Марки, посвящённые Леонарду Эйлеру

62

наблюдать, влакут за собой вопросы, а каждый вопрос может вырасти в целое исследование».

В самом деле — разговор начинается с явления, которые каждый постояно видит вванной, — а затем с логической неизбежностью выходит за ее пределы. Автор ведет нас в цирк и рассказывает о секрете «математических способностей» деревованных собак. Он объясняет причины, по которым корпус скрипки отличает от корпуса виолончели, коротко рассказывает об остаточном магнетизме скальных пород. Матнитные свойства ванны оказываются прекрасным поводом для бескоды о земном магнетизме.

В конце каждой главы приводится несколько задач, а также указываются самостояльные исследования, которые можно проведити по данной теме.

Эта книга ценна тем, что читатель не требует знания ниччего для того, чтобы понять в ней все. Ее с увлечением прочитет и школьник, только что приступший к изучению физики, и взрослый человек, который либо не изучал этого предмета прежде, либо забил его.

Возможно, что кое-кому из наших читателей опыты, приводенные в книге Рачлиса, показуется слишком простыми. Ведь их основа хорошо известна из школьного курса физики, где имеются опыты и последнее. Но они всего лишь описаны, часть из них продемонстрировал вам учитель, и весма немного вывыполняли сами на уроках и в школьном кабинете физики. Здесь же вам предоставляется возможность неторопливо попагодать и подумать самим.

Прочитав эту книгу, вы не пожалеете о потраченном на нее времени. А закрыв последнюю страницу, вы видите, что такой же занимающий физическийлабораторий может стать кухня, двор, река, лес, проселочная дорога.

В. А. Лецковце

УГОЛОК КОЛЛЕКЦИОНЕРА

МАРКИ, ПОСВЯЩЕННЫЕ
ЛЕОНАРДУ ЭЙЛЕРУ

Леонард Эйлер (1707—1783) — крупнейший и самый продуктивный математик и механик XVIII века. Его исследования охватили все области математики и ее приложений. Наряду с математкой главной сферы его творчества была механика. Множество теорем, формул и методов увековения имя Эйлера. За свою жизнь он написал около 800 основополагающих работ. Среди его трудов немало работ, посвященных астрономии, оптике, расчетам наиболее правильных конструкций телекопов, микросоколов и даже обычных очков (см. статью на стр. 31—33).

Первая марка с портретом Леонард Эйлера вышла в Германской Демократической Республики в 1950 г. в серии, посвященной 250-летию Берлинской Академии наук. Затем три марки с портретом Эйлера вышли в 1957 г. к 250-летию его рождения. На одной из них, выпущеной на родине Эйлера в Швейцарии, изобразен его портрет, а с левой стороны приведена одна из выведенных им формул. На другой, выпущеной в Советском Союзе, портрет Эйлера изобразен на фоне Петербургской и Берлинской Академии наук, членом которых он являлся. Третья марка выпущена Германской Демократической Республики в серии «Выдающесу учены». Все эти марки вы видите на фото.

А. В. Алмыкс

63

К статье «Клетчатые доски и полимино»

1. Если $m$ и $n$ нечетны, то доска $m \times n$ не имеет ни одной хорошей пары клеток.
   Пусть $mn$ четно. Устройм на доске шахматную раскраску. Пары разноцветных клеток — и только они! — являются хорошими парами клеток.
2. Если $m$ и $n$ нечетны, то заведomo выигral первый играющий.
   Пусть хотя бы одно из чисел $m, n$ четно. Уложим доску домино. Телерь нетрудно заметить, что второй играющий может выиграть вне зависимости от игры первого; для этого ему достаточно после каждого хода первого играющего замерки вторую клетку того домино укладки, клетку которого замеркет первый играющий.
3. a) Легко заметить, что $n$ должно быть четным. Используя шахматную раскраску, можно показать, что необходимо условнем возможность укладки является
   $n \equiv 0 \pmod{4}$.
   Используя рисунок 1, легко показать, что это условие и достаточно.

6. Ответ не изменится: $n$ любое число, кратное четым.

4. a) Легко заметить, что $n$ должно быть четным. Используя столбецую циклическую раскраску в два цвета, можно показать, что необходимо условнем возможность укладки является
   $n \equiv 0 \pmod{4}$.
   С помощью рисунка 2 легко показать, что это условие и достаточно.

6. Ответ не изменится: $n$ — любое число, кратное четым.

5. a) Ответ: хотя бы одно из чисел $m, n$ кратно $k$. (Указа и и е: для решения задачи можно использовать любой из методов, использованных в стате при решении задачи 1).

6. Нет: либо оба цилиндра можно уложить $k$-мино, либо оба нельзя.

6. a) Будем считать, для определениясти, что для изготовления листа Мебиуса из доски $m \times n$ мы склеили противоположные стороны длины $m$; тогда лист Мебиуса можно уложить линейным $k$-мино, если из чисел $m$,

Рис. 1. Рис. 2.

2$n$ хотя бы одно кратно $k$ и только в этом случае. (Указание: для решения задачи можно использовать любой из методов, использованных в стате при решении задачи 1.)

6. Может при любом четном $k$, за исключением $k = 2$. Для того чтобыровно один из двух листов Мебиуса можно было уложить линейным $k$-мино, необходимо и достаточно, чтобыровно одно из чисел $2m, 2n$ было кратно $k$.

К статье «СЕТІ в вопросах и задачах»

Если числа, выражающие расстояния между импульсами, записать в двойном виде, одно под другим, получим:
$$7645 = 1110111011101$$
$$4361 = 1000100001001$$
$$4553 = 100011001001$$
$$4361 = 1000100001001$$
$$7625 = 111011001001$$

Если теперь стереть нули, то получим:
$$111 111 111 1$$
$$1 1 1 1 1$$
$$1 111 1 1$$
$$1 1 1 1 1$$
$$111 111 1 1$$

то есть название конференциции, о которой говорилось в начале статьи.

К статье «Расстояния между скрещивающимся прямыми»

Первая задача легко решается, если применить принцип Дирихле. После олимпиды многое участники советской команды исследовали возможность решения задачи для меньшего количества чисел. Для 8 чисел С. Конягиным был построен primer, для которого угверждение задачи не выполняется. Для 9 чисел задача не была решена.

Вторую задачу большинство учашихся решало следующим путем: разбивали данные четырехугольник на трапецю и четырехугольник с углами, равными данными. Затем от трапеции отскелали равновобочную тра-

64

пещею и трапецю, которое легко разбит на 2 четырехугольника, около каждой из которых можно описать окружность.

Четвертая задача имеет много различных решений, причем задача упрощается, если заметить, что система неравенств не изменяется при циклической перестановке неизвестных, и что каждому решению системы соответствует второе решение, получаемое перестановкой $y_i = \frac{1}{x_i}$, такое, что если $x_i = x_j$, то $y_i < y_j$ и если $x_i = x_j$, то $y_i = y_j$.

Пятую задачу можно решить построением неограниченной возвращаютсяпоследовательности $f(|x_n|)$. Она имеет более простое решение, если пользоваться понятным верхней грани.

Шестая задача — вычислительного характера. Ее можно решать вычислив расстояния от одной из данных плоскостей до одной из вершин tetraэдра, в зависимости от угла наклона грани tetraэдра, в которой находится остальные его вершины, к данным четырем параллельным плоскостям.

К задачам «Квант» для младших школьников»
(См. «Квант» № 10, 3-я стр. обл.)

1. Проводик — абориен.
2. Нет. Указание. После каждого хода цвет поля, на котором оказывается конь, меняется.
3. 64 года. Указание. 1936=44².
4. Указание. Когда человек делает рукоокажение, то его партнер также делает рукоокажение. Поэтому общее число всех совершенных рукоокажений $2+2+\ldots +2$ число четное. Рассмотреть это число как сумму двух чисел: рукоокажение, совершенных лодьми, сделавшим четное число рукоокажей (ono четно) и лодьми, сделавшим четное число рукоокажей (получается, что и оно четно).
5. 9801: 1089=9.

К «Задачам», помещенным в «Кванте»
№ 10 (стр. 30)

1. $n=36$.
2. Лемма. Пусть данные 2 параллельные прямые, тогда любой отрезок на одной из этих прямых можно разделить на $n$ частей ($n$ — натуральное).

Доказательство. Схема деления отрезка на 2 части показана на рисунке 1 (проверьте). Телерь мы можем делить отрезок на $2^m$ частей (для этого каждого половинку делим пополам и т. д.). Чтобы разделить $AC$ (рис. 2) на $n$ частей, разделим $MN$ на $2^m$ частей, где $2^m \ge n$. Отсчитаем от точки $M$ отрезков (отрезок $MF$) и продолжим $AM$ и $FC$ до пересечения в точке $Q$. Остальное очередное.

Решение задачи. Распределим веса так, как показано на рисунке 3, то есть будем считать, что в точках $N$ и $K$ 2 независимых веса в 1 кц. Легко найти центры тяжестей треугольников $AMN$, $KLC$ и $BNK$ (точки пересечения медиан). Телерь в точке $R(PR=RQ)$ расположен вес 6 кц, в точке $O$ — вес 3 кц. Осталось разделить $OR$ на 3 частей.

3. Применить инверсию.

Окончание списка читателей, правильно реших задачи №138, №140—№142, №145—№147 (см. «Квант» №10, 1972 г.).

А. Соколовский (Кривой Рог)
№142, №147; М. Сулмангалеве (с. Ваныш Башкирской АССР) №140; О. Саакян (Ереван) №140; Ф. Симакин (Новокузнецк) №142; Е. Соколов (Тула) №145; Л. Степанов (Тбилис) №147; Казимир Салова (Варшава, Польша) №147; В. Сафонов (Алма-Ата) №141; В. Терентьев (Павлово Горьковской обл.) №147; О. Торонов (Оренбург) №145; О. Трунов (Джалал-Абад) №145; Д. Фишман (Черновцы) №147; А. Фросов (Москва) №142; Г. Фрадин (Днепропетровск) №142; Г. Фурман (Черновцы) №138,. №145; М. Хусаковов (Чистополь Татарской АССР) №147; И. Хвостманцев (Москва) №145; С. Холодков (Калуга) №147; М. Хорошин (Чернигов) №147; В. Чубов (Армавир) №142; А. Шаршаков (Москва) №146; В. Шапкин (Октябрьский Башкирской АССР) №142; Р. Шицанов (Люберцы Московской обл.) №141, №142; И. Юренко (Киев) №138.

К задаче «Несостоявшийся обед»
(См. стр. 21, 39)

Дорофей Мартьяньч мог пригласить пятеры гостей: Никодima Гавриловча, Клеопатру Ивановну, Порфирия Аполлинаревча, Розаллю Леопольдовну и Акакия Акакиевча.