Как измеряют площадь

22

Как изменяют площадь

Задачу изменения площади фигуры, ограниченной некоторой замкнутой линией, приходится решать лицам самых различных специалностей: математикам, геодезистам, физикам…

Прежде всего возникают два тено связанных между собой вопроса: что такое площадь и что значим ее изменить?

Эти вопросы не так уж просты, и школьный курс геометрии дает ответы на них постепенно и только для некоторых частных случаев. Сначала для ряда простейших фигур — квадрата, прямоугольника, треугольника, а затем для многоугольника, круга и некоторых его частей (сектора, сегмента).

Вспомним, что квадрату, сторона которого равна единице длины, принимают площадь, равную единице (плошади). Это условие является аксиомой (аксиома единицей площади). Если, далее, фигура (рис. 1) состоит из двух частей, которые имеют не более чем конечное число общих отрезков и точек, и если при этом площади частей определяны, то сумму площадей этих частей принимают за площадь всей фигуры. Условие это называется аксиомой сложения площадей (аддитивностью площади *)). Наконец, условияются равным фигурам приниматься площади (аксиома конгруэнтности).

*) О свойстве аддитивности некоторые величины шла речь в статьях: Иони и Ю. И. Интергал. «Квант», 1972, № 9 и Смородинский Я. А. Инертная масса. «Квант», 1972, № 3.

Рис. 1.

23

Рис. 2.

$F_k$ полностью покрывает фигуру $F$ и может даже выходить за ее границу $C$. Площадь $F_k$, согласно аксиме аддитивности, равна сумме $S_k$ площадей этих квадратников (она пропорциональная числу квадратков, составляющих $F_k$). Величину $S_k$ естественно принять за приближение значение площади фигуры $F$ (с избытком).

Подсчитаем теперь сумму $S_k$ площадей тех квадратков сетки разряда $k$, которые целиком содержатся в $F$. Эти квадратки составляют многоугольник $f_k$ (он окрашен в зеленьй цвет), не выходящий за контур $C$. Ясно, что при любом $k$ справедливо неравенство $S_k \leq S_k$. Естественно принять $S_k$ за приближение значение площади $F$ (с недостатком).

Заметим, что сам контур $C$ оказывается заключенным в некоторой многоугольной области $\varphi_k$ (она окрашена в желтый цвет), лежащей между границами многоугольников $F_k$ и $f_k$; площадь $\varphi_k$ равна $S_k - S_k$.

Можно убедиться (проверьте это!), что при переходе от сетки разряда $k$ к сетке разряда $k+1$ выполняется неравенство $S_k \geq S_{k+1}$. При этом каждое число $S_k$ неотрицательно, поэтому многоугольная и ограниченная сизу последовательность

$$S_1 \geq S_2 \geq S_3 \geq \dots \geq S_k \geq \dots$$

должна иметь предел $S = \lim_{k \to \infty} S_k$.

Аналогично, многоотношение последовательность

$$s_1 \leq s_2 \leq \dots \leq s_k \leq \dots$$

также имеет некоторый предел $s = \lim_{k \to \infty} s_k$.

Предположим, что при неограниченном увеличении разряда $k$ сетки (и, следовательно, при стремлении $h_k$ к нулю) последовательности (1) и (2) имеют один и тот же предел: $s = S$. В этом случае фигуру $F$ называют квадрируемой и площадь ее принимают равной $S^*$). Если $F$ квадрируема, то ее граница $C$, как это следует из предыдущого, может быть заключена в многоугольную область $\varphi_k$, площадь $S_k - s_k$ которой неограниченно уменьшается при возникании $k$. Поэтому в полне логичного условия считать, что площадь такого контур $C$ равна нулю. Таким образом, если область $F$ квадрируема, то площадь ограничивающего ее контур равна нулю.

Справедливо, конечно, и обратное утверждение (доказante его): если площадь контура $C$ равна нулю (это значит, что $C$ можно покрыть многоугольной области $\varphi_k$, составленной из квадрируков сетки разряда $k$, площадь которого стремится к нулю при $k$, стремящемся к бесконечности), мои фигура $F$ квадрируема.

В большинстве практических случаев приходим到 дело с линейми $C$ нулевой площади. К их числу

*) Заметим, что все рассуждения в действительности не зависит от ориентации палестино относительно фигуры. Если при одной ориентации сеток фигура $F$ оказывается квадрируемой, то она оказывается такой же и при произвольном смесении сеток. И хотя при новом положении сеток сами числовые последовательности (1) и (2) меняются, предел их $S$ остается одним и тем же.

Проведенные здесь рассуждения в полне аналогичны тем, которые в учебниках геометрии приводят к определению площади круга как предела последовательности площадей правых вписанных (описанных) многоугольников при неограниченном увеличении числа их сторон.

24

Рис. 3.

относится линия, изученные французским математиком Камилем Жорданом (1838—1922). Это так называемые жордановы кривые. Если жорданову кривую рассматривать как траекторию движения (в плоскости) точки, то ее прямогольные координаты $x$ и $y$ можно задать как непрерывные функции

$$x = x(t), \quad y = y(t)$$

время $t$ ($t_0 \leq t \leq t_1$).

Жордан доказал, что всякая замкнутая жорданова линия $C$ без точек самопересечения разбиает всю плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю (рис. 3); для каждой из них $C$ служит общей границей. Любые две точки, принадлежащие одной и той же части фигуры (например, внутренней), можно соединить ломаной, не пересекающей $C$. Любая ломаная, соединяющая две точки из разных частей, неизбежно пересекает $C$. Так как площадь замкнутой и несамопересекающей жордановой кривой равна нулю, то фигура $F$ (она ограничена) квадрируема, то есть для нее последовательности (1) и (2) имеют общий предел $S$.

Измерение площади

Теперь становится понятным, что значит измерить площадь квадрируемой фигуры $F$. Это значит найти число $S$ — предел последовательности чисел $S_h$ (или $s_h$). Каждый из чисел $S_h$ дает лишь приближение значения площади с избытком ($s_h$ — с недостатком). Этот избыток (недостаток) тем меньше, чем больше разряд $k$ сетки.

Естественно, что на практике не вычислют предел $S$, а ограничиваются определением его приближенного значения $S_h$ с помощью сетки подходящого разряда *).

Одноко издавана возникла потребность в более совершенных, чем палетка, приборах, позволяющих измерять площадь быстрее, точнее и, по возможности, автоматически. Первые такие приборы, называемые планиметрами, были созданы более лет тому назад и, как очень часто бывают в вопросах большой практической или научной важности, почти одновременно в различных странах. Однако из первых планиметров (планиметр-самокат) был изобретен в 1854 году русским механиком П. А. Заар и нины м (1816—1886). В том же году иную конструкцию планиметра предложил Швейцарский математик Я. Амслер (1823—1912).

Эти и подобные им планиметры основаны на довольно простой и вместе с тем весма плодотворной идее (мы изложим лишь саму идею, а строение доказательства опустим).

Рассмотрим в плоскости чертежа два произвольных положения некоторого отрезка (стержня). Перевести отрезок из исходного положения $A_0B_0$ в конечное — $AB$ (рис. 4a) можно с помощью перемещений трех типов:

(1) поворотом вокруг середины $C_0$ стержня на угол $\alpha \geq 0$ в положение $A_1B_1$, параллельное $AB$;

(2) поступательным перемещением на величину $h \geq 0$ в направлении, перpendикулярном $A_1B_1$, переводящим отрезок в положение $A_2B_2$ на прямой $AB$;

*) Заметим, что методы интегрального исчисления позволяют в больших степени практических случаях определить число $S$ без использования последовательности (1) или же найти приближение значения $S$ более экономным путем, нежели подсчетом квадратических по сетке (о понятии интеграла см. статью: И он и Ю. И. Интеграл. «Кваант», 1972, № 9).

25

(3) сdwгом на $g \geq 0$ в направлении $AB$, совмещающим точку $A_2$ с точкой $A$.

Впрочем, из курса физики известно, что два последних перемещения можно заменить одним — поступательным перемещением, переводящим $A_1B_1$ сразу в $AB$. При этом отрезок «заметет» параллелограмм $B_1A_1AB$ с высотой $h$ и основанием, равным длине $l$ отрезка.

Подсчитаем всю площадь, заменую отрезком при перемещении из $A_0B_0$ в $AB$. Прежде, однако, прием важное правило.

Условия приписывать (глядя из $B$ в $A$) площади положительный знак, если она при перемещении стержня остается справа от него, и отпечатный, если она остается слева (рис. 4a).

С учетом этого правила ясно, что суммарная площадь, замененная отрезком в результате перемещения первого типа, равна нулю.

Рис. 4a.

Рис. 46.

Естестенно, что равна нулю площадь, заменная при перемещении треться типа. Отличной от нуля оказывается лишь площадь прямогольника, заменного при поступательном перемещении второго типа; она равна $lh$ (это же величины равна и площадь параллелограмма $B_1A_1AB$).

Если теперь совершает произвольное перемещение из положения $A_0B_0$ в положение $AB$, то в любой момент это перемещение можно разложить на три: типов (1), (2) и (3). При этом перемещения (1) и (3) не дают включения перемещения в направлении, перпендикулярном отрезку (типа (2)), полностью определяет замена ему площадь (это — самое «тонкое» место в наших рассудениях, именно здесь мы не приводим строение доказательства).

Таким образом, для определения суммарной площади (точнее, алгебраической суммы площадей), заменной отрезком известной длины $l$, достаточно иметь устройство, изменяющее суммарное перемещение отрезка в перпендикулярном направлении (рис. 46).

Оказалось, что таким устройством может служить небольшое колесико $R$ с закругленными краями, насаженное в середине (в точке $C_0$) стержня и соединенное с ним так, что оно может лишь вращаться. Ясно, что при перемещениях первого и третьего типов колесико не станет вращаться, а увлекаемое стержнем будет лишь скольнить по поверхности чертежа. Но это при перемещении второго типа оно практически без скольжения будет катиться по чертежу, поворачиваясь относительно стержня. При этом оно повернет как раз надугу, равную $h$.

Следует иметь в виду, что колесико можно помещить в любой точке стержня. При этом сохраняется возможность использовать его для изменения площади. Попробуйте убедиться сами, что если колесико сместить на величины $\lambda$ относительно середины стержня, то его показания изменятся на $\lambda\alpha$, где $\alpha$ — угол (в радианах), образованный исходным и конечным положением стержня.

26

Рис. 5.

Если окружность колесика разбит на некоторое число делений, а на стержне укрепить указаать, то оказывается возможность следить за тем, насколько поворачивается колесик. Возникнет простейший механизм. Сразу замечаем, что не всегда второй отсутствует (после обвода) оказывается больше первого (до обвода), все зависит от того, в какую сторону будет врашаться колесик. Если сдвинуть стержень из положения $A_0B_0$ в положение $AB$, а затем возвратить его снова в исходное, то в результате отсутствует остатся без изменения, то есть указаleb будет стоять против одного и того же деления в начале и в конце этих двух перемещений. Это естественно, так как стержень дважды прощел над параллелограммом $B_1A_1AB$; один раз площади приписывался положительным знак, другой — отрицательный.

Воспользовемся полученными результатыми для вычисления площади $S$ фигуры $F$ с кривolinейной границей, например, такой, как на рисунке 5. Для этого один из концов $B$ стержня будем перемещать вдоль границей $F$ в направлении стрелки. Конец $A$ пусты при этом движется по прямой $LA$. На рисунке 5 показано несколько положений стержня при его перемещении от точки $P$ границы к точкам $Q$, $R$ и $T$.

Мы замечаем, что над определением площадью $S$ стержень $AB$ прочет лишь один раз — при перемещении из точки $Q$ к точкам $R$, $T$, $P$. Зато площадь, лежащая вне границей, бу

27

отсчет ответает их сумме. Позтому
$$lh = S \pm s.$$ (3)

В качестве границ s можно выбрать круг радиуса r; тогда s = $\pi r^2$ и искомая площадь составит
$$S = lh \pm \pi r^2.$$

В этой формуле знак плоскости выбирается, например, и тогда, когда s лежит внутри S (рис. 8).

Все сказанное означает, чтостержень с колесиком (его часто называют интегрирующим) может служить планетром. Однако такой простой прибор неудобен в работе и вносит большие погрешности. В действительности планетр устроен несколько сложнее, хотя прицип его работы остается тем же. Имеются планетры многох типов, выпускаемые различными заводами точной механики. Они отличятся друг от друга конструкциями отдельных элементов, а также выбором кривой, по которой движется конец A стержня. В качестве такой кривой обычно выбирают либо прямую линию (линейный планетр), либо окружность (полярный планетр).

Конструции планетров

Рисунок 9 дает представление об общем виде полярного планетра. Полярный рычаг p и обводный рычаг l соединены шарниром b и могут быть отделены друг от друга; на конце обводного рычага имеется острый шпиль F, который обводит границу площади, и упор f, предохраняющий чертеж от повреждения шпилем. Полярный рычаг врашается вокруг конца (полюса), шарниро соединенного с тяжелой платой Π (она не позволяет полосу сdwгаться). Счетный механизм (рис. 10) связан с обводным рычагом. Его можно сdwгать вдоль этого рычага и укреплять в нужном положении винтом q. Счетный механизм опирается на изменительное колеско R и дополнительный опорный ролик C, придающий прибору устойчивость. Вращение колесика R через черччный вит передается счетному диску Z. Один полный оборот колесика вызывает поворот диск на одно издесят нанесенных на нем делений. Перimeter связанного с роликом счетного барабанчика T разделен на сто малых делений. С помощью расположенного ряда с ним вернgebra V можно отсчитывать десять доли малого барабанчика T.

Рис. 9. Полярный планетр

28

Рис. 10. Счетный механизм полярного планметра.

Каждай отчет представляет собой четырьхзначное число: сначала записьается количество полных делений на диске Z, затем число больших делений на барабанчике T, потом число полных малых делений на нем и, наконец, число десятих малого деления.

Для определения площади S в делениях планметра следует установить общий шпиль F в некоторой точке границы, затем на начальный отсчет, объективью границу, и, вернулись в исходную точку, записать новый отсчет. Затем вычесть из первого отсчета второй; тогда их разность (с точностью до знака) даст число, которое для получения исходной величины h надо умножить на радиус р колесика. Чтобы каждой длина l на величины h, подчитывать заранее, чем соответствует одно деление планметра (так называемую «цену деления» планметра) при определении длине общного рычага l. Для этого обводят какую-либо фигуру (например, квадрат или круг), площадь которой можно подчитать по формулой геометрии. Затем делят эту площадь на разность отсчета в конце и в начале обвода.

В специальном паспорте, который прилагается к каждому прибору, указывается цена деления при различной длине l обводного рычага. Это длину можно изменять, сдвигая счетный механизм. При сдвигах счетного механизма изменительное количество смещается от средней точки на ту или иную величины λ. Тем не менее можно доказать, что выведенная выше формула остается по-прежнему справедливой. Исключение представляется случай, когда в результате обвода границы рычаг l совершит полный оборот. В этом случае разность отсчетов надо увеличить на 2πlλ.

Самодельный планметр

Средние весы планметров имеются один необъчайно простой. Это так называемый «планметр-топорик Прица» (1886 г.). Он может быть изготовлен из куска объективной проводки, согласно в виде растянутой буквы П (рис. 11). Один из загнутых концов k заостряется и служит обводным шпилем, другой конец T расположивается и имеет вид топорика, лезвие которого лежит в одной плоскости с острием. Ostрие k устанавливается в некоторой точке O внутри изменяемой площади (желательно пользовке к центру тяжестей обводимой фигуры). Положение точки T₀ касания лезвия топорика с чертежом отмещают; затем, держа топорик ответно, ведут отрие к границе, обводят всю границу и возвращаются в исходную точку O. При этом топорик описывает некоторую кривую (если лезвие отсутстве, она оказывается

Рис. 11.

29

нацарапанной на чертежке). Одна из таких линей — линяя погони *), возникающая при обводе кругга, — показана на рисунке 12. Возвращшись в исходную точку $O$, отмечают новое положение $T_1$ лезвия. Чтобы определить теперь положение обведенной фигуры, надо изменить в радианах угол $\varphi = \frac{l}{2}\varphi$ между начальным и конечным положением планметра и умножить его на $l^2$. Если угол не великий, то вместо него достаточно изменить хорду $T_0T_1$ и составить произведение $l \cdot T_0T_1$. Это правило можно получить из общей теории планметра **). Оно означает, что планметр-тоорик не нуждается даже в изменительном колесике.

Действительно, предположим, что планметр-тоорик все же снажен изменительно колеском, насажен

*) По такой кривой должен быть охотник за зайцем, если он, «поймав зайца на мушку», захочет в течение всей погони держать его под прицельным огнем и при этом не менять направления ружья относительно корпуса.

**) Элементарную геометрическую теорию планметра-тоорика привед академик А. Н. Крылов в 1904 году в статье «On the hatchet planimeter» (Собр. трудов. Т. V).

ным на его конце (рядом с лезвием). Тогда при обводе границы фигуры $F$ колесико будет только скольнить, и потому поворот его оказывается нулевым. Если, однako, колесико насадить в середине топорика, то поворот его составит $\frac{l}{2}\varphi$ (почему?). На такую жедуг $\frac{l}{2}\varphi$ повернет колесико при повороте стержня из положения $OT_0$ в $OT_1$, а всего — на $l\varphi$. Поэтому алгебраическая сумма площадей, обметенных планметром, оказывается равной $l^2\varphi$. Остается только заметить, что эта величина равна алгебраической сумме искомой площади $S$ и площади $s$, ограниченной кривой погони (она замыкается поворотом планметра на угол $\varphi$). Можно доказать, что если начальная точка $O$ обвода расположена близко к центру тяжести $F$, то $s$ близко к нулю, и формула (3) дает:

$$l^2\varphi = S.$$

Планметр-тоорик может легко изготовить каждой из вас. Но уже полярный планметр требует высокой культуры произвольства, он измеряет площадь в десять раз точнее планметра-тоорик. Высокой точности (прецизиновые) планметры измерят площадь в десять раз точнее, чем обычные (ошибка составляет лишь 0,0001 обводимой площади). В этих приборах измерительное колесико катится не по чертежу, который может иметь складки или другие неровности, а по специальному металлическому диску или линейке.

Причечение. Не всегда обход границы фигуры $F$ сопровождается движением конца $A$ по направлению $L$ строгого в одном направлении и заканчивается ее полным обходом: движение против часовой стрелки может сменять движением по часовой и наоборот. Все зависит от взаимного расположения и конфигурации $F$ и $L$. В связи с этим рисунки 6, 7 и 8 являются сугубо схематичными.