[Оптические иллюзии]

78

У нас в гостях журнал alpha

И. Леман

Одинаковый ли расстояния между точками A, B и M, N?

Какой отрезок длинее: AB или AC?

Что, по-вашему, изображено на этой фотографии?

Какой эллипс больше: нижний или внутренний верхний?

Это окружность?

Какая вервочка длинее?

Квадрат или не квадрат?

Как вы думаете, есть ли на этих рисунках квадрат?

79

К статье «Красочная комбинаторика»
4. Применим специальную черно-белую раскраску (рис. 1). Квадратное террамино на любом участке доски покроет нечетное число белых и нечетное число черных клеток, примоет террамино покроет по две клетки каждой расцветки, и косое террамино покроет либо по две клетки каждой расцветки, либо 4 одного цвета и ни одной другого. 16 террамино, упоминаемых в условия, покроют нечетное число черных и нечетное число белых клеток доски данной расцветки. Но наша доска содержит нечетное число клеток каждой

Рис. 1.
Рис. 2.

Представители «нечетных» террамино (их всего 24).

Рис. 3.
Представители «четных» террамино (их всего 11).

Рис. 4.

цвета, следовательно, не может быть покрыта указаными плитками террамино.

5. См. рисунок 2.

6. a) Если все 35 возможных видов гексамино считать фигурами, вырезанных из шахматной доски с обыковенными чердованием черных и белых клеток, то у 24 фигура оказывается по 3 клетки каждой цвета («нечетные» гексамино), а у 11 фигура — 2 клетки одного цвета и 4 — другого («четные» гексамино) — убедитесь! Несколько фигур «нечетной» и «четной» категорий показано на рисунке 3.

6. Предположим, что удалось из 35 плиток гексамино составить какой-либо прямогольник в 210 клеток (35 × 6 = 210). Так как «нечетных» гексамино четное число (24), а остальные гексамино — «четные», то покрытый имми прямогольник должен содержать нечетное число черных клеток и черное число белых. Но любой прямогольник из 210 клеток с шахматным чердованием черных и белых клеток содержит нечетное число (105) черных клеток и нечетное число (105) — белых.

8. Нет. Воспользовитесь раскраской в статье на рисунке 8.

9. Забирая желтые орехи, мы брали и настояшие. При первых пятей дележах моряк получал на один орех меньше, чем в задание без матрышки, а при последнем дележке моряк получил на один орех меньше. Получилось 10 лишних орехов — шесть матрышки и четырех желтых.

10. См. рисунок 4.

11. Каждый куб можно поставить разными способами (6 разных верхих граней и в каждой такой позиции еще 4 разных передних грани); комбинируя ориентации всех четырех кубов, получаем 24⁴. Но готовый параллелепид имеет 4 ориентации (проверьте), итого 24⁴ : 4 = 82944 возможных

80

Контрукций *). Условию задачи удовлетворяют два таких параллелепипеда, они получаются друг из друга поворотом каждой кубика на 180° вокруг его передней грани (при этом передние грани кубков не меняются, а верхняя и нижняя грани кубика меняются местами). Итого 2 шанса из 82944.

14. Для расщевки, показанной на рисунке 5, удовлетворяющей условиям условия, решение головоломки найдите самостояльно.

К статье «Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными»

1. Нет.
2. Уравнение $x = 1$ имеет единственное решение $x = 1$, а решением системы является любая пара чисел вида $(1, a)$.
3. $a = -2/3$.
4. $a = 3$.
5. $a = 1$, $b = -1$.
6. Числа, по модулю равные 1.
7. Пропогарнифицированный систему по основанию 2.
8. $x_1 \neq x_2$.
9. При $a \neq 1$, $a \neq -2$ будет $x = y = z = \frac{1}{a+2}$;

при $a = 1$ будет $z = 1 - x - y$, где $x, y$ — любые; при $a = -2$ нет решения.

10. $a_1 = 0$, $a_2 = 1$ (во втором случае посление точки совпадают).

*) Мы считаем, что сизу стоит кубик № 1, на нем — кубик № 2 и так далее.

К статье «Сильные треня»

1. $S = v^2/2kg = 5cm$.
2. $v = 87 \text{ km/ч}$.
3. $N = 600 \text{ h}$.
4. $v_{\text{max}} = \sqrt{kgR} = 75 \text{ km/ч} (R = r\sqrt{3})$.

К статье «ВМШ при Московском математическом обществе»

1. Колодец можно рыть в любом месте между третийм и четвертым домами.
2. 2 очка (5 команд).
3. a) Вычитите число 3 из обенных частей уравнения и разложите левую часть на множители.

6. Есть два пути: если $x$ больше 5, то $y^2$ оканчивается на 2, чего не может быть; если $x$ больше 6, то $y^2$ делится на 3, но не делится на 9, чего не может быть.

4. Проверьте, что если $x$ не делится на 5, то $x^4 - 1$ делится на 5.
5. Опущенные на BC высоты треугольников ABC и DBC равны.
6. МЯУ = 102 или МЯУ = 103.
7. См. статью И. М. Яглома в «Кванте» № 3, 1972 (надо применить результат задачи М89).
8. Для отгадавания цифр достаточно одного вопроса: $a_1 = 1$, $a_2 = 10$, $a_3 = 100$, …, $a_n = 10^{n-1}$. Если известно лишь, что загаданы натуральные числа, то одно вопроса не хватит (доказатель!, хватит двух: первым узнем сумму этих чисел, пусть она меньше $10^k$, во втором вопросе $a_1 = 1$, $a_2 = 10^k$, $a_3 = 10^{2k}$, ….
9. $x = 840 + 5a + 3b$, где $a = 0, 1, 2; b = 0, 1, 2, 3, 4$. Указан и е. Любой способ выдачи можно получить из любого другого, несколько раз меняя путь трешек на три пятерки.
10. $f(x) = 1 + x$ или $f(x) = 1 - x$.
11. Например, $a = -1$, $b = 4$, $c = 1$, $d = -3$, $e = 1$.

К задачам «Квант» для младших школьников» (см. «Квант» № 8, 1973)

1. $b = a + 1$, $c = a (a + 1)$. Тогда $x = (a^2 + a + 1)^2$.
2. Эйхлер — инженер, Бауман — электрик.
3. 36 км/ч, 99 м.
4. 18 часов.
5. 40 лет.

Чеховский полиграфический комбинат Союзполиграфия при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.ru. Чехов, Московской области

Руководщи не возврачаются

5

VII Всесоюзная олимпиада школьников по физике

1. Награждение победителей.
2. Члены командиг г. Ленинграда на закрытии олимпиады.
3. Председатель Всесоюзного оргкомитета олимпиады академик И. К. Киконн (слева) и председатель жюри VII олимпиады по физике член-корреспондент АН СССР К. Я. Кондратьев на открытии олимпиады,
   4, 5. Постоянные корреспонденты «Кванта» Ю. Лурье и Л. Брагиинский.

К нашим читателем

С 1 сентября производится подпись на научно-популярный физиomatематический журнал «Квант» на 1974 год.

Основное содержание журнала — материалы, помогающие лучше понять физику и математике, научиться применять эти науки для объяснения различных явлений и процессов, с которых мы сталкиваемся на практике, научиться решать задачи.

В журнале читатель найдет много задач. Среди них задачи, предлагавшие на вступительных экзаменах в различные виды, олимпiadные и просто интересные задачи.

Заметки с описанием физических приборов помогут читателю поставить и проверти физический эксперимент.

Журнал публикует статьи обзорного характера, рассказывающей о достижениях науки, о проблемах, которые еще ждут своего решения; рассказы об ученых, о том, какрождаются научные открытия.

В журнале постоянно помещаются рецепции на книги — уже вышедшие и еще только готовящиеся к изданию.

Журнал рассчитан в первую очередь на учеников 7—10 классов. Он полезен учителям, особенно тем, кто руководит крупками или ведет факультативные занятия по физике и математике, а также всем, кто любит математике и физике.

Журнал распространяется только по подписке, которая производится без ограничений.

Цена номера 30 коп., стоимость годовой подписки 3 руб. 60 коп. При подписке ссылайте на наш индекс 70465.