[Задачи из книги Ф. Мостеллера «Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями»]

25

Пропогарифмировав это равенство по основанию $e$, получим

$$A = \frac{m}{\mu} RT \ln \frac{V}{V_0}.$$

Здесь $V_0$ — начальное значение объема, $V$ — конечное.

9. Задча Циолковского

Рассмотрим движение космического корабля, находящемся на большом удалении от масс тяготения. Очевидно, что если движатель не работает, то корабль или поконтся или движется равномерно и прямолинейно; будем считать, что он поконтся, $v_0 = 0$. В силу законов сохранения после включения двигателя колчество движения системы «корабль—выхлопные газы» остается неизменным, поскольку на эту систему не действуют внешние силы.

Обозначим через $m$, $v$ массу корабля с топливом и скорость его в момент времени $t$, $u$ — скорость выбрасываемого выхлопного газа относительно корабля (величина постоянная). Тогда $mv = (m - \Delta m) \times (v + \Delta v) - \Delta m (u - v)$, откуда $\Delta m = -\frac{\Delta v}{u - \Delta v} m$. Найдем зависимость $m$ от $v$. При малых $\Delta v$, учитывая, что $u$ — постоянная, $u \neq 0$, имеем $u - \Delta v \approx u$, поэтому

$$\Delta m \approx -\frac{1}{u} m \cdot \Delta v,$$

и, стало быть,

$$m = m_0 e^{-\frac{v}{u}}.$$

Proлогарифмировав по основанию $e$ и упрощая, получим

$$v = u \ln \frac{m_0}{m}.$$

Отсюда следует, что скорость корабля целиком определяется его начальной скоростью, относительной скоростью части выхлопного газа и количеством израсходованного топлива и не зависит от закона расходования топлива.

На стр. 61 помещена решение на книгу Ф. Мостелера «Пятьдесят занимаемых вероятностных задач». Мы приводим некоторые задачи из книги Ф. Мостелера.

Странное метро

Мэрвин кончает работу в случае времени между 15 и 17 часов. Его мать и его невesta живут в противоположных частях города. Молодой человек садится в первый подошший к платформе поезд, иуший в любом направлении, и обедает с той изdam, к которой придет. Мать Мэрвина жа́дется на то, что он редко у нее бывает, но юноша утверждает, что его шансы обедать с ней и с невесой равны. Мэрвин обедал с матерью дважды в течение 20 рабочих дней. Объясните это явление.

Нетерпельные дузленты

Дузли в горode Осторожности редко кончаются печальным исходом. Дело в том, что каждый дузлитель прибывает на место встречи в случаеный момент времени, между 5 и 6 часов утра и, продолжав содержника 5 минут, удаляется. В случае же прибывание в эти пять минут дузлится. Какая часть дузлителя тела заакчивается поединком?

(Окончание см. на стр. 48)