Оценки углов

30

И. М. Яелом Оценки углов

Исходной для нас будет служить следующая неопустная, но почитальная задача 1. Пусть $A, B, C$ — три произвольные (несовпадающие) точки на плоскости; улы треугольника $ABC$ (мочее, $\angle BAC, \angle ABC$ и $\angle ACB$) мы обозначим через $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Пусть $\alpha \geq \gamma \geq \beta$. Какие значения моем приимать $\alpha$, $\gamma$ и $\beta$?

Эта задача хорошо иллюстрирует тематику настоящего статьи: в ней обсуждается следующее (в общем виде не решенная до сих пор!)

Основная проблема. На плоскости данных $n$ точки $A_1, A_2, \dots, A_n$. Обозначим через $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_N$ улы треугольников, образованных этих точки *). Пусть $\alpha_1 \geq \alpha_2 \geq \dots \geq \alpha_N$. Какие значения моем приимать $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_N$?

Чтобы представить себе, с чем мы можем встретиться при решении основной проблемы, решим задачу 1.

Решение задачи 1

Так как $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ = 3 \cdot 60^\circ$, то наиболее из трех углов треугольника не может быть меньше $60^\circ$, а

*) Число $N$, разумеется, зависит от $n$. Нетрудно видеть, что

$$N = 3C_n^3 = 3 \frac{n(n-1)(n-2)}{1 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{n(n-1)(n-2)}{2},$$

где $C_n^3$ — число сочетаний из $n$ по 3, но нам эта формула не понадобится.

31

ны быть острыми, то $\gamma < 90^\circ$ (случай, когда три точки лежат на одной прямой, не спасет положения, поскольку при этом $\alpha = 180^\circ$, $\beta = 0^\circ$, $\gamma = 0^\circ$). Однако $\gamma$ может быть скольго близким к $90^\circ$ (на рисунке 3 наименьший угол $\beta = \angle BAC$ очень мал, а $\angle ABC = \angle ACB \approx 90^\circ$). Таким образом,

$$60^\circ \leq \alpha \leq 180^\circ, \quad 0^\circ \leq \gamma < 90^\circ, \quad 0^\circ \leq \beta \leq 60^\circ.$$

Чтобы заверить решение задачи 1*, нам еще надо доказать, что $\alpha$ может принимать либо более значения в пределах $60^\circ \leq \alpha \leq 180^\circ$ (и аналогично для углов $\beta$ и $\gamma$). Впрочем, эта часть решения очень проста — она совпается к построению треугольника $ABC$, у которого наибольший угол $\alpha$ (или «средний» угол $\gamma$, или наименьший угол $\beta$) имеет заданное значение, выбранное в указанных пределах; это вы легко сделать сами.

Обсуждение решения задачи 1

Прежде всего изменим обозначения. Условия обозначать вершины треугольника через $A_1, A_2, A_3$, а его углы — через $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$. Наибольший из углов $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ можно обозначить так:

$$\alpha = \max_i \alpha_i,$$

а наименьший из углов $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ так:

$$\beta = \min_i \alpha_i,$$

причем $i = 1, 2, 3.$

мах — это сокращение латинского слова maximum — «максимум», то есть наибольшее. Знак $i$ под.max показывает, что меняется $i$, то есть задан набор величины $\alpha_i$ (здебь — $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$), из которых мы берем наибольшую (а не, скажем, наибольший из вообще возможных углов треугольника $A_1A_2A_3$ — в

*) Мы приводим здесь подробное решение задачи 1. Указания к решению остальных задач помещены в конце журнала (но не топппесь туда заглядываать — попробyte сначала решить задачу самостояльно). Звездочный отмечень более трудные задачи; во-простейный знак у номера задачи ознакомят, что решение автору не известно (откуда еще вовсе не следует, что эта задача — трудная; подумайте и над этим задачи).

этом случае мы напишем max $\alpha$. Закmak max $\Delta A_1A_2A_3$ обычно употребляется для наибольшей из конечного числа величины (здебь — из трех). Для наибольшей из бесконечного числа величины тоже можно применять знак max, но это опасно — здесь надо еще доказывать, что это наибольшая величина сущействует (см. далее).

min — сокращение латинского слова minimum — «минимум», то есть наибольшее.

В задаче 1 не вызываю ни каких затруднений определение самого большого возможного значения $\alpha$, то есть

$$\max \alpha = \max \max \alpha_i = 180^\circ,$$

$$\Delta A_1A_2A_3 \quad \Delta A_1A_2A_3 \quad i$$

и самого малого возможного значения $\beta$, то есть

$$\min \beta = \min \min \alpha_i = 0^\circ.$$

Наибольший интерес здесь представляется наименьшего возможного значения $\alpha$, то есть

$$\min \alpha = \min \max \alpha_i = 60^\circ,$$

$$\Delta A_1A_2A_3 \quad \Delta A_1A_2A_3 \quad i$$

Постановка таких «минимаксных» задач характерна для современной «чистой» и (особен!) прикладной математики.

Значительнаяную часть задачи 1 также составляет оценка наибольшего возможного значения величины $\gamma$ (наименьшее легко находится: из рисунка 2 следует, что min $\gamma = 0^\circ$). Однако здесь нас подстерегает сорриз: оказавется, что искомого наибольшего значения $\gamma$ не существует: угол $\gamma$ может быть скольго близок к $90^\circ$, но он никогда не оказывается равным $90^\circ$. Математики в таком случае говорят, что $90^\circ$ — это (моная) верхняя грань величины $\gamma$:

$$\sup \gamma = 90^\circ.$$

sup — это сокращение латинского слова supremum — «супремум», то есть вышее. Запись sup $x_i = \xi$ означает, что $x_i \leq \xi$ для любого $i$, но $x_i$ может быть скольго угло

32

близким к ξ, то есть ξ — наименьшее из чисел, не меньше чем любое $x_i$. Можно показать, что если величины $x_i$ ограничены сверху, то есть существуют хотя бы одна верхняя грань величины то среди этих верхних граней найдется наименьшая (моная), то есть sup $x_i$ существует.

Аналогично употребляется запись inf $x_i$. Inf — это сокращение латинского слова infimum — «инфимум», то есть низшее.

inf $x_i$ — это мощная низкая грань, то есть наибольшее из чисел, не превысших любого $x_i$. В тех случаях, когда это не вызывает затруднений при чтении, мы не будем писать $i$, $\Delta A_1 A_2 A_3$ и т.п. под знаками sup, inf, max, min.

Нетрудно понять, с чем связан этот сорпириз. Ясно, что величины max $\alpha_i$ и min $\alpha_i$ существуют — ведь из трех углов $\alpha_1$, $\alpha_2$ и $\alpha_3$ всегда можно выбрать наибольший и наименьший. А число треек $\{A_1, A_2, A_3\}$ точек на плоскости является бесконечным. И здесь мы уже не можем ручаться за то, что найдется такая трека, которая отвечает наибольшее значение угла $\gamma$. Ведь переходить от одной треки точек к другой, которое отвечает большее значение угла $\gamma$, мы можем сколь годно много раз, и при этом каждый раз может оказаться, что все равно осталась трека, лучшая, чем все предыдущее.

В принципие, ни одна из величины sup $\alpha$, sup $\beta$, sup $\gamma$, inf $\alpha$, inf $\beta$, inf $\gamma$ не обязательна достаточно — и мы должны расценить как удачу то обстоятельство, что величины sup $\alpha = 180^\circ$, sup $\beta = 60^\circ$, inf $\alpha = 60^\circ$ и inf $\beta = 0^\circ$ достигаются, то есть что существуют max $\alpha$, max $\beta$, min $\alpha$ и min $\beta$. Для величины $\gamma$, как мы видели, inf $\gamma = 0^\circ$ достигается, а sup $\gamma = 90^\circ$ — нет.

Аналогично этому, скажем, для величины $\frac{1}{n}$, где $n$ — натуральное число, sup $\frac{1}{n} = 1$ достигается (при $n = 1$), а inf $\frac{1}{n} = 0$ — нет; таким образом, величины $\frac{1}{n}$ имеет максимум и не имеет минимума.

Рассмотрим, наконец, вопрос о том, для каких именно треек точки $P_3 = \{A_1, A_2, A_3\}$ (или $\{A, B, C\}$) достигается максимум или минимум величины $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Легко видеть, что min $\alpha$ и (одновременно) max $\beta$ достигаются для единственного тройки точек — для вершин правильного треугольника $ABC$ (см. рис. 1) конечно, с точностью до замены треугольника $ABC$ подобным, что, впрочем, не меняет ни одного из его углов. max $\gamma$, как мы уже знаем, вообщше не существует. А величины max $\alpha$, min $\beta$ и min $\gamma$ реализуют беско нечны множеством разных (далее не подобных) тройек точек, — ведь средняя точка на рисунке 2 может располагаться в любом месте на отрезке, соединяющего две другие точки.

Тепер мы перейдем к другим задачам.

Задание 2. a) Пусть $P_4 = \{A, B, C, D\}$ — произвольная система четырех точки на плоскости; величины наименьшего из 12 углов, определенных эмпиримом и мочиками, обозначим через $\beta$. Докажите, что $0^\circ \leq \beta \leq 45^\circ$.

b) Пусть $P_5$ — произвольная система четырех точки на плоскости; наименьший из определенных эмпиримом и мочиками углов обозначим через $\beta$. Докажите, что $0^\circ \leq \beta \leq 36^\circ$.

в) Пусть $P_6$ — произвольная система четырех точки на плоскости; наименьший из определенных эмпиримом и мочиками углов обозначим через $\beta$. Докажите, что $0^\circ \leq \beta \leq 30^\circ$.

Для каких систем из четырех, пяты и шести точки на плоскости достигаются наибольшее и наименьшее значения угла $\beta$?

Начало решения задачи 2. Предположим, что рассматриваемые точки — это вбитые в земм

34

мом же результатом, что и для систем из 7 точек (мо есть это здесь также inf α = 120°, u min α не существует).

Обратимся снова к фигурирующим в основной проблеме «общим» системе $P_n = \{A_1, A_2, \dots, A_n\}$ из $n$ точек на плоскости; наиболее изуглов, определяемых этих точек, мы обозначим через $\alpha$, а наиболее — через $\beta$. Так как, очевидно, наиболее возможное значение $\alpha$ равно 180°, а наиболее значение $\beta$ равно 0°, то задача оценки углов $\alpha$ и $\beta$ состоит в нахождения sûр $\beta$ (эту величины мы обозначим через $\beta$ или плоскку она, разумеется, зависит от $n$, — через $\beta(n)$) и inf $\alpha$ (эту величины мы обозначать через $\alpha$ или $\alpha(n)$). Найти величины $\beta(n)$ несколько:

$$\beta(n) = \frac{180^\circ}{n},$$

и эта величина всегда достижима (см. задачу 3). Однако задача нахождения величины $\alpha(n)$ не так проста и в общем виде до сих пор еще не решена. Задачи 4 и 5 утверждают, что $\alpha(4) = 90^\circ$, $\alpha(5) = 108^\circ$ и $\alpha(6) = \alpha(7) = \alpha(8) = 120^\circ$; при этом значения $\alpha(4), \alpha(5)$ и $\alpha(6)$ достижены, а значения $\alpha(7)$ и $\alpha(8)$ уже не достижены.

Задачу определяния величины $\alpha(n)$ впервые поставил американский геометр Л. Блюменталь; ее решением занимались венгерские математики П. Эрдеш*) и Г. Секереш. П. Эрдеш предложил, что для всех $n \geq 6$ $\alpha(n) = \frac{k-1}{k} \cdot 180^\circ$, где $2^{k-1} \leq n \leq 2^k$, и что достигается это значение $\alpha(n)$ лишь при $n = 6$. Однако доказано до сих пор лишь, что

$$\alpha(2^k) = \frac{k-1}{k} \cdot 180^\circ$$ при $k \geq 2$

*) Пал Эрдеш — видный современный венгерский математик. Эрдеш принадлежит многое яркие результаты в разных областях математики (теория чисел, математический анализ, теория вероятности, геометрия и т. д.); одна в результате его деятельности число нерешенных до сих пор задач лишь увеличилось, но он поставил больше новых задач, чем решил старых.

и что если $2^{k-1} < n < 2^k$ (где $k \geq 3$), то $\frac{k-1}{k} \cdot 180^\circ \geq \alpha(n) > \frac{k-2}{k-1} \cdot 180^\circ$ (последняя оценка может быть даже слегка усилена).

Обратимся теперь к остальном углом, фигурирующим в probleме.

Задача 6. Пусть $P_4$ — произвольная система четырех точек на плоскости; $\alpha = \alpha^{(1)}$ и $\alpha^{(2)}$ — два сальых больших из девенадчатми углов, задаваемых этим точек, $a = \beta = \beta^{(1)}$ и $\beta^{(2)}$ — два сальых маленных углов; при этом $\alpha^{(1)} \geq \alpha^{(2)}$, $\beta^{(1)} \leq \beta^{(2)}$. Докажите, что

a) $72^\circ \leq \alpha^{(2)} \leq 180^\circ$;
b) $0^\circ \leq \beta^{(2)} \leq 45^\circ$.

Для каких систем точки реализуется наобольшее и наименьшее значения $\alpha^{(2)}$ и $\beta^{(2)}$?

Задача 7. Докажите, что при всех $n \geq 2$ max $\alpha(i) = 180^\circ$ при $1 \leq i \leq \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$,

$$u \min \alpha^{(i)} = 0^\circ$$ при $P_n$

$$\frac{n(n-1)(n-2)}{6} < j \leq N = \frac{n(n-1)(n-2)}{2}$$

Таким образом вопрос об оценках всех $N$ углов $\alpha^{(i)}$ свидетельствует к определению величины inf $\alpha^{(i)}$, где

$$1 \leq i \leq \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$$

(inf $\alpha^{(i)}$ можно обозначить символом $\alpha^{(i)}(n)$) и sup $\beta^{(i)}$ при

$$1 \leq j \leq \frac{n(n-1)(n-2)}{3}$$

*) Заметьте, что $\frac{n(n-1)(n-2)}{6} + \frac{n(n-1)(n-2)}{3} = \frac{n(n-1)(n-2)}{2} = N$. Укажем еще, что число подлежащих определению величины $\beta^{(i)}$ всегда вдвое большие числа интерсуоших нас числа $\alpha^{(i)}$, например: 2 и 1 при $n = 3$, 8 и 4 при $n = 4$ и т. д.