Расстояния между скрещивающимися прямыми

52

Рассмотняя механизм скрещивающегося прямыМИ

М.Л.Крайзман

При решении задач на вычисление расстояния между скрещивающимся прямыми полезно разлиать два случая:

1. скрещивающая прямы перpendикуляры;
2. скрещивающая прямы не перpendикуляры.

Если скрещивающая прямы $a$ и $b$ перpendикуляры (1-й случай), то проще всего через одну из скрещивающих прямы проверки плоскость $\alpha$, перpendикулярую к другой прямой (рис. 1; из произвольной точки $M$ на прямой $a$ опущен перpendикуляр $OM$ на прямую $b$, плоскость $\alpha$ определяется двумя пересекающими прямыми $a$ и $MO$, потому что $b \perp a$ по условию и $b \perp OM$ по построению, следовательно, $b \perp \alpha$ по обобщению признаку perpendикулярности прямой и плоскости). Затем из точки $O$ пересечения плоскости $\alpha$ и прямой $b$ надо опустить perpendикуляр $ON$ на прямую $a$, $ON$ — исключение расстояние.

Пример 1. Определить расстояние между диагональю куба с ребром $a$ и скрещивающейся с ней диагональю грани.

Решение. Будем определить расстояние между $B_1D$ и $D_1C$ (рис. 2). Так как $D_1C \perp DC_1$, а $DC_1$ — проекция $B_1D$ на плоскость $DD_1C_1C$, то $D_1C \perp B_1D$ (по обобщенной теореме о трех perpendикулярах). Из соответствии $D_1C \perp DC_1$ и $D_1C \perp B_1D$ следует (по признаку perpendикулярности прямой и плоскости), что $D_1C \perp DB_1C_1$. Пусть $O$ — точка пересечения $D_1C$ и $DC_1$. Опустим из точки $O$ perpendикуляр $OK$ на $B_1D$, $OK$ — исключение расстояние скрещивающимся прямыми $B_1D$ и $D_1C$. Найдем его. Для этого заменим, что прямогольные треугольники $OKD$ и $B_1DC_1$ подбны и $OK: B_1C_1 = OD: B_1D$. Отсюда

$$OK = \frac{a\sqrt{6}}{6}.$$

53

Прежде чем перейти к следующим примерам, докажем теорему, выражающую зависимость между углами треугранного угла, в котором две грани взаимно перепределились.

Теорема 1. Если две грани треугранного угла взаимно перепределились, то косинус плоского угла грани, лежащей против прямого двумерного угла, равен произведению косинусов плоских углов грани, оранживающих этом прямой двумерный угол.

Доказательство. На рисунке 3 пл. ASB ⊥ пл. BSC, ⇒ ASC = α, ⇒ ASB = β, ⇒ BSC = γ. Мы хотим доказать, что cos α = cos β · cos γ. Для этого из точки M на ребре SA опустим перепределения MO на BS и MN на SC. Соединим точки N и O. Согласно теореме о трех перепределиклярах SC ⊥ NO. Из △SMO и △SON находится

$$\cos \beta = \frac{SO}{SM}, \quad \cos \gamma = \frac{SN}{SO}.$$

Переменным эти равенства: cos β · cos γ = $\frac{SN}{SM}$, и найдем cos α из △SNM: cos α = $\frac{SN}{SM}$. Отсюда cos α = cos β · cos γ. Теорема доказана.

Пример 2. Каждый ребро треугранной прізмы равно α. Однако из боковых ребер образует с приложением сторонами основания углы, каждый из которых равен α. Определить расстояние между этим ребром и скрещивающейся с ним сторонами основания.

Решение. Требуется определить расстояние между AA₁ и BC (рис. 4). Известно, что если наклонная, исходящая из вершины угла,

$$\text{Рис. 3.}$$

образует со стороны этого угла равные углы, то проекция наклонной на плоскость угла будет его bicсектрисой. Поэтому AO — bicсектриса угла BAC. Но △ABC — правильный, продолжение AD bicсектрисы будет высотой этого треугольника и поэтому AD ⊥ BC. По обобщенной теореме о трех перепределиклярах BC ⊥ AA₁, а на основании обобщенного признака перепределиклярости прямой и плоскости BC ⊥ пл. DAA₁. Опустим из точки D перепределикляр DK на AA₁; DK — искомое расстояние между BC и AA₁. Пусть ⇒ A₁AO = x; применив теорему 1 к треугранному углу AA₁DC, получим: cos ⇒ A₁AC = cos ⇒ A₁AD · cos ⇒ DAC; cos α = cos x · cos 30°. Отсюда

$$\cos x = \frac{\cos \alpha}{\cos 30^\circ} = \frac{2\sqrt{3}\cos \alpha}{3}.$$

Осталось найти KD из △AKD:

$$KD = AD \cdot \sin x = \frac{a\sqrt{3}}{2}\sqrt{1 - \cos^2 x} = \frac{a\sqrt{3}}{2}\sqrt{1 - \frac{4}{3}\cos^2 \alpha} = \frac{a}{2}\sqrt{3 - 4\cos^2 \alpha} = \frac{a}{2}\sqrt{3 - 4\cos^2 \alpha},$$

причем $\frac{\pi}{6} < \alpha < \frac{5\pi}{6}$.

Теперь рассмотрим случай, когда скрещивающейся прямые не перепределикляры между собой. Так как в заданных на вычисление нет необходимости строить перепределикляр к

55

между скрещивающимся прямыми. Один из этих методов базируется на теореме об объеме треугольной прямиды.

Теорема 2. Объем треугольной прямиды равен одной шестой произведенной длины двух любых ее скрещивающихся ребер на расстояние между ними и на синус угла между ними.

Доказательство. Из произвольной вершины ($B_1$) параллелепида $AC_1$ проведем диагонали $B_1A$, $B_1D_1$, $B_1C$ граней, скодящихся в этой вершине (рис. 9). Концы этих диагоналей соединим между собой. Получим параллелепид $B_1AD_1C$, которая называется вписанной в параллелепиде, а параллелепид, наоборот, описанным вокруг этой параллелиды (его легко построить, проводя пары параллельных плоскостей через противоположные ребра параллелиды).

Объем параллелепида равен:

$$V_{AC_1} = V_{B_1AD_1C} + V_{D_1ADC} + V_{B_1ABC} + V_{AA_1B_1D_1} + V_{CB_1C_1D_1}.$$

Так как

$$V_{D_1ADC} = V_{B_1ABC} = V_{AA_1B_1D_1} = V_{CB_1C_1D_1}.$$

(основания этих параллелевки и равны положение площади основания параллелепида, а высоты их равны высоте $h$ параллелепида), то

$$V_{B_1AD_1C} = V_{AC_1} - 4V_{D_1ADC} = V_{AC_1} - 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} Sh = V_{AC_1} - \frac{2}{3} Sh = \frac{1}{3} V_{AC_1}.$$

Итак, объем вписанной треугольной параллелепиды составляет одну треть

объема описанного параллелепида, или после преобразования,

$$V_{B_1AD_1C} = \frac{1}{3} V_{AC_1} = \frac{1}{3} Sh = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} AC \cdot BD \cdot \sin \varphi \right) \cdot h = \frac{1}{6} AC \cdot B_1D_1 \cdot h \cdot \sin \varphi.$$

При решении задач на находение расстояния между скрещивающимся прямыми можно использовать особенности описанного параллелепида в зависимости от свойств виссной треугольной параллелиды. Например, по-proбуйте самостояльно доказать, что если в парамиде два скрещивающих ребра:

a) равны, то у описанного параллелепида грани, в котором лежат эти ребра, будут прямоугольниками;
b) равны и перpendикularны, то соответствующие грани будут квадратами.

Пример 5. В треугольной парамиде противоположные (скрещивающие) ребра попарно равны между собой и соответствующими равны a, b и c. Найти рассмотрение между ними.

Решение. Противоположными гранями описанного параллелепида является прямой угольник, и потому сам параллелепид будет прямой угольник (рис. 10). Искомые расстояния между скрещивающимся ребрами будут равны рассстоянием между противоположными гранями, то есть ребрам прямого параллелепида.

56

Составим систему уравнения:

$$x^2 + y^2 = a^2,$$
$$x^2 + z^2 = b^2,$$
$$y^2 + z^2 = c^2.$$

Сложив их почленно, и разделив на 2, получим

$$x^2 + y^2 + z^2 = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{2},$$

а вычитая из последнего уравнения каждое из уравнений системы и извлекая квадратный корень, найдем

$$x = \frac{1}{2} \sqrt{2(a^2 + b^2 - c^2)},$$
$$y = \frac{1}{2} \sqrt{2(a^2 + c^2 - b^2)},$$
$$z = \frac{1}{2} \sqrt{2(b^2 + c^2 - a^2)}.$$

Пример 6. Два промивоноложных ребра треугольной парамиды соответствующего равны 6 см и 8 см, а каждое из остальных четырех ребер — по 13 см. Определить расстояние между скрещивающимся ребрами этой парамиды.

Решение. Так как $AB_1 = B_1C = AD_1 = D_1C$ (рис. 11), то все боковые грани параллелепида $AC_1$ — равные прямогольники. Следовательно, в основании лежит ромб $ABCD$, а сам параллелепид является прямым. Отсюда $d(AC; B_1D_1) = BB_1$, $d(AD_1; B_1C) = d(AB_1; D_1C) = h$, где $h$ — высота ромба $ABCD$. Далее легко найти, что $h = 4,8$ см, $BB_1 = 12$ см (сделайте это самостояльно).

На следующей теореме основан алгебраческий метод решения задачи на определение расстояния между скрещивающимся прямыми.

Теорема 3. Пусть данные скрещивающей прямые $a$ и $b$. На прямой $a$ взяты точки $A_1, A_2, A_3$ и из этих точки опущены перpendикуляры $A_1B_1, A_2B_2, A_3B_3$, на прямую $b$. Тогда $A_1A_2:A_2A_3 = B_1B_2:B_2B_3$.

Доказательство. Проведем через прямую $b$ произвольную плоскость $\alpha$ (рис. 12) и рассмотрим ortогonalную проекцию прямой $a$ на эту плоскость; проекции точки $A_1, A_2, A_3$ обозначаем через $A'_1, A'_2, A'_3$ соответственно. Из свойств параллельной проекции имеем

$$A_1A_2:A_2A_3 = A'_1A'_2:A'_2A'_3.$$

Следним точки $A'_1, A'_2, A'_3$ соответственно с точки $B_1, B_2, B_3$. Из теоремы о трех перpendикулярах следует, что $A'_1B_1 \perp b, A'_2B_2 \perp b, A'_3B_3 \perp b$, поэтому $A'_1B_1 \parallel A'_2B_2 \parallel A'_3B_3$. По теореме о пересечении двух прямых рядом параллельных прямых можно написать:

$$A'_1A'_2:A'_2A'_3 = B_1B_2:B_2B_3.$$

Из равенств (1) и (2) непредседательства следует:

$$A_1A_2:A_2A_3 = B_1B_2:B_2B_3.$$

Пример 7. В основании парамиды SABC лежит прямой вертикальной треугольник $ABC$ с синоменузой $AB = c$ и острым углом $BAC$, равным $30^\circ$. Боковая грань, проходящая через

57

камет AC, перпендикулярна к плоскости основания, а две остальные образуют с ней угол, также равный 30°. Определить расстояние между SB и AC.

Решение. Найдем проекцию отрезка SB на отрезок AC. Для этого из точки S и B опустим перпендикуляры SO и BC на AC (рис. 13), и SK на AB; тогда Пр_ACSB = OC. Найдем отношение $\frac{OC}{SB}$. Из равенств $\Rightarrow SKO = \Rightarrow SCO = 30^\circ$ следует, что OK=OC и OB — биссерриса угла ABC. Далее находим: $BC = AB \cdot \sin 30^\circ = \frac{1}{2}c$,

$$OC = BC \cdot \mathrm{tg} 30^\circ = \frac{c \sqrt{3}}{6},$$

$$SC = OC \cdot \cos 30^\circ = \frac{1}{3}c,$$

$$SB = \sqrt{SC^2 + BC^2} = \frac{c \sqrt{13}}{6}.$$

Следовательно,

$$\frac{OC}{SB} = \frac{c \sqrt{3}}{6} : \frac{c \sqrt{13}}{6} = \sqrt{\frac{3}{13}}.$$

Из произвольной точки P, взятой на SB, опустим перпендикуляр PQ на AC; тогда проекций PB на AC будет QC. Согласно теореме 3 OC:SB = QC:PB, откуда $\frac{QC}{PB} = \sqrt{\frac{3}{13}}$; пусть $QC = x \sqrt{3}, PB = x \sqrt{13}$. Применим к треугольнику CPB теорему косинусов:

$$PC^2 = \frac{c^2}{4} + 13x^2 - 2\frac{c}{2} \cdot x \sqrt{13} \cos \Rightarrow CBP.$$

Рис. 13.

Из $\triangle SCB$ найдем

$$\cos \Rightarrow CBS = \frac{CB}{SB} = \frac{c}{2} : \frac{c \sqrt{13}}{6} = \frac{3}{\sqrt{13}},$$

и подставим в (3):

$$PC^2 = \frac{c^2}{4} + 13x^2 - cx \sqrt{13} \cdot \frac{3}{\sqrt{13}} = 13x^2 - 3cx + \frac{c^2}{4}.$$

Далее, из $\triangle QPC$ имеем

$$QP^2 = CP^2 - QC^2 = 13x^2 - 3cx + \frac{c^2}{4} - 3x^2 = 10x^2 - 3cx + \frac{c^2}{4}.$$

Найменьшее значение $QP^2$ будет равно квадрату расстояния между скрещивающимся прямыми; найдем его. Если $QP^2 = ax^2 + bx + c$, то

$$x_{\min} = -\frac{b}{2a} = \frac{3c}{20}; \quad (QP^2)_{\min} = 10 \cdot \frac{9c^2}{400} - 3c \cdot \frac{3c}{20} + \frac{c^2}{4} = \frac{c^2}{40};$$

$(QP)_{\min} = \frac{c \sqrt{10}}{20}.$

Уражнения

1. В основании парамиды SABC лежит прямогольный треугольник ABC ($\Rightarrow C = 90^\circ$) с квадром BC = a и приложшим острым углом α. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом β. Определить расстояние между гипотенузой AB и скрещивающимся с ней боковым ребром SC.

2. Сторона основания правильно треугольной парамиды равна a. Определить расстояние между апфемой парамиды и скрещивающейся с ней стороном основания, если угол наклонна бокового ребра к плоскости основания равен 60°.

3. Сторона основания правильно четырехугольной парамиды SABCD равна a, а плоский угол при вершине равен α. Определить расстояние между скрещивающимся ребрами этой парамиды.