Создатели неевклидовой геометрии

СОЗДАТЕЛИ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ

На фото вы видите 4 марки с портретами выдающихся математиков. Это Карл Фридрих Гаусс (1777—1855), Николай Иванович Лобачевский (1792—1856) и Янош Бойяи (1802—1860). Объединиет их то, что все трое, независимо друг от друга, занимались разработкой неевклидовой геометрии (см. статью «Творец новой геометрии» на стр. 7).

Гаусс не опубликовал ни одной работы по неевклидовой геометрии. Однако после его смерти в его дневникх были найдены материалы, относящиеся к неевклидовой геометрии, которые обнаруживал, что он приSEL к мысли о возможности построения неевклидовой геометрии. Однако он опасался, что эти идеи не будут поняты, и не только не опубликовал их, но и запрещал другим, знакомым с его работой, публиковать что-либо по этим вопросам. Он писал: «Возможно даже, что я не решусь на это всю свою жизнь, потому что боюсь крика беттийцев, который поднимется, когда я высказу своей воззрения целиком».

Далее после ознакомления с работами Бойяи и Лобачевского Гаусс не высказал своего отношения к ним, хотя был инцизатором избрания Лобачевского членом-корреспондентом Геттингенского ученого общества.

Ниболье полно разработал неевклидовую геометрию Лобачевский. Он опубликовал первый работ по неевклидовой геометрии за три года до Бойяи (в 1829 году), а дополнителье физико-математической отделению Казанского университета еще ранше (1826 г.).

Бойяи уже к 1825 году пришел к основным положениям неевклидовой геометрии. Однако ему потребовал б лет, чтобы довести эти результаты до завершения.

Бойяи опубликовал свои исследования в 1832 году в приложении «Аппендикс» к 1-му тому сочинений своего отца — профессора математики.

Марка с портретом Гауса выпущена в 1955 году в ФРГ к 100-летию со дня его смерти.

Лобачевскому посвязываны 2 советские марки. Перваяышла в 1951 году в серии «Учены нашей Родины», а вторая — в 1956 году к 100-летию со дня смерти великого математика.

Марка с портретом Бойяи вышла в серии «Деятель мировой культур», изданно в Румынской народной Республики в 1960 году.

А. В. Алимкис

72

К статье «Иrrрациональные неравенства»

1. 4 < x < 7, x < $\frac{3}{4}$.
2. x < 1.
3. x > $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
4. 3 < x ≤ 4.
5. 2 + $\sqrt{0,5}$ ≤ x < 3.
6. Ввести обозначение $y = \frac{2}{x}$, тогда получим
   $$y \geq \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad y \leq -\frac{\sqrt{3}}{2}.$$
   Ответ: $-\frac{4}{\sqrt{3}} \leq x \leq \frac{4}{\sqrt{3}}, x \neq 0.$
7. x > 5.
8. -1 ≤ x < 1, 7.
9. -\frac{1}{2\sqrt{2}} \leq x < \frac{1}{3}, x \neq 0.
10. x > 2.
11. Ввести обозначение $y = \sqrt{\sin x}, 0 \leq y \leq 1$. Тогда $\sqrt{\cos x} = \sqrt[4]{1-y^4}$. Решаем неравенство
    $$\sqrt[4]{1-y^4} > 1-y, из которого следует 0 < y < 1;$$
    2πk < x < $\frac{\pi}{2}$ + 2πk, k = 0, ±1, ±2, …
12. Ввести обозначение $y = \sqrt{2x+1}, y \geq 0;$ тогда $\sqrt{2x+9} = \sqrt{y^2+8}, x = \frac{1}{2}(y^2-1)$. Решаем неравенство
    $$\frac{y^2-1}{\sqrt{y^2+8}} < y-1, откуда получаем 1 < y < 3, 5.$$

Ответ: 0 < x < $\frac{45}{8}$.
13. Переменные все члены в левую часть и вынести общий множитель x-3.
Ответ: x ≤ -$\frac{5}{6}$, x ≥ 3.
14. Перейти к равносильному неравенству |x| - |x-2| < 0 при x > 4, x < -4.
Ответ: x < -4.

К статье «Гидростатика»

1. Давления на дно сосудов будут разными, так как не одинаковы уровни воды в сосудах (рис. 1). Найбольшая сила давления на дно у сосуда, имеющего форму усеченного конуса, наименьшая — у перевернутого конуса. Оdnako силы давления сосудов на чашки весов будут, конечно, одинаковыми и равными силе тяжестей жидкости (массой сосудов по условию задачи можно пренебречь).
2. $T = mg + \frac{\pi\rho g}{4} [Hd^2 - h(D^2 - d^2)] \approx 50 \text{ n}$ (см. рис. 2).
3. $\Delta h = \frac{m}{\rho_0 S} = \frac{4m}{\pi\rho_0 D^2} = 1,8 \text{ cm}$.
4. Сила, прикладываемая к поршню, равна по величины силе давления воды на поршень: $F = pS = \rho ghS$, где h — высота уровни воды (давление по всей поверхности поршня можно считать одинаковым, так как дна-

74

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Полная скорость кубика:
$$u = \sqrt{u_1^2 + u_2^2} = v \sqrt{\frac{M}{M+m} + \frac{m^2}{(M+m)^2}}.$$
3. Одна из возможных схем приведена на рисунке 2.
4. $v^2 \geq 5gl$.
Указание е. Воспользоваться системой отсечета, движущейся со скоростью, равной скорости точки подвеса.
5. Пусть начальная скорость шариков $v$. При неупругом ударе составляющая скорости шарика, перpendикулярная к плоскости, исчезает, а составляющая скорости, параллельная плоскости, сохраняется. Поэтому неупругий шарик отлетит от наклонной плоскости под углом $\alpha$ к горизонту (рис. 3, б), при $\alpha > \frac{\pi}{4}$ он вылетит назад под углом $\pi-2\alpha$ (рис. 3, с).
В первом случае он пролетит расстояние
$$S_1 = \frac{2v^2 \cos^2 \alpha \cdot \cos \alpha \cdot \sin \alpha}{g}.$$
При упругом ударе возможны два случая: при $\alpha < \frac{\pi}{4}$ шарик вылетит вперед под углом $2\alpha$ к горизонту (рис. 3, б), при $\alpha > \frac{\pi}{4}$ он вылетит назад под углом $\pi-2\alpha$ (рис. 3, с).
В первом случае он пролетит расстояние
$$S_2' = \frac{2v^2 \cos 2\alpha \sin 2\alpha}{g},$$
во втором:
$$S_2'' = \frac{2v^2 \cos (\pi-2\alpha) \sin (\pi-2\alpha)}{g} = -\frac{2v^2 \cos 2\alpha \sin 2\alpha}{g}.$$
Из условия $S_1 = S_2'$ получим:
$$\alpha_1 = \arccos \sqrt{\frac{2}{3}};$$
Во втором случае ($S_1 = S_2'$):
$$\alpha_2 = \arccos \sqrt{\frac{2}{5}}.$$
6. Каждый пластину с приложением участком плоскости можно рассматривать как конденсатор емкости $\frac{\varepsilon_0 S}{d}$, а в свою систему как два последовательно соедининых конденсатора. Искомая емкость
$$C = \varepsilon_0 \frac{\frac{S_1}{d_1} \cdot \frac{S_2}{d_2}}{\frac{S_1}{d_1} + \frac{S_2}{d_2}} = \varepsilon_0 \frac{S_1 S_2}{S_1 d_2 + S_2 d_1}.$$

7. Амплитудное значение прикладывместо напряжения $U = 127\sqrt{2}\theta$. В начальный момент конденсатор не заряжен. В течение первого полуперiodа, когда на точку $A$ подается отрицательный потенциал, диод $D_1$ открыт и конденсатор $C_1$ заряжается до напряжения $U$, при этом на его правой обкладке наводится заряд $q = UC$. Во время второго полуперiodа $D_1$ закрывается и открывается $D_2$, при этом часть наведенного на $C_1$ заряда стекает на верхиной обкладку $C_2$. Этот процесс будет повторять каждый период, пока на верхней обкладке $C_2$ не наконится такой заряд $q$, что при открытом $D_2$ заряд с $C_1$ на $C_2$ стекать не будет. Величину заряда $q$ можно найти, рассмотрев схему при открытом $D_2$ и зарытом $D_1$, когда точка $A$ имеет потенциал $+U$.

На правой обкладке $C_1$ за первый полуперiod наводится заряд $UC$. Напряжение $U = \frac{q}{C} - \frac{UC}{C} \cdot \text{Отсюда заряд } q = 2UC$. Следовательно, между точками $M$ и $N$ образуется разность потенциалов $2U = 2 \cdot 127\sqrt{2}\theta$.

8. $v = \frac{eSB}{2\pi rm}$

К статье «Варианты вступительных экзаменов по физике в Московский физico-технический институт в 1972 году»
(см. «Квант» № 10, 1972)

Билет 1

1. $v_{\text{max}} = \sqrt{\frac{\sqrt{2}mg(1-k)}{2\alpha}} \approx 28 \text{ m/c}$.
2. $m = 56 \text{ e}, P_1 = \frac{V_2}{V_1} \frac{T_1}{T_2} P_{\text{min}} \approx 4,92 \text{ amm}$.
3. $\alpha = 15^\circ$.
4. $\frac{d_1}{d_2} = \sqrt{13}$.

Билет 2

1. $m_{\text{rp}} \geq \frac{m}{\sqrt{2}}$.
2. $p = \frac{V \cdot \Delta p}{at} = 10^{-3} \text{ mm pm. cm}$.
3. $I_1 = \frac{E_2}{r_2}$.
4. $\gamma_2 = \gamma_1 \frac{l_1 r_2}{l_2 r_1} = 0,2 \text{ e/m}^3$.

Билет 3

1. $v_0 = \sqrt{\frac{2}{3}g_{\text{Л}}R_{\text{Л}}} \approx 2,1 \text{ km/c}$.
2. $T \approx 375^\circ \text{ K}$.
3. $E = \frac{v_0^2}{2q/M} = 5 \cdot 10^4 \text{ e}$.
4. $H = \frac{d - 2h}{2} \cdot n = 10 \text{ cm}$.

Билет 4

1. $m_{\text{min}} > \frac{m(H - l)}{2H}$.
2. $n = 5$.
3. $I = \frac{E_2 - E_1}{r_2} = 40 \text{ a}$.
4. $n = \frac{l^2 - F^2}{l^2} = \frac{5}{9}$.

К заметке «Квант» для младших школьников»
(см. «Квант» № 11, 3-я стр. обложки)

1. 1 р. 23 к.
2. Чемодан весом до 400 н можно взвести с помощью вервки: привязать один ее конец к дереву, а второй пропустить под ручкой чемодана и привязать к безмену. Безмен будет показывать половину веса чемодана.
3. Одинаково.
4. При испарении жидкости энергичные («горячие») молекулы покидают ее поверхности, в результате жидкость охлаждается. Но часть вылетевых молекул обязаться вовзращается обратно (процесс диффузии). Когда же мы дуем на чай, мы уменшаем долю вовзращающихся молекул,ускоря тем самым процес охлаждения.
5. Да, любую. Достаточно проверить, что можно упласть 8, 9 и 10 рублей, а затем добавлять билеты по 3 рублей.
6. Нет, не жарче. Халат изолирует тело от окружающего горячего воздуха и не превращает охлаждение тела от испарения пота.

К заметке «Квант» для младших школьников»
(см. 3-ю стр. обложки)

1. 387 человек.
2. В скобках может стоять 100, 200, 245, 283, 300.
3. 12, 14, 22;
4. 12, 28, 8;
5. 24, 16, 8;
6. 16, 16, 16.
7. $a = 3, c = 7$.
8. Сложить терраэр!