Задачи М222—М225; Ф233—Ф237

25

Задачи

M222-M225, Ф222-Ф237

М221. На бумагу поставили кляксу. Для каждой точки кляксы определяли наименьшее расстояние от границы кляксы, а также наименьшее расстояние от границы кляксы (на рис. показано наименьшее и наименьшее расстояние от границы для точки K). Среди всех наименьших расстояний выбрали наиболее $-r_0$, а среди наименьших выбрали наиболее $-R_0$. Какую форму имеет клякса, если $r_0 = R_0$?

А. Блох, ученик 8 класса

М222. Докажите, что у каждой выпуклого многогранника найдет две грани с одинаковым числом сторон.

А. Грюнмаль

М223. Наууральное число называется совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей, кроме самого этого числа. (Например, число 28 — совершенное: $28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14$.) Докажите, что совершенное число не может быть полным квадратом.

А. Макарцев, ученик 9 класса

М224. У трехгранного угла проведены биссектрисы плоских углов. Докажите, что попарные углы между