемом 8 л накаан до избыточного давления 0,2 амп. Мяч был подброшен на высоту 20 м и после подброшения на твердый грунт подскочил почти на ту же высоту. Оцените максимальное температуру воздуха в мяче в момент удара о грунт. Температура наружного воздуха $300^\circ \text{K}$ , теплоекость воздуха при постоянном объеме $c_v=0,16 \text{ кал/л·срэд}$ .

Ф186. При повороте автобуса или автоматила пассажиров отбрасывается в сторону, противоположную направлению поворота. В то же время, поворот самолета совсем не ошибается его пассажирами. Объясните эту разницу.

И. Ш. Словодечкий

Ф187. Tonкая металлическая пластина площади $s$ залита слоем жидкого диэлектрика с плотностью $\rho$ и диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$ , что толщина этого слоя много меньше линейных размеров пластины. Что произойдет с жидкостью, если пластине сообщить электрический заряд $+Q$ ?

В. Д. Кривенков

*) В «Кваште» №9, 10 следует читать номера задач: Ф173—Ф177 и Ф178—Ф182.