Роберт Гук о своём законе

18

есты потенциальная энергия ниги $W$ определяется площадью треугольника $OCD$:

$$W = \frac{1}{2} Fx = \frac{1}{2} kx^2.$$

Потенциальная энергия груза переходит в кинетическое энергию его движения, а затем в энергию деформации ниги. Так как полная высота, с которой падает груз, равна $(l+x)$, то

$$mg(l+x) = \frac{1}{2} kx^2.$$

Отсюда удилиние ниги равно

$$x = \frac{mg + \sqrt{m^2g^2 + 2kmgl}}{k},$$

а максимальная сила натяжения ниги (так как $k = \frac{SE}{l}$)

$$F = mg + \sqrt{(mg)^2 + 2mgES}.$$

Следовательно, максимальноеускорение

$$a = g \left(1 + \sqrt{1 + \frac{2ES}{mg}}\right)$$

(очевидно, оно достигается в нижней точке).

Таким образом, ни максимальная сила, ни максимальноеускорение не зависит от длины ниги.

Возвращаясь к прыжкам с вышки, мы видим, что не существует критической высоты, начиная с которой перегрузки становятся недопустимыми для человекаского органазма. Если нить (лиана) по упругим свойством близка к резине (каучуку), то есть $E \approx 10^7 \frac{H}{m^2}$, поперечное сечение ниги $S = 9 cm^2$ и масса прыгуна $72 \text{ кг}$, то $a = 5 \text{ g}$. Такие перегрузки для человека вполне допустимы.

Роберт Гук
о своем законе

Закон пропорциональности удлиненияружины приложенной силе был открыт англійским физиком Робертом Гуком (1635—1703).

Гук был очень разносторонним ученым. Но он не доводил свой работы до конца, а потому до сих пор спорят — опередил ли Гук свойства современников Ньютона и Гюйгена. Но закон, который позволяет численную величины силы, вошел в историю под названием закона Гука. Гук, в двух своево времени, называл его не законом, а теорей. Вот как Гук писал о созданной им теории пружины:

«…Teория пружины не была до сих порником опубlikована, хотя разные значенные математики трудились над ней. Сейчас прошло уже около восемнадцати лет с тех пор, как я впервые нашел ее. Однако, намереваясь ее применить кчемнибудь полезному, я удержался от публикации.

Спустя три года Его Величество благословно наблюдал опыты, испытывали эту теорию, в Уайт-холле, а также мои пружинные часы.

Еще через два года я напечатал теорию как ana-gramму в конце моей книги описания гелиоскопов: ceiiilo ssttuv, то есть Ut tensio sic vis. Это значит: натяжение пружины изменится в той же пропорции, что и сила *). Итак, если одна сила вытягивает или изгибает на единицу, то две изогнут на две, три — на три и так далее. Так как теория очень заменяет теорию: «Каково расчетные, такова и сила»).

20

шению $\frac{\Delta y}{\Delta t} \approx ky$

или

$$\Delta y \approx ky \cdot \Delta t,$$

(1)

где $k$ — коэффициент пропорциональности. Этот коэффициент может быть как положительным числом (например, в процессе роста численности населения), так и отрицательным (например, в процессе радиоактивного распада). Пribлиженное соотношение (1) надо помнить в том смысле, что относительная ошибка этого соотношения убивает с уменьшением промежутка времени $\Delta t$, то есть что при стремлении $\Delta t$ к нулю соотношение $\frac{\Delta y}{\Delta t} \approx ky$ становится все более точным.

Тепер поставим вопрос: какой же функциональной зависимости можно описать процесс, обладающий свойством (1)?

Среди элементов функции, изучаемых в школе, мы находим одну функцию, обладающую нужным свойством — это показатель функции $y=a^t$. В самом деле, изменение (или приращение) этой функции $\Delta y = a^t + \Delta t - a^t$ в силу основного свойства показатель функции $a^t + \Delta t = a^t \cdot a^{\Delta t}$ можно представить в виде произведения двух соотношателей $\Delta y=a^t (a^{\Delta t} - 1)$. Первый множество $a^t$ совпадает со значением функции $y=a^t$, а второй множество $a^{\Delta t} - 1$ зависит только от приращения аргумента $\Delta t$. Можно показать, что при малых значениях $\Delta t$ разность $a^{\Delta t} - 1$ приближено пропорциональна $\Delta t$. Этот факт эквивалентен тому, что график показатель функции $y=a^t$ имеет касательную в точке пересечения этого графика с осью ordinат (рис. 1).

Отрезок $a^{\Delta t} - 1$ приближено равен отрезку $\Delta t \cdot tg \varphi$, где $\varphi$ — угол наклона касательной к оси абсцисс:

$$a^{\Delta t} - 1 \approx \Delta t \cdot tg \varphi,$$

(2)

причем относительная ошибка приближенного равенства (2) уменьша-

Рис. 1.

ется с уменьшением $\Delta t$ и стремится к нулю при $\Delta t \rightarrow 0$ (вспомним, что касательная определяется как предельное положение секущей). Приближенное равенство (2) остается справедливым и для отрицательных значений $\Delta t$, мальх по абсциссной величины.

Но отсюда следует, что приращение показатель функции $y=a^t$ при малых $\Delta t$ приближено равно

$$\Delta y \approx y \cdot \Delta t \cdot tg \varphi.$$

(3)

Соотношение (3) аналогично соотношению (1) и полностью совпадает с ним, если выбрать такое основание $a$, чтобы для него значение $tg \varphi$ совпало с коэффициентом пропорциональности $k$.

Однако при описании процессов значительное удобнее пользоваться одним и тем же основанием, а коэффициент пропорциональности $k$ учитывает явным образом в показатель степени. Для этого выбираем такое

Рис. 2.

21

основание, при котором $tg\varphi=1$; тогда график показательной функции пересечет ось ordinат под углом $45^\circ$. Такое основание обозначает буквой $e$. Число $e$ irrationalно, его приближение значение равно 2,718.

Показательная функция с основанием $e$ и называется экспонентой. Она имеет специальное обозначение: Expr $t$. График экспоненты $y=e^t$ изображен на рисунке 2. Касательная к нему в точке $t=0$ накладена к оси $Ot$ под углом $45^\circ$, поэтому она задается уравнением $y=1+t$.

Можно показать, что все точки экспоненты лежат выше касательной, так что при всех значениях $t$ выполняется неравенство $e^t>1+t$. Из этого неравенства можно получить оценки числа $e$. Для этого заметим что при $t=\frac{1}{n}: \frac{1}{n}>1+\frac{1}{n}$; отсюда, возвода в степень $n$, получим

$$e > \left(1+\frac{1}{n}\right)^n.$$

При $t=-\frac{1}{n+1}: e^{-\frac{1}{n+1}}>1-\frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$, откуда $\frac{1}{n+1}<\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}$, и, возвода в степень $n+1$, получим

$$e < \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}.$$

Неравенствами

$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n < e < \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$$

число $e$ определяется однозначно (см. статью Л. Г. Лиманова «О числе $e$ и $n!$», «Квант» № 5, 1972).

Так как при основании $a=e$ по определению $tg\varphi=1$, то из формулы (3) вытекает приближение равенство (при $t=0$ и малых $\Delta t$)

$$\Delta e^t = e^{\Delta t} - e^0 = e^{\Delta t} - 1 \approx \Delta t.$$ (4)

Тепер введем коэффициент пропорциональности. Для этого подставим в формулу (4) $k \cdot \Delta t$ вместе $\Delta t: e^{k \cdot \Delta t} - 1 \approx k \cdot \Delta t$ (при малых $\Delta t$).

Значит, для функции $e^{kt}$ приращение $\Delta y$ (при любом $t$) имеет вид

$$\Delta y = e^{k(t+\Delta t)} - e^{kt} = e^{kt} \left(e^{k \cdot \Delta t} - 1\right) \approx ky \cdot \Delta t.$$

Таким образом, функция $y=e^{kt}$ удовлетворяет условия (1). Очевидно, что и функция $y=Ce^{kt}$ при любом постоянном множителье $C$ удовлетворяет этому же условияю, так как ее приращение равно

$$\Delta y = Ce^{k(t+\Delta t)} - Ce^{kt} = Ce^{kt} \left(e^{k \cdot \Delta t} - 1\right) \approx ky \cdot \Delta t.$$

В конкретных примерах можно tellе $C$ позволяет учеть так называемое начальное условие — значение величины $y$ в начальной момент времени $t=0$. При $t=0$ получаем $y(0) = Ce^0 = C$. Окончательно описываемый процесс можно записать так:

$$y(t)=y(0)e^{kt}.$$ (5)

Мы начали с показательных функций, но любую показательную функцию можно выразить через экспоненту, использую равенство

$$a^t = e^{kt},$$

где $k=\log_e a$. Логарифм по основанию $e$ называется натуральным логарифмом и обозначется символьом $\ln a$, то есть $\ln a=\log_e a$. Выбор экспонентов вместе другой показательной функции объясняется лишь простой учета коэффициента пропорциональности $k$.

Natуральные логарифмы связаны с десятичными соотношением

$$\ln a = \frac{1}{\lg e} \cdot \lg a,$$

которое получается при логарифмировании по основанию 10 тождества $e^{\ln a}=a$ и переносом $\lg e$ в правую часть.

ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИМЕРЫ

Здесь мы, исходя из физических соображений, показем, что рассматриваемый процесс удовлетворяет соотношению (1), а отсюда немедленно будет следовать, что этот процесс описывается экспонентой (5).

22

1. Радиоактивный распад

Пусть в некоторый начальный момент ($t=0$) мы имеем $N_0$ атомов радиоактивного вещества. Распад атомов в нем совершается случайным образом, но экспериментально установлено, что среднее число атомов, распадающихся за малый промежуток времени, пропорционально количеству имеющих атомов. Следовательно, через промежуток времени $t$ у нас будет уже не $N_0$ радиоактивных атомов, а $N_t$. Так как этот процесс удовлетворяет уравнению (1), то мы можем написать $N_t=N_0e^{kt}$.

Найдем значение коэффициента $k$. Для этого используем понятие перiodа полураспада $T$.

Перiod полураспада — это время, за которое число атомов вещества уменьшается вводе. Начальное количество вещества нам известно, период полураспада $T$ также известен. Тогда коэффициент $k$ можно найти из условия, что к моменту времени $t=T$ остanetся половина начального количества:

$$N_T = \frac{1}{2} N_0$$

Рассмотрим возможность столбецничного сечения (рис. 4). Пусть давление на высоте $h$ равно $P$, тогда давление на высоте $h+\Delta h$ изменится на величины $\Delta P$, где $\Delta P$ — вес воздуха столбца высоты $\Delta h$. Но $\Delta P \approx -\rho g \cdot \Delta h$, где $\rho$ — плотность воздуха на высоте $h$, $g$ —ускорение свободного падения. Если положить, что температура воздуханого столбца всегда одинакова, то в силу газовых законов плотность газа прорциональная давление и обратно пропорциональная абсолотной температуре, то есть $\rho = k \frac{P}{T}$, где $k$ — коэффициент пропорциональногоости, $T$ — абсолотная температура (коэффициент

$$kT = \ln \frac{1}{2} = -\ln 2, \quad k = -\frac{\ln 2}{T},$$

и окончательно

$$N_t = N_0e^{-\frac{\ln 2}{T}t}$$

2. Процесс разряда конденсатора

Пусть $C$ — емкость конденсатора, $R$ — сопротивление, через которой разряжается (рис. 3), $q$ — заряд конденсатора в момент времени $t$ (в момент $t=0$ мы замыкаем ключ $K$), $\varphi_1 - \varphi_2$ — разность потенциалов, соответствующая заряду $q$, $I$ — ток в момент времени $t$, $\Delta q$ — изменение

23

цитент $k$ может быть найден из уравнения Менделеева — Клапейрона). Подставляя значение $\rho$ в формулу для $\Delta P$, получим

$$\Delta P \approx -k \frac{g}{T} P \cdot \Delta h,$$

откуда

$$P = P_0 e^{-\frac{k g h}{T}} h.$$

4. Явление самонидукции

Рассмотрим цепь (рис. 5), состоящую из источника э. д. с. $(E)$ и последовательно включаемых катушки индуктивности $(L)$ иOmческих сопротивлений $(R)$. Пусть до момента времени $t=0$ цепь замкнута и по ней течение ток $I_0$. При $t=0$ закоротим цепь ключом $K$ и рассмотрим изменение со временем тока $I(t)$ в цепи $L$, $R$. Согласно закону Ома для рассматриваемой цепи, состоящей из индуктивности иOmческого сопротивления, имеем $IR \approx -L \frac{\Delta I}{\Delta t}$ (здесь $-L \frac{\Delta I}{\Delta t}$ представляется собой э. д. с. самонидукции). Следовательно,

$$\Delta I \approx -\frac{R}{L} I \cdot \Delta t,$$

откуда

$$I(t) = I_0 e^{-\frac{R}{L} t}.$$

Для цепи, состоящей из катушки $L$, сопротивления $R$, и источника э. д. с. $(E)$ (рис. 6), закон Ома примет форму $IR \approx E - L \frac{\Delta I}{\Delta t}$. Пусть в момент $t=0$ ключ $K$ замкнули

Рис. 6.

Рис. 7.

(до этого предполагается цель разомкнутой). После того как процесс станет установившимся, в цепи будет ток $I_0 = \frac{E}{R}$, но до наступления этого результатующего ток в цепи получается как алгебраическая сумма тока $I_0$ и противоположного ему, определяемого формулой (6). Таким образом, при неустановившемся режиме результатующий ток определяется как

$$I = \frac{E}{R} \left( 1 - e^{-\frac{R}{L} t} \right).$$

Его график изобравен на рисунке 7.

5. Остывание тела

Согласно закону Ньютона при небольшей разности температур между телом и окружающей средой изменение энергии тела за время $\Delta t$ определяется формулой

$$\Delta Q \approx -k (T - T_c) \cdot \Delta t,$$

где $\Delta Q$ — количество излучаемой энергии (телла) за время $\Delta t$, $T$ — температура тела, $T_c$ — температура окружающей среды, коэффициент $k$ зависит от поверхности и природы тела. Для простоты положим $T_c=0$, тогда $\Delta Q \approx -k T \cdot \Delta t$. С другой стороны, изменение количества теплла равно $\Delta Q = C \cdot \Delta T$ (здесь $C$ — тепллоемкость тела, $\Delta T$ — изменение его температуры). Сравнивая выражения для $\Delta Q$, получим

$$\Delta T \approx -\frac{k}{C} T \cdot \Delta t,$$

24

то есть скорость изменения температуры пропорциональна температуре тела, следовательно,

$$T = T_0 e^{-\frac{k}{C} t}.$$

Читатель предлагается в случае $T_c \neq 0$ докаазать справедливо следующей формулы:

$$T = \left( T_0 - T_c \right) e^{-\frac{k}{C} t} + T_c.$$

6. Движение тела в вязкой жидкости

Рассмотрим движение лодки в воде с учетом силы вязкого треня. Пусть лодка с работающим двигателем движется в воде равномерно (это означает, что сила тгиги движателя уравновешивается с силой вязкого треня). В момент времени $t = 0$ движатель выключится; требуется найти закон изменения скорости лодки.

Очевидно, что после выключития двигателя на лодку действует лишь тормозящая сила вязкого треня, которая пропорциональна скорости лодки и направлена в сторону, противоположную движению: $F_{tp} = -kv$. Подставляя выражение для силы во второй закон Ньютона $F = ma$, получим $ma = -kv$ или

$$\Delta v \approx -\frac{k}{m} v \cdot \Delta t.$$

Следовательно, скорость лодки изменяется по закону

$$v = v_0 e^{-\frac{k}{m} t}.$$

Рис. 8.

7. Ослабление интенсивности изменения при прохождении через поглощающую среду

Паралельный пучок лучей (или частиц), проходя через слой вещества, уменшает свою интенсивность (рис. 8). Если толщина слоя достаточно мала, то интенсивности пучка пропорционально толщине слоя: $\Delta I \approx k_1 \cdot \Delta l$. С другой стороны, количество поглощенных квантов (или рассеяных частиц) пропорционально интенсивности пучка: $\Delta I = -k_2 I$.

Коэффициенты $k_1$ и $k_2$ зависит от свойств поглощающей среды. Объединия обе формулы, получим

$$\Delta I \approx -k I \cdot \Delta l.$$

Отсюда интенсивность паралельного пучка при прохождении через поглощающую среду убивает по закону

$$I = I_0 e^{-kl}$$

(закон Ламберта — Бугера — Бера).

8. Работа идеального газа при изготовлении процессе

При изображении процессе работа, совершаемая идеальным газом, может быть вычислена как произведение давления на изменение объема: $A = P(V_2 - V_1)$. В случае изготовления процесса этой формы ползоваться нельзя, либо давление не остается постоянным. Но при малом изменении объема можно пренебречь изменением давления и вычислять работу как

$$\Delta A \approx P(V_2 - V_1) = P \cdot \Delta V.$$

Выразив давление по формуле Менделеева — Клапейрона, получим

$$\Delta A \approx \frac{m}{\mu} RT \frac{\Delta V}{V}.$$

Это позволяет найти зависимость $V$ от $A$:

$$\Delta V \approx \frac{\mu}{mRT} V \cdot \Delta A,$$

откуда следует, что

$$V = V_0 e^{\frac{\mu}{mRT} A}.$$