Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

63

Готовясь к вступительным экзаменам по математике, будущее абитриенты зачастую сосредоточают свое внимание почти исключительно на решении задач, особенно предлагавшихся на экзаменах прошых лет в выбранном имми вузе. И гораздо меняше времени уделяют они теоретической подготовке. Многие даже оставляют теорию «на потом», надяясь, что им удался условить ее за несколько дней между письменным и устным экзаменом. Такой «практический» уклон, конечно, себя не оправдывает.

Прежде всего дело в том, что на устных экзаменах теоретическая подготовка поступающих проверяется весма углубленно, во всех тонкостях, которые в любой математической теории предоставно. И разумеется, всевозможные «подводные камни» в доказательствах теorem необходимо только заранее увидеть, но и научиться обходить. Но, — и это, конечно, самое главное, — теория необходима именно для решения задач. Безусловно, есть задачи, которые можно решить с помощью каких-либо шаблонов, алгоритмов, имея самые смутные представления о теории. Однако таких задач немного, и в более сложных, необучных примерах без должных теоретических знаний разобраться трудно.

Одним из важнейших и наиболее сложных для поступающих пунктов программы вступительных экзаменов по математике является решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Можно сразу предложить возражения: решить такую систему? Да нет ничего проще. Надо выразить у через x из одного уравнения, подставить во второе уравнение, найти x, а затем y. И действительно, все было бы очень просто, если бы решила только о том, чтобы решать конкретные системы с числовыми коэффициентами. Однако на практике — и в «тренировочных» задачах, и в задачах, где системы использовются как вспомогательный аппарат, — приходится рассматривать системы с буквенными коэффициентами, то есть с параметрами. А это уже значительное условие задачу. И вообщество, решение задач с параметром — ахиллесова пята многохарактеристиков.

В теории же рассматривается самый общий случай, когда система имеет произвольные коэффициенты, и решение такой системы — это решение задачи с шестю параметрами! Однако овладение этой теории служит гарантийей ее правильного применения в частных случаях.

Начнем с начала, то есть с определений. Что такое система двух линейных уравнений с двумя неизвестными? К сожалению, определение, приведенное в учебнике*), не слишком удачно. Дело в том, что слово «совокупность» в применении к уравнении в последнее время перестало быть синонимом слов «множество», «на-

*) См. Е. С. Кочетков, Е. С. Кочеткова «Алгебра и элементарные функции», ч. I, § 26.

64

бор», а приобрело другое значение, причем такое, что термин «система уравнения» и «совокупность уравнения» имеют совершенно разный смысл.

Именно, если имеется несколько уравнений, то говорят, что они образуют систему, если требуется найти значения неизвестных, при которых выполняются все данные уравнения. Если же требуется найти значения неизвестных, при которых выполняется хотя бы одно из данных уравнений, то говорят, что данные уравнения образуют совокупность. Таким образом, несколько уравнений образуют систему или совокупность в зависимости от поставленной задачи.

Эти рассуждения относятся к произвольным, не обязательно линейным системам уравнений. Таким образом, мы видим, что даже подход к определению системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными требует предварительного тщательного продумывания.

На устном экзамене можно дать такое определение: система двух линейных уравнений с двумя неизвестными x, y, называется система уравнений вида

$$\begin{align*} a_1x + b_1y &= c_1, \\ a_2x + b_2y &= c_2, \end{align*}$$

еде $a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$ — произвольные (действительные, или даже комплексные, — почему бы и нет?) числа.

В таком определении, и это важно подчеркинуть, система двух уравнений с двумя неизвестными выделяется как частный случай общего понятия—системы k уравнения с n неизвестными. При этом не обязательно приводить общее определение системы уравнений, но его надо знать (например, в виде, который указаан ранее) и при необходимости уметь формулировать.

Распространенный среди поступающих недостаток состоит в том, что, дав правиланое определение, абитриент теряется при рассмотрении «страных» частных случайов, таких, как

$$\begin{align*} 2x + y &= 5 \\ 2x + y &= 5 \\ x + y &= 1 \\ x + y &= 2. \end{align*}$$

Часто приходится слышать, что в первом случае есть только одно уравнение, во втором — только одно неизвестное, а третьего «вообщее не может быть». Между тем все три системы удовлеворят данному определению, в котором нем никаких операций на коэффициенты при x, y и свободные члены.

Такая ситуация иногда вызывает психологический протест: зачем нужно рассматривать такие неразумные системы? Однако вспомним еще раз, что обычно решаются системы с параметрами, и при каких-то значениях параметров могут осуществиться самые «неестественные» случаи.

Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными подробно рассмотрено в школьном учебнике Кочетковых. Однако следует иметь в виду, что поступающие часто не в состоянии дать компактную формулировку и соответствующое доказательство основной теоремы о решении систем рассматриваемого вида. Отметим также, что в таблице результатов, приведенной в учебнике Кочетковых (§ 33), опущен случай, когда все коэффициенты при неизвестных равны нулю. При всей кажущей «неестености» этого случая он может осуществться (вспомним о параметрах!) и потому должен быть включен в свойку результатов.

Эту основную теорему можно формулировать в виде следующей схемы.

Теорема. Пусть дна система уравнений

$$\begin{align*} a_1x + b_1y &= c_1, \\ a_2x + b_2y &= c_2. \end{align*}$$

Введем следующие обозначения:

$$\Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1b_2 - a_2b_1,$$

$$\Delta_x = \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} = c_1b_2 - c_2b_1,$$

$$\Delta_y = \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} = a_1c_2 - a_2c_1.$$

65

Тоеда

$$\frac{\Delta = 0}{\downarrow \Delta} \rightarrow \text{система определения*}$$

(точка),

$$\frac{\Delta_x = \Delta_y = 0}{\downarrow \Delta} \rightarrow \text{система несовместная,}$$

$$\frac{a_1 = b_1 = a_2 = b_2}{\downarrow \Delta} \rightarrow \text{система неопределения (прямая),}$$

$$\frac{c_1 = c_2 = 0}{\downarrow \Delta} \rightarrow \text{система несовместная (плоскость).}$$

Эту схему надлежит понимать следующим образом. Прежде всего задается вопрос: $\Delta = 0$? Если нет, система определения (имеет единственное решение); если да, то задается вопрос: $\Delta_x = \Delta_y = 0$? Если нет, то система несовместная, если да, то задаем следующий вопрос и так далее. Слова «точка», «прямая», «плоскость» относятся к геометрической интерпретации соответствующего случая.

При этом следует дополнительно отметить, что в первом случае $x = \frac{\Delta_x}{\Delta}$, $y = \frac{\Delta_y}{\Delta}$, а в третьем случае (то есть когда $\Delta = \Delta_x = \Delta_y = 0$, но не все коэффициенты при неизвестных равны нулю) система эквивалентна одному уравнению — тому, в котором есть ненулевой коэффициент.

Эта формулировка позволяет легко выводить необходимые и достаточно условные условия такого типа: система является определенной модель и молко модель, когда $\Delta \neq 0$; система несовместна модель и молко модель, когда либо $\Delta = 0$, но $\Delta_x \neq 0$ или $\Delta_y \neq 0$, либо все коэффициенты при неизвестных равны 0, а хотя бы один из свободных членов не равен 0.

*) К сожалению, в учебнике нет терминов «определения» и «неопределения» системы. Система называется определенной, если она имеетровно одно решение, и неопределенной, если она имеет более одного решение. Эти термины удобны для употребления, но, разумеется, не обязательны.

Рассмотрим несколько типных примеров применения этой теоремы.

Задача 1 (МГУ, географический ф-т, 1970). При каких значениях параметра а система уравнений

$$\begin{cases} ax - 4y = a + 1, \\ 2x + (a + 6)y = a + 3 \end{cases}$$

не имеет решения?

Заметим сразу же, что условие несовместности системы, приведенное выше, не сколько громоздко, и на практике часто бывают целесообразно не применять этого условия «в любе», а поработать с одним только необходимым условиям несовместности $\Delta = 0$. Это позволяет не подчитывать определителей $\Delta_x$ и $\Delta_y$.

Имеем: $\Delta = a^2 + 6a + 8$; следовательно, $\Delta = 0$ при $a = -2$ и при $a = -4$. Подставив в данную систему $a_1 = -2$, получим систему

$$\begin{cases} -2x - 4y = -1, \\ 2x + 4y = 1, \end{cases}$$

которая, очевидно (или на основании третьего случая теоремы), имеет бесконечного много решения. При $a_2 = -4$ имеем систему

$$\begin{cases} -4x - 4y = -3, \\ 2x + 2y = -1, \end{cases}$$

которая, очевидно (или на основании второго случая теоремы), несовместна.

Ответ: $a = -4$.

Задача 2 (МГУ, биологический ф-т, 1970). Числа $a, b, c$ макобы, что система уравнений,

$$\begin{cases} ax - by = 2a - b, \\ (c + 1)x + cy = 10 - a + 3b \end{cases}$$

меет бесконечного много решения, причем $x = 1$, $y = 3$ – одно из этих решения. Найти числа $a, b, c$.

Заметим сразу же, что во втором уравнении системы ни при каком $c$ коэффициенты при неизвестных не обращаются одновременно в 0. Поэтому для данного системы имеет место третьего случая теоремы. Определители $\Delta, \Delta_x, \Delta_y$ выглядают здесь довольно громоздко, и мы для упрощения выкладок сначала воспользуемся дополнительным условиям задачи. Так как пара чисел $x = 1$,

66

$$y = 3 \text{ является решением системы, то } \begin{cases} a - 3b = 2a - b, \\ c + 1 + 3c = 10 - a + 3b. \end{cases}$$

Отсюда $a = -2b, c = (5b + 9)/4$. Далее находим: $\Delta = ac + bc + b = (-5b^2 - 5b)/4 = 0$, откуда $b_1 = 0, b_2 = -1$. Тогда $a_1 = 0, c_1 = \frac{9}{4}; a_2 = 2, c_2 = 1$.

В этих двух случаях получаются также системы:

$$\begin{cases} 0x + 0y = 0, \\ \frac{13}{4}x + \frac{9}{4}y = 10, \\ 2x + y = 5, \\ 2x + y = 5. \end{cases}$$

Обе системы удовлетворяют условию задачи.

Ответ: $a_1 = 0, b_1 = 0, c_1 = \frac{9}{4}; a_2 = 2, b_2 = -1, c_2 = 1$.

Задача 3. При каких значениях $a$ системы

$$\begin{cases} (a^2 - 1)x + (a + 1)y = a^2 - 2, \\ (a + 1)x + 2ay = 2a + 1 \end{cases}$$

имеем бесконечно много решений?

Определитель этой системы равен $\Delta = 2a^3 - a^2 - 4a - 1$, а формул для решения уравнения $2a^3 - a^2 - 4a - 1 = 0$ у нас нет *. Поэтому придает пользоваться основной теоремой в ее полном объеме. Система является неопределенной в том и только в том случае, когда либо $\Delta = \Delta_x = \Delta_y = 0$, но не все коэффициенты при неизвестных равны 0, либо все коэффициенты системы равны 0. Однако коэффициенты при $y$ не могут обратиться в 0 одновременно, так что остается рассмотреть только первой случай.

*) Правда, можно заметить, что это уравнение имеет корень $a = -1$. Зная один корень кубического уравнения, можно разложить левую часть уравнения на линейный множитель (вид $x - x_0$, где $x_0$ – найdenный корень) и многочлен второй степени, корни которого мы умеем находить. Найда таким образом корни рассматривается уравнения, мы можем решить получащие системы. Однако мы приведем более простое решение задачи.

Имеем

$$\Delta_x = \begin{cases} a^2 - 2 & a + 1 \\ 2a + 1 & 2a \end{cases} = 2a^3 - 2a^2 - 7a - 1.$$

Если уравнения $\Delta = 0$ и $\Delta_x = 0$ имеют общий корень $a_0$, то, вычитая из первого уравнения второе, получим $a_0^2 + 3a_0 = 0$, откуда $a_0$ равно либо 0, либо -3, однако ни одно из этих чисел не является корнем уравнения $\Delta = 0$, так что мы получаем противоречие.

Следовательно, уравнение $\Delta = 0$ и $\Delta_x = 0$ не имеют общих корней, а потому данная система не может быть неопределенной.

Ответ: ни при каких $a$ системы не имеет бесконечно много решений.

Теперь рассмотрим несколько задач, условия которых не совпадают с системами уравнения.

Задача 4. Доказать, что если уравнение

$$ax^2 + bx + c = 0$$

и $px^2 + qx + r = 0$ имеем общий корень, то $(ar - cp)^2 = (aq - bp) (br - cq)$.

Пусть данные уравнения имеют общий корень $x_0$. Тогда система уравнения

$$\begin{cases} au + bv = -c, \\ pu + qv = -r \end{cases}$$

имеет решение $u = x_0^2, v = x_0$, а доказываемое равенство принимает вид $\Delta_v^2 = \Delta \cdot \Delta_u$. Если определитель $\Delta$ системы (1) отличен от нуля, то мы поравили Крамера находим единственное решение:

$$x_0^2 = \frac{\Delta_u}{\Delta}, \quad x_0 = \frac{\Delta_v}{\Delta}.$$

Отсюда $\frac{\Delta_u}{\Delta} = \frac{\Delta_v^2}{\Delta^2}$, откуда $\Delta_v^2 = \Delta \cdot \Delta_u$, что и требовалось доказать.

Если же $\Delta = 0$, то система (1), будучи совместной, является неопределенной, и следовательно, в ней $\Delta_x = \Delta_y = 0$, то есть снова доказываемое равенство выполняется.

Желаяшие могут попробовать доказать требуемое равенство непределен-

67

ственно и сравнить свое решение с приведенным.

Задание 5. При каком условияе через три точки с попарно различными абсциссами можно проверить парабoly — график квадратного треугольника?

Данные точки лежат на графике функции $y = ax^2 + bx + c$ тогда и только тогда, когда совместна система уравнения

$$\begin{cases} ax_1^2 + bx_1 + c = y_1, \\ ax_2^2 + bx_2 + c = y_2, \\ ax_3^2 + bx_3 + c = y_3 \end{cases}$$

с неизвестными $a, b, c$ и параметрами $x_i, y_i$ ($i = 1, 2, 3$).

Система (2) имеет три неизвестных, и поэтому наша теория к ней неосредственно неприменима. Однако, исключающий из этой системы неизвестное $c$, мы получим систему с двумя неизвестными:

$$\begin{cases} a(x_1^2 - x_2^2) + b(x_1 - x_2) = \\ a(x_1^2 - x_3^2) + b(x_1 - x_3) = \end{cases}$$

Если система (3) будет совместна, то, очевидно, и система (2) будет совместна (верно и обратное утверждение).

Определитель системы (3) нетрудно подсчитать:

$$\Delta = \begin{cases} x_1^2 - x_2^2 & x_1 - x_2 \\ x_1^2 - x_3^2 & x_1 - x_3 \end{cases} = (x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_2 - x_3).$$

Числа $x_1, x_2, x_3$ все различны, поэтому $\Delta \neq 0$, то есть система (3), а вместе с ней и система (2), имеет единственное решение. Следовательно, через три точки с попарно различными абсциссами всегда проходит график функции вида $y = ax^2 + bx + c$.

Однако для того, чтобы эта функция была графиком квадратного треугольника, должно быть $a \neq 0$, то есть в системе (3)

$$\Delta_a = \begin{cases} y_1 - y_2 & x_1 - x_2 \\ y_1 - y_3 & x_1 - x_3 \end{cases} \neq 0.$$

Таким образом, в процессе решения мы получили следующие утверждения: если три точки имеют попарно различные абсциссы, то

$$\begin{cases} y_1 - y_2 & x_1 - x_2 \\ y_1 - y_3 & x_1 - x_3 \end{cases} = 0$$

они лежат на одной прямой;

$$\begin{cases} y_1 - y_2 & x_1 - x_2 \\ y_1 - y_3 & x_1 - x_3 \end{cases} \neq 0$$

они лежат на одной параболе.

Кроме того, через любые три точки с попарно различными абсциссами, не лежащие на одной прямой, можно проверить единственное парабoly $y = ax^2 + bx + c$.

Ураженяя

1. Может ли система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет равную чётные решения?

2. В чем разница между решениями уравнения $x = 1$ и решениями системы

$$\begin{cases} x + 0y = 1, \\ x + 0y = 1 \end{cases}$$

3. (МГУ, бинофак, 1969). Найти все значения $a$, при которых система уравнения

$$\begin{cases} 2x + (9a^2 - 2)y = 3a, \\ x + y = 1 \end{cases}$$

не имеет решения.

4. (МГУ, географический ф-т, 1970). При каких значениях параметра $a$ система уравнения

$$\begin{cases} 2x + ay = a + 2, \\ (a + 1)x + 2ay = 2a + 4 \end{cases}$$

имеет бесконечно много решений?

5. (МГУ, бинофак, 1970). Числа $a$ и $b$ таковы, что система уравнения

$$\begin{cases} a^2x - ay = 1 - a, \\ bx + (3 - 2b)y = 3 + a \end{cases}$$

имеет единственное решение $x = 1, y = 1$. Найти $a$ и $b$.

6. Какие комплектные числа представим в виде $\frac{c + di}{c - di}$?

7. Решить систему уравнения

$$\begin{cases} 2x^3y = 5, \\ 3x^8y = 12 \end{cases}$$

8. При каком условия точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ лежат на графике некоторой парабoly вида $y = x^2 + px + q$?

9. Решить систему уравнения

$$\begin{cases} ax + y + z = 1, \\ x + ay + z = 1, \\ x + y + az = 1 \end{cases}$$

10. При каких $a$ точки с координатами $(-1, -3 - a), (3, 3a + 1), (4 - a, 2a + 2)$ лежат на одной прямой?