Задача Потенота

Квант 1973, №4 с. 30-32 Тег 1SKD

Задча Потенота

Л. С. Хренов

Если на плоскости даны три точки A, B и C (то есть известно взаимное расположение этих точки), то для определения положения четвертой точки M обычно достаточно знать два угла: $\angle ABM = \alpha$ и $\angle BMC = \beta$ . Такая задача известна под названием задачи Потенота. Она возникнет, например, при определении местоположения корабля, с которой видны три маяка, координаты которых известны, а также во многих других случаях.

Геометрическое решение задачи Потенота

Задча Потенота совпадая к построению дуги AB (рис. 1), из любой точки M которого отрезок AB виден под углом $\alpha$ , и дуги BC, из точки которого отрезок BC виден под углом $\beta$ . Для этого достаточно от прямой AB отложить угол $\alpha$ и к полученной прямой AV восставить перpendикуляр AP, а к отрезку AB восставить перpendикуляр в его середине. Точка $O_1$ пересечения этих перpendикularов будет центром окружности, проходящей через точки A, B и M, а линяя AB будет хордой дуги, вместе угодл $\alpha$ . Аналогично строится центр $O_2$ окружности, проходящей через точки B, C и M с другой BC, вместе угодл $\beta$ .

Пересечение построенных таким образом двух окружностей и определить положение точки M, так как у них не может быть более двух общих точек. Однако из них, согласно построению, является точка B, второй будет искомая точка M. Следовательно, задача Потенота имеет волне определение и единственное решение, за исключением случая, когда обе окружности сливаются в одну, проходящую через точки A, B, C и M (рис. 2). В этом случае искомая точка M лежит на окружности, проходящей через точки A, B и C, и для определения положения точки M надо знать еще какие-либо расстояния.

Однако, несмотря на простоту геометрического решения задачи Потенота, на практике оно не применяется.

На практике для решения задачи Потенота применяют аналогичные *) или графические способы с использованием мензулы, кипрегеля или альдады и буссоли.

*) Первое аналогичное решение было предложено в 1616 году голландским астропомом и математиком В. Снегл иусом (1580—1626), позднее, в 1692 году французский математик Л. Потенот (1660—1732) предложил более удачное решение этой задачи, что и последнюю основанием называется эту задачу его именно.

Рис. 1. Рис. 2.

Мензула представляет собой столик для черчения плана. Она состоит из шатива и планшета — чертежной квадратной доски, которая укрепляется на подставке. Подставка имеет три подъемных винта, позволяющих приведения на подставке. Подставка вместе с планшетом прикрепляется к штативу при помощи станового винта. Подставки могут быть деревянными или металлическими. Центрировочная вилка (см. рис.нок) служит для центрирования точки на планшете над соответствующей точкой местности: к нижнему концу вилки подвешивается отвес, верхний конец вилки находится на одной вертикали с нижним.

А ли да да слижила для визирования с точки мензулы на точку местности. Она состоит из линейки, на которой выгравирован поперечный масштаб, и двух диоптров со щелями и волосками; на линейке aliдады обычно помещается цилиндрический уровень для приведения планшета мензулы в горизонтальное положение. Телерь вместе aliдады с диоптрами использует кипрегель.

Кипрегель состоит из линейки с поперечный масштабом и уровнем, и из трительной трубЫ, врашающегося на оси колонки так, что плоскость, описываемая визирной осью трубЫ (колимационная), проходит через скошенный край линейки кипрегеля. На мензуле должно получаться горизонтальное положение местности, поэтому для изменения углов наклона изготовляется кипрегели с вертикальными кругами, с помощью которых углы наклона изменяются с точностью до 1°. Две дополнительные нити (дальномерные), расположенные симметрично относительно средней оси, видны в поле зреня трубЫ кипрегеля. Они служат для определения расстояний на местности.

Буссоль (усовершенствованный компас) применяется для ориентирования мензулы по странам света. Буссоль имеет вид круглой или прямогольной коробки с градуными делениями, в центре врашается магнитная стрелка. Буссоль устроена всегда так, что линия, соединяющая деления 0°—0° или 0°—180° и проходящая через центр бусоли, паралельна внешним краям коробки.

Графический решение задачи Потенота

При наличии трех точек на мензульном планшете, соответствующих тем точкам на местности (то есть при наличии, например, карты местности), можно определить положение четвертой точки, произведя наблюдая только в ней, то есть решить задачу Потенота.

Для графического решения задачи Потенота предложено более 100 различных способов *). В их основе лежит ориентирование мензульного планшета. Пусть три точки $a, b$ и $c$ (рис. 3), составляющие на мензульном планшете $Q$ треугольник $abc$ , соответствуют трехкам $A, B$ и $C$ на местности. Планшет $Q$ ориентирован, если он расположен так, что $ab \parallel AB, ac \parallel AC$ и $bc \parallel BC$ .

В этом случае направления, прочееенные через $a, b$ и $c$ при визировании на соответствующие точки местности, пересекутся в одной точке. Для доказательства построим точку $m$ как точку пересечения прямых $Aa$ и $Bb$ . Подобно уменьшив $\Delta ABC$ так, чтобы $AB$ перешло в $ab$ , мы получим $\Delta abc'$ , но поскольку $ac \parallel AC \parallel ac'$ и $bc \parallel BC \parallel bc'$ , точки $c'$ и $c$ обязаны совпадать, а прямые $Aa, Bb$ и $Cc$ пересекутся все в точке $m$ , соответствующей на планшете точке $M$ , из которого мы визируем на точки $A, B, C$ .

Если же мензульный планшет, находящийся в точке $M$ , ориентирован лишь приблизительно, то те же прочееенные три направления $aA, bB$ и $cC$ не пересекутся в одной точке, а образуют небольшой треугольник (рис. 4), называемый треугольником погрешности. И чем точнее произведено ориентирование

*) Первый из них был предложен в 1592 году мексиканцем Сисиутti (The Canadian Surveyor, 1936).

Рис. 3.

Рис. 4.

ваниме мензульного планшета, находящаяся в определенной точке, тем будут меньше размеры треугольника погрешности. Это положение и использовал И. Леман (1765—1811) при графическом решении задачи Потенота, предложив способ приближений, использующий в практике мензульной сыемки.

С пособ И. Леман. Мензулу установливают над искомой точкой $M$ , приводят верхнюю плоскость планшета в горизонтальное положение и возможно точнее ориентировать планшет *) $Q$ так, чтобы линии $ab, bc$ и $ac$ на планшете были параллельны линям $AB, BC$ и $AC$ на местности. После этого через три данные точки на планшете визируют на соответствующие точки местности и прочееваяют по ребру линейки визирного прибора (кппрегель, алидада) линии (как на рисунке 3). Если ориентирование планшета произведено точно, то при направления, прочеечевая точку $a, b$ и $c$ при визировании на соответствующие точки местности, пересекется в искомой точке $m$ .

Если же планшет $Q$ , находящийся в точке $M$ местности, ориентирован неточно, то при прочеечевая точку $a, cC$ и $bB$ пересекется на планшете не в одной точке, а образуют треугольник погрешности.

*) Для более точного ориентирования планшета рекомендуется пользоваться буссолью.