Задачи по математике

47

Задание
по математике

Л. Г. Лиманов

В этой статье приведятся тексты всех задач, предлагавшихся на олимпиде. Почти все они уже опубликованы в «Кванте» (№ 7, 8, 1973) и их решения появятся в соответствии with номерах журнала. Здесь же разработаны путь задач, не вошедших в «Задачник« Кванта».

8 класс

Первый день

1. На суде в качестве вещественного доказательства предъявлено 14 монет. Эксперт обнаружил, что монеты с 1-й по 7-ю — фальшивые, а с 8-й по 14-ю — настоящие. Суд же знает только то, что фальшивые монеты весят одинаково, настоящие монеты весят одинаково и что фальшивые монеты легче настоящих. В распоряжении Эксперт — чашечные весы без гриь.

a) Эксперт хочет доказать суду, что монеты с 1-й по 7-ю — фальшивые. Как он может это сделать, использует только три взвешивания?

6. Показите, что с помощью трех взвешивания он может доказать даже больше: что монеты с 1-й по 7-ю — фальшивые, а с 8-й по 14-ю — настоящие.

2. Докажите, что девятизначное число, в записи которого участвует все цифры, кроме нуля, и которое оказывается цифрой 5, не может быть полным квадратом целого числа.

3. Дано $n$ точек, $n > 4$. Докажите, что можно соединить их стрелками так, чтобы из каждой точки в каждой можно было попасть, пройдя либо по одной стрелке либо по двум (кажды две точки можно соединить стрелкой только в одном направлении; идти по стрелке можно только в указанном на ней направлении).

Второй день

4. На сторонах остругольного треугольника $ABC$ во внешнюю сторону построены три подобных между собой остругольных треугольника $AC_1B, BA_1C, CB_1A$ (при этом $AB_1C = ABC_1 = A_1BC, BC_1A = B_1CA, CAB_1 = C_1AB$)

a) Докажите, что окружности, описанные вокруг треугольников $AC_1B, BA_1C$ и $CB_1A$, пересекаются в одной точке.

6. Докажите, что в той же точке пересекаются прямые $AA_1, BB_1$ и $CC_1$.

5. $N$ человек не знакомы между собой. Нужно так познакомить друг с другом некоторых из них, чтобы ни у каких трех людей не оказалось одинакового числа знакомы. Докажите, что это можно сделать при любом $N$.

6. Король обошел шахматную доску $8 \times 8$, побивав на каждой полеровно один раз и вернулись последним ходом на исходное поле (король ходит по обычным правилам). Когда нарисовали его путь, соединив отрезками центры полей, которые он последовательно проходит, то получилась замкнутая ломанная без самопересечения.

a) Приведите пример, показывающий, что король мог сделатьровно 28 ходов по горизонталям и вертикалям.

6. Докажите, что он не мог сделать меньше, чем 28 таких ходов.

9 класс

Первый день

1. На суде в качестве вещественного доказательства предъявлено 14 монет. Эксперт обнаружил, что монеты с 1-й по 7-ю — фальшивые, а с 8-й по 14-ю — настоящие. Суд же знает только то, что фальшивые монеты весят одинаково, настоящие монеты весят одинаково и фальшивые монеты весят одинаково и фальшивые легче настоящих. Эксперт хочет взвешиватьями на чашечных весах без гриь доказать суду, что все обнаруженные им фальшивые монеты действительно являются фальшивыми, а остальные — настоящими. Сможет ли он это сделать?

2. Дан угол с вершиной $O$ и окружность, касающаяся его сторона в точках $A$ и $B$. Из точки $A$ параллельно $OB$ проведен луч, пересекающий окружность в точке $C$. Отрезок $OC$ пересекает окружность в точке $E$, а прямые $AE$ и $OB$ пересекаются в точке $K$. Доказать, что $OK = KB$.

3. Действительно числа $a, b, c$ таковы, что для всех чисел $x$, удовлетворяющих условию $-1 \leq x \leq 1$, выполено неравенство

$$|ax^2 + bx + c| \leq 1.$$

Доказать, что при этих значениях $x$ выполено также неравенство

$$|cx^2 + bx + a| \leq 2.$$

4. Теннисная федерция присвоила все входящим в нее теннисистам квадрифических номера: сильнейшему — первый номер, следующему по сле — второй и т.д. Известно, что во встречках теннисистов, квадрифических номера которых различаются более чем на 2, всегда победает спортенс с меньшим номером. Турир, в котором участвует 1024 сильнейших теннисиста, прово-

48

Дится по олимпийской системе: участники очередного тура разбиваются по жребию на пары и в следующий тур выходит победитель в каждой паре, так что число участников после каждого тура уменьшается вдвое. Таким образом, после десятого тура будет выявлен победитель. Какой наиболее номер может он иметь?

Второй день

5. Дан треугольник с площадью 1 и сторонами $a, b, c$. Известно, что $a \geq b \geq c$. Доказать, что $b \geq \sqrt{2}$.

6. Дан выпуклый $n$-угольник с попарно непараллельными сторонами и точка внутри него. Доказать, что через эту точку нельзя провести больше $n$ прямых, каждая из которых делит площадь $n$-угольника пополам.

7. Король сбошел шахматную доску $8 \times 8$, побивав на каждой полеровно один раз и вернулись последним ходом на исходное поле. (Король ходит по обычным правилам: за один ход он может перейти по горизонтали, вертикали или диагонали на любое соседнее поле.) Когда нарисовали его путь, последовательное соединение центры полей, которые он прохождение, получилось замкнутая ломанная без самопересечения. Какую наименьшую и наиболее длинную может она иметь?

10 класс

Первый день

1. Квадратный треугольен
   $$f(x) = ax^2 + bx + c$$
   таков, что уравнение
   $$f(x) = x$$
   не имеет вещественных корней. Доказать, что уравнение
   $$f(f(x)) = x$$
   также не имеет вещественных корней.

2. Дан угол с вершиной $O$ и окружность, касающаяся его сторон в точках $A$ и $B$. Из точки $A$ параллельно $OB$ проведен луч, пересекающий окружность в точке $C$. Отрезок $OC$ пересекает окружность в точке $E$, а прямые $AE$ и $OB$ пересекаются в точке $K$. Доказать, что $OK = KB$.

3. На бесконечном клетчатом листе белой бумаги $n$ клеток закрашено в черный цвет. В момент времени $t = 1, 2, \dots$, проискодит одновременное перекрашивание всех клеток листа по следующему правилам: каждая клетка $k$ прибретает тот цвет, который именно в предыдущей момент большим из трех клеток: самой клетки $k$ и ее соседей справа и сверху (если две или три из этих клеток были белыми, то $k$ становится белой, если две или три из них были черными, — то черной).

a) Доказать, что через конечное время на листе не останется черных клеток.

b) Доказать, что черные клетки исчезнут не позже, чем в момент времени $t = n$.

Второй день

4. Доказать, что если $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ — положительные числа, то $(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5)^2 \geq 4(x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_4 + x_4x_5 + x_5x_1)$.

5. В пространстве задны 4 точки, не лежащие в одной плоскости. Сколько существует различных параллелепидов, для которых эти точки служат вершинами?

6. Король обошел шахматную доску $8 \times 8$, побивав на каждой полеровно один раз и вернулись последним ходом на исходное поле. (Король ходит по обычным правилам: за один ход он может перейти по горизонтали, вертикали или диагонали на любое соседнее поле.) Когда нарисовали его путь, последовательное соединение центры полей, которые он прохождение, получилось замкнутая ломанная без самопересечения. Какую наименьшую и наиболее длинную может она иметь?

Решения некоторых задач

8 класс, задача 2. Предположим, что такое число найти удобь. Обозначим его через $n$, а через $m$ — то число, квадратом которого оно является. Последняя цифра числа $n$ равна 5, поэтому последняя цифра числа $m$ — тоже 5, и его можно представить так: $m = 10m_1 + 5$. Значит, $n = (10m_1 + 5)^2 = 100(m_1^2 + m_1) + 25$. Следовательно, вторая справа цифра числа $n$ — это 2, а третья совпадает с последней цифрой числа $m_1^2 + m_1$. Эта цифра определяется последней цифрой числа $m_1$: если последняя цифра $m_1$ — 2 или 7, то получится 6, во всех остальных случаях получится 0 или 2. Поскольку третья цифра числа $n$ не может быть ни нулем (по условию), ни двойкой (она уже использована), то она равна шести, а вторая цифра числа $m$ — 2 или 7. Но тогда $m$ делится на 25, а $n$ — на $25^2 = 625$. Но тогда и $n = 625 = 1000$. $n_1$ тоже делится на 625. Отсюда $n_1$ делится на 5 и последняя цифра числа $n_1$, являющаяся четвертой цифрой числа $n$, — нуль, либо пять. Но и то и другое противоречит условию задачи. Следовательно, отискать квадрат с указанным в задане свойствами невозможно.

8 класс, задача 4. Рассмотрим точку $O$ пересечения окружностей $S_1$ и $S_2$ (см. рис. 1, на нем равные углы отмеченых одинаковыми дужками). По условию все треугольники — оструговые; используя это, легко доказать, что точка $O$ лежит в точке $\Delta ABC$. Вы легко справиться с этим самостояльно. (Отметим, что жорни не снижаю оценки тем участникам, которые это не доказывали.) Вычислим $\text{BOA}$:

$$\text{BOA} = 360^\circ - \text{AOC} - \text{BOC}$$

Далее, $\text{AOC} = 180^\circ - \text{AB}_1C$, $\text{BOC} = 180^\circ - \text{BA}_1C$. Значит, $\text{BOA} = \text{AB}_1C + \text{BA}_1C$. Следовательно,

49

Рис. 1.

$BOA + BC_1A = AB_1C + BA_1C + BC_1A = 180^\circ$. Поэтому точка $O$ лежит на окружности, описанной вокруг $\Delta ABC_1$. Утверждение пункта (а) задачи доказано.

Докажем теперь, что $A_1OA = 180^\circ$. Действительно, $A_1OA = A_1OC + COA = A_1BC + 180^\circ - AB_1C = 180^\circ$. Поэтому прямая $AA_1$ проходит через точку $O$. Следовательно, и прямые $BB_1$ и $CC_1$ тоже проходит через эту точку. Утверждение пункта (б) задачи доказано.

9 класс, задача 3. Из условия задачи следует также неравенства: $-1 \leq c \leq 1$; $-1 \leq a + b + c \leq 1$; $-1 \leq a - b + c \leq 1$. Из двух последних неравенств следует, что $-1 \leq a + c \leq 1$ и что $-1 \leq b \leq 1$. Будем считать, что $a \geq 0$. Действительно, если $a < 0$, то заменим $a$, $b$ и $c$ на $-a$, $-b$ и $-c$ соответственно; условия задачи новые значения также удовлетворяют, а новое $a$ (равное $-a$) будет положительным.

Рассмотрим теперь несколько случаев.

1. $c \geq 0$. Тогда $|cx^2 + bx + a| \leq c + |b| + a$ при $|x| \leq 1$. Но $c + |b| + a \leq 1$ (так как $|b|$ это или $b$, или $-b$), и уже подавно $|cx^2 + bx + a| < 2$ при $|x| \leq 1$.

2. $c < 0$. Тогда $a + c \leq cx^2 + a \leq a$, Отсюда $a + c - |b| \leq cx^2 + a + bx \leq a + |b|$. Но $-1 \leq a + c - |b|$, а $a + |b| \leq 1 - c \leq 2$. Таким образом, всегда выполняется неравенство $|cx^2 + bx + a| \leq 2$. Задно мы видим, что если при некотором $x_0$ выполняется равенство $|cx^2 + bx + a| = 2$, то $c = -1$, $cx^2 + bx + a = 2$ и $x_0 = 0$ (напомним, что у нас $a \geq 0$), отсюда $a = 2$ и $b = 0$ (так как $a + c = 1$).

Рис. 2. Рис. 3.