Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

60

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

(механико-математический факультет, факультет вычислительной математики и киберnetики, физический факультет)

Любителей математики и физики, конечно, интересют факультеты Московского университета, готовящие специализиров по физике и математике. Это — механико-математический факультет, физический факультет, факультет вычислительной математики и киберnetики.

Механико-математический факультет имеет два отделения — математики и механики. Здесь ведется подготовка специализиров по развим направлениям теоретической и прикладной математики и современной механики.

На физическом факультете шесть отделений: экспериментальной и теоретической физики, физики творного тела, ядерной физики, радиофизики и электроники, геофизики, астрономии. Факультет готовит физиков-исследовательей широкого профиля для работы в научно-исследовательских институтах и различных отраслях народного хозяйства.

Молодой факультет вычислительной математики и киберnetики готовит специализиров, способных эффективно применять математические методы и современную вычислительность технических институтах и различных отраслях народного хозяйства.

На факультет имеются специализировые кафедры, на которых работают ведущие учены страны. Начиная с третього курса студенты распределяются (по своему выбору) по кафедрам для углубленного изучения избранного ими более узкого раздела физики или математики. Все факультеты располагают необходимой матерIALной базой и специализивными лабораториями, что дает возможность сочетать теоретическое образование с практической подготовкой.

В помощь поступающим работают подготовительные отделения для работы и сельской молодежи, вечерние и заочные подготовительные курсы.

Ниже приведятся образцы вариантов письменных применных экзаменов по математике на указанные факультеты и билеты устных экзаменов по физике на физическом факультете.

Механико-математический факультет

Вариант 1

1. Найти все значения $x$, при которых справедливо неравенство

$$\frac{\log_8 x}{\log_2 (1 + 2x)} \leq \frac{\log_2 \sqrt[3]{1 + 2x}}{\log_2 x}.$$

2. Пункты $A$ и $B$ соединены двумя дорогами, одна из которых на 3 км короче другой. Из $B$ в $A$ по более короткой дороге вышел пешекод, и одновременно из $A$ по той же дороге вышел велосипед.

Пешекод и велосипедист одновременно приближен в $A$ через 2 часа после начала движения. За это время пешекод прошел один раз путь от $B$ до $A$, а велосипедист проехал два раза в одном направлении по коллецевому маршруту, образованному двумя названными дорогами. Найти скорости пешекода и велосипедиста, если известно, что их вторая встреча произойдет на расстоянии 3,5 км от пункта $B$. (Скорости постоянны.)

3. В треугольнике $ABC$ известны стороны $AB = 20$ м, $AC = 24$ м. Известно, что вершина $C$, центр вписанного в треугольник $ABC$ круга и точка пересечения биссертрисы угла $A$ со стороны $BC$ лежат на окружности,

61

центр которого лежит на стороне AC. Найти радиус описанной около треугольника ABC окружности.

4. В треугольной парамиде SABC боковое ребро SC равно ребру AB и наклонено к плоскости основания ABC под углом 60°. Известно, что вершины A, B, C и середины боковых ребер парамиды расположены на сфере радиуса 1 м. Доказать, что центр указанной сферы лежит на ребре AB, и найти высоту парамиды.

5. Данные три уравнения с действительными коэффициентами:

1. $x^2 - (a + b)x + 8 = 0$,
2. $x^2 - b(b + 1)x + c = 0$,
3. $x^4 - b(b + 1)x^2 + c = 0$.

Какое из них имеет по крайней мере один действительный корень. Известно, что корни первого уравнения больше единицы. Известно также, что все корни первого уравнения являются корнями третьего уравнения и хотя бы один корень первого уравнения удовлетворяет второму уравнению. Найти числа a, b, c, если $b > 3$.

Вариант 2

1. Найти все значения x, при которых справедливо неравенство
   $$\log_9 x)^2 \geq \left( \log_3 \sqrt{1 - \frac{x}{4}} \right)^2.$$

2. Из пункта A колщевого шоссе одновременно в одном направлении выехали автоматиль и мотоцикл, каждый с постоянной скоростью. Автомобиль без остановок движлы проехал по всему шоссе в одном направлении. В момент, когда автоматиль догнал мотоциклста, мотоциклст повернул обратно, увеличил скорость на 16 км/ч и через 22,5 минут после разворота одновременно с автоматическим прибил в пункт A. Найти длину всего пути мотоцикла, если этот путь на 5,25 км короче длины всего шоссе.

3. В треугольнике ABC угол C — тупой; биссектриса BE угла B делит сторону AC на отрезки AE = 3 м и EC = 2 м. Известно, что точка K, лежащая на продолжении стороны BC за вершину C, является центром окружности, проходящей через точки C, E и точку пересечения биссектрисы угла B с биссектрисой угла ACK. Определить расстояние от точки E до стороны AB.

4. В треугольной парамиде SABC известны плоские углы при вершине S: $BSC = 90^\circ$, $ASC = ASB = 60^\circ$. Вершины A, S и середины ребер SB, SC, AB, AC лежат на поверхности шара радиуса 3 м. Доказать, что ребро SA является диаметром этого шара, и найти объем парамиды.

5. Данные три уравнения с действительными коэффициентами:

1. $x^2 + ax + ac = 0$,
2. $x^2 - bx + c^3 = 0$,
3. $x^4 - bx^2 + c^3 = 0$.

Какое из них имеет по крайней мере один действительный корень. Известно, что абсолотные величины корней первого уравнения больше единицы. Известно также, что каждый из корней первого уравнения является корнем третьего уравнения и по крайней мере один из корней первого уравнения удовлетворяет второму уравнению. Найти числа a, b, c.

Факультет вычислительной математики и кибернетики

Вариант 1

1. Решить уравнение
   $$9^1 - (x+2)^2 - 2.3^2 - (x+2)^2 + 7 = 0.$$

2. Решить неравенство
   $$\frac{1}{\sin^2 x} - 1 \geq \frac{|\text{ctg} x - 1| + 1}{\text{tg} x}.$$

3. В прямойном секторе AOB из точки B, как из центра, проведена дуга OC (C — точка пересечения этой дуги с другой AB) радиуса BO. Okружность S$_1$ касается дуги AB, дуги OC и прямой OA, а okружность S$_2$ касается дуги OC, прямой OA и okружности S$_1$. Найти отношение радиуса okружности S$_1$ к радиусу okружности S$_2$.

4. Воковые ребра правлиной треугольной парамиды SABC с вершиной S наклонены к плоскости основания ABC под углом 45°. Шар касается плоскости основания ABC в точке A и, кроме того, касается продолжения ребра BS за вершину S. Через центр шара и высоту BD основания продолжения. Найти угол наклона этой плоскости к плоскости основания.

5. Найти все действительные значения параметра a, при которых неравенство
   $$\text{tg}^2 \left( \cos \sqrt{4\pi^2 - x^2} \right) - 4a \text{tg} \left( \cos \sqrt{4\pi^2 - x^2} \right) + 2 + 2a \leq 0$$ имеет и при том конечное число решений. Для каждого такого a указывается неравенства.

Вариант 2

1. Решить уравнение
   $$4^1 - (x-2)^2 - 2^3 - (x-2)^2 + 1 = 0.$$

2. Решить неравенство
   $$1 + \cos 2x \geq \cos x (1 + |1 - 2 \cos x|).$$

3. В прямойном секторе AOB проведена хорда AB. Okружность S$_1$ с центром на биссектрисе сектора касается хорды AB и дуги AB. Okружность S$_2$ касается хорды AB, дуги AB и okружности S$_1$. Okружность S$_3$, отличная от S$_1$, касается хорды AB, дуги AB и okружности S$_2$. Найти отношение радиуса okружности S$_2$ к радиусу okружности S$_3$.

4. Шар касается плоскости основания ABCD правлиной четырехугольной пара — midы SABCD в точке A и, кроме того, касается ребра SC. Через центр шара и сторону основания BC проведена секущая плоскость. Найти угол наклона этой плоскости