О вращении отрезка

Квант 1973, №4 с. 24-28 Тег CP76

О вращении отрезка

В. Г. Болтянский

Ясно, что отрезок длины 1 может совершить полный оборот, все время нахождения в фигуре площади π/4, а именно в круге диаметра 1 (рис. 1). А не может ли отрезок длины 1 совершить полный оборот, движясь в фигуре меньшей площади? На первый взгляд это кажется маловерятным: похоже, что круг диаметра 1 является наиболее «экономной» (в смысле площади) фигурой, в котором отрезок длины 1 может совершить полный оборот. Однако это неверно!

В 1918 году А. С. Безикович доказал, что существует фигура сколь годно малой площади, движясь в котором отрезок длины 1 может совершить полный оборот. Точнее говоря, если мы зададим любое положительное число ε (например, ε = 0,000001), то сложем построить фигуру площади ε, внутри которого может совершить полный оборот отрезок длины 1. Безикович предложил простые геометрические идеи, с помощью которых можно доказать этот удивительный факт. Однако для того, чтобы превращать эти идеи в полное доказательство, ему пришлось proveсти довольно громоздкие вычисления, так что все рассуждание в целом оказалось сложным (доказательство, похоже на доказательство Безиковича, приведено на стр. 258—263 книги И. М. Яглома и В. Г. Болтянского «Выпуклы фигуры»).

Не так давно академик И. М. Виноградов расссказал мне короткое и элегантное доказательство этой теоремы. Это доказательство он придумал сразу же после того, как Безикович расссказал ему о своей теореме, однократно печатать его на стал. С любезного согласия И. М. Виноградов я приведу здесь его доказательство.

Прежде всего рассмотрим геометрические идеи А. С. Безиковича.

Ясно, что достаточно построить фигуру маленькой площади, внутри которого отрезок длины 1 можно повернуть на угол 60°: прикладывая тогда друг к другу три такие фигуры, получим фигуру, внутри которого можно будет повернуть отрезок на угол 180°.

Поворот отрезка длины 1 на 60° можно совершить внутри равностороннего треугольника с высотой 1 (рис. 2). Разрежем теперь этот треугольник высотой на две части и наложим эти части друг на друга. Внутри получившейся фигуры (рис. 3) можно отрезок AB повернуть в положение AC; кроме того, отрезок DE, параллельный AC, можно повернуть в положение DF. Но переместить отрезок AB в положение DF в этой

виим к фигуре, изображенной на рисунке 3, отрезки $AH$ и $DH$ и сектор радиуса 1 с центром $H$ , как показано на рисунке 4. В полученной фигуре уже можно будет повернуть отрезок из положения $AB$ в положение $DF$ : надо будет из положения $AC'$ сдвинуть отрезок вдоль $AH$ в положение $HK$ , затем повернуть его внутри сектора в положение $HL$ , а потом сдвинуть вдоль $HD$ в положение $DE$ .

Что же мы получили в результате? Площадь фигуры, изображенной на рисунке 3, существует меньше площади первого равностороннего треугольника (так как две половинки этого треугольника перекрывают). При переходе же от рисунка 3 к рисунку 4 мы добавляем лишь отрезки $AH$ , $DH$ (они имеют нулевую площадь) и сектор с центром $H$ , причем площадь этого сектора можно сделать как угол малой (нужно лишь точку $H$ взять далеко, чтобы угол $AHD$ был маленьким).

А что если разрезать равносторонний треугольник не на две, а на четыре части (рис. 5)? Тогда, производа параллельные перености этих частей (чтобы они перекрывались), мы получим фигуру (рис. 6), в которой можно отрезок длины 1 повернуть на угол $15^\circ$ , затем, «перепрыгнуть» в параллельное положение, повернуть еще на $15^\circ$ , потом еще и еще на $15^\circ$ . А так как «прыгать» нашему отрезку не разрешается, то придется, как и на рисунке 4, добавить отрезки и секторы (рис. 7). В фигуре, изображенной на рисунке 7, отрезок длины 1, непрерывно перемещаясь, может повернуть на угол $60^\circ$ . При этом сумму площадей добавленных секторов можно сделать как угол малой (надо лишь взять точки $H_1$ , $H_2$ , $H_3$ достаточно далеко). В то же время площадь фигуры, изображенной на рисунке 6, значительное меньше площади исходного равностороннего треугольника, поскольку четыре части, на которых разрезан этот треугольник, многократно перекрывают.

Теперь становится понятьим общее направление доказательства: надо

ми этими частями, имея площадь, меньше чем ε, где ε — данное положительное число.

Изложенные сообщения, однако, вовсе еще не дают доказательства. Это только направление, в котором следует его искать. Самое трудное впереди: надо придумать, как следует сdvигать части, чтобы за счет многоократных перекрытий получалась фигура достаточно малой площади. Способ сdvигта части и подсчета площади, предложенный И. М. Виноградовым, состоит в следующем.

Возьем произвольное натуральное число m и разобем основание равностороннего треугольника на 2 $^m$ равных частей. Соединив точки деления с вершиной, мы получим разбиение равностороннего треугольника на 2 $^m$ частей, которые условия называют клиьями. Проведем, кроме того, прямы, паралельные основанию и разбиающее высоту треугольника на m равных частей; эти прямы обозначаим, начиная от вершины, через $l_1, \dots, l_{m-1}$ (рис. 8).

Рассмотрим два соседних клина. Прямая $l_1$ высекает в них одинаковые отрезки. Сdvинем эти клины так, чтобы эти отрезки «перерыгнуты» друг через друга (рис. 9), и «склеим» теперь эти два клина, то есть фигуру, полученную из этих двух клиньев, будем рассматривать как единое целое при всех дальнейших паралельных переносах. Такое склеивание произведем для каждой двух соседних

клиньев: 1-й склем со 2-м, 3-й с 4-м, …, (2 $^m$ —1)-й с 2 $^m$ -м.

Фигуру, полученную склеванием двух клиньев, разобъем на части следующим образом: выделим из нее треугольник с вершиной на прямой $l_1$ и четыре «хвостика». Каждый из «хвостиков» представляет собой треугольник с высотой $1/m$ (напомним, что высота исходного равностороннего треугольника равна 1). Основание же каждого «хвостика» равно $\frac{a}{m \cdot 2^m}$ , где $a = \frac{2}{\sqrt{3}}$ — сторона исходного равностороннего треугольника. Следовательно, общая площадь всех четырех «хвостиков» равна $2 \cdot \frac{a}{m^2 \cdot 2^m}$ , а так как всего имеет $2^{m-1}$ пар склеенных клиньев, то общая сумма площадей «хвостиков» равна $a/m^2$ . Площадь $S_1$ равностороннего треугольника $\Delta_1$ , отсекаемого от исходного треугольника прямой $l_1$ (рис. 10), равна $\frac{a}{2m^2}$ . Таким образом, общая сумма площадей всех «хвостиков» равна $2S_1$ . Выбросим теперь все эти «хвостики» из рассмотрения, заполив сумму их площадей. При всех дальнейших сdwгах сумма площадей отброшенных «хвостиков» может лишь уменьшиться (за счет перекрытия).

Треугольники, остающиеся после отбрасывания всех «хвостиков» (число этих треугольников равно $2^{m-1}$ ),

будем теперь рассматривать как новые клинья. Сдвинув их вместе, получим из этих $2^{m-1}$ новых клиньев равносторонний треугольник с высотой $1 - \frac{1}{m}$ (рис. 11). Теперъ уже не прямая $l_1$ , а прямая $l_2$ отсекает от него маленький равносторонний треугольник $\Delta_2$ , причем он, очень/no, равен треугольнику $\Delta_1$ . Сдвигая и склевая новые клинья так же, как и раньше, мы опять получим «хвостики», общая сумма площадей которых равна $2S_1$ , и «совсем новые» клинья, вершины которых лежат на прямой $l_2$ .

Из этих «совсем новые» клиньев, сдвигая их, получим равносторонний треугольник с высотой $1 - \frac{2}{m}$ , а склевая «совсем новые» клиньой попарно, опять получим «хвостики», сумма площадей которых равна $2S_1$ , и т. д.

Проделаем все $m$ шагов такого построения (на последнем $m$ -м шаге получится просто равносторонний треугольник, равный $\Delta_1$ , так что ничего и сдвигать не надо). Мы видим, что от первого начальных клиньев после построения отрезания «хвостиков» ничего не осталось. Иначе говоря, площадь фигуры, получившейся из первого начальных клиньев после всех сдвигов и склевания, меньше общей суммы площадей всех «хвостиков», то

ectь менше, чем

$m \cdot 2S_1 = 2m \cdot \frac{a}{2m^2} = \frac{a}{m} = \frac{2}{\sqrt{3}m} < \frac{2}{m}.$

Тепер ясно, что, взяв $m$ достаточно большим, мы можем сделать эту площадь как уголно малой. Доказательство закончен!

И все же, может интуция нас не обманыет? Может быть, круг диаметра 1 действительно является наименьшей по площади фигурой, в котором может совершить полный оборот отрезок длины 1, но только не среди любых фигур (как мы видели, это неверно), а среди всех в лиу к лых фигур? Ведь те фигуры достаточно малой площади, о которых шла речь выше (см. рис. 7), являются очень «рыхлыми», разбросанными и уж, во всяком случае, невыпуклыми. Напомним, что выпуклой называется такая фигура, которая вместе с каждыми двумя точками целиком содержит и соединяющий их отрезок (рис. 12). Так вот, верно ли, что среди всех выпukлых фигур, в которых отрезок длины 1 может совершить полный оборот, круг диаметра 1 имеет наименьшую площадь?

Оказывается, что и это неверно. Поясним, в чем здесь дело. Пусть $F$ — фигура, в которой может совершить полный оборот отрезок длины 1. Возьмем какую-либо прямую $l$ и проведем две опорные прямые $l_1$ и $l_2$ фигуры $F$ , параллельные $l$ , то есть две прямые, между которых «зажата» фигура $F$ (рис. 13). Так как отрезок, совершший в фигуре $F$ полный оборот, должен в какой-то момент занять положение, перpendикулярное прямой $l$ , то расстояние между прямыми $l_1$ и $l_2$ (его называют шириной фигуры $F$ в направлении, перpendикулярном $l$ ) не меньше 1. Итак, ширина фигуры $F$ в любом направлении не меньше 1.

Кажется в полне естественных предположения, что у фигуры на именЬшей площади ширина во всех направлениях должны быть равна 1 (инначе площадь, видимо, больше бы уменнышь). Посмотрим, к чему приведет нас это предположение.

Прежде всего возникает вопрос, что собой представляет фигура, у которой во всех направлениях ширина равна 1? Нередко отвечают, что такой фигурой может быть только круг диаметра 1. Однако это неверно! Существует бесконечно много различных фигур, у которых ширина равна 1 во всех направлениях; их называют фигурами постоянной ширины 1. На рисунке 14 показаны две такие фигуры. Обе фигуры ограничены двумя окружностями, и расстояние между этим прямыми равно 1. Первая из изображенных на рисунке 14 фигур имеет специальное название: треугольник Рело (по имени механика, который впервые заинтересовался свойством этой фигуры и пытался использовать ее при конструкровании механизмов).