56
Высота пирамиды
M. Л. Крайзман
Что можно сказать о высоте произвольной пирамиды? Довольно мало. Разве только повторить, по существу, определение: высота пирамиды проходит через вершину пирамиды и перpendикулярна ее основанию.
Однако, если про пирамиду известны некоторые дополнительные сведения, то положение высоты можно охарактеризовать подробнее. Так, всем хорошо известен тот факт, что в правильной пирамиде высота проходит через центр лежащого в основании правильно многоугольника. Опыт приемных экзаменов показывает, что абитуренты обычно твордо знают положение высоты пирамиды, у которой все боковые ребра равны, но испытывали больше затруднения, если нужно определить положение высоты пирамиды, у которой, например, равны между собой только до в смежных боковых ребра.
В настоящее время мы проследим, какие особенности пирамиды позволяют получить дополнительную информацию о том, как проходит высота пирамиды. В приводимых ниже утверждениях устанавливается связь между свойствми пирамиды и положением ее высоты. Эти утверждения не следует, конечно, заучивать. Но их полезно осознаать и научиться «видеть», решая ту или иную задачу о пирамидах.
Утверждение 1. Если боковая граница пирамиды перpendикулярна плоскости основания, то высота пирамиды проходит в плоскости этой грани, а основание высоты лежит на этой основании (или на ее продолжении), по которой эта грань пересекается с плоскостью основания.
В самом деле, если боковая граница ASB перpendикулярна плоскости основания пирамиды (рис. 1), то, согласно теореме о perpendикуляре, опущенном на одну из двух взаимно перpendикулярных плоскостей и имеющим общую точку с другой из этих плоскостей, высота SO пирамиды принадлежит плоскости боковой грани ASB. При этом основание O высоты пирамиды находится на стороне AB основания (или на ее продолжении). Другими словами, высотой пирамиды является высота треугольника ASB.
Утверждение 2. Если два смежных боковых ребра пирамиды равны, то основание высоты пирамиды находится на perpendикуляре, проверенным через середину этой стороны основания, из концов которой исходят эти боковые ребра.
Действительно, пусть SO — высота пирамиды (рис. 2); тогда OA и OB — проекции ребер SA и SB на плоскость основания. Если SA = SB, то (по известному свойству проекции равных налонных)
59
Рис. 7.
лярны, а улы наклона боковых граней ASB и BSC к плоскости основания равны между собой. Определить объем пирамиды, если AB = 15, AC = 13, BC = 14, SB = 10,5.
Так как AS ⊥ BC (рис. 7), то основание O высоты пирамиды SO лежит на высоте AN треугольника ABC (см. утверждение 6). Поскольку грани ASB и BSC одинаково наклоны к плоскости ABC, то, согласно утверждения 3, точка O одновременно лежит на bisсекtrice BK угла ABC.
Следовательно, основанием O высоты пирамиды является точка пересечения высоты AN и bisсекtrices BK треугольника ABC.
Вычислив площад треугольника ABC по формуле Герона: S = 84, легко находим, что
AN = 12, BN = 9.
Используем, далее, свойство bisсекtrices внутри него угла треугольника ABN:
откуда ON = x = 4,5. Из прямогольного треугольника ONB теперь определляем OB, а затем из прямогольного треугольника SOB вычисляем высоту пирамиды: OS = 3.
Следовательно, объем пирамиды V_SABC = 84.
Задча 3. В треугольной пирамиде SABC боковые ребра SB и SC равны между собой, а улы наклона боковых граней ASB и ASC к плоскости основания равны. Определить объем пирамиды, если AB = 15, BC = 14, AC = 13, AS = 18 (рис. 8).
Рис. 8.
Основание O высоты SO будет точкой пересечения перпендикулара, восставленного к стороне BC в ее середине, и bisсекtrices AO угла BAC (см. утверждения 2 и 3). Поскольку AB≠AC, эти прямые пересекаются в единственной точке, являющейся серединой дуги BC окружности, описанной вокруг треугольника BAC. Далее находим: S_△ABC = 84 (по формуле Герона) и R_△ABC = \frac{abc}{4S} = \frac{65}{8}. Отсюда OK = R - \sqrt{R^2 - KC^2} = 4, OC^2 = OK^2 + KC^2 = 65, sin ∠OAC = sin ∠OCK = \frac{OK}{OC} = \frac{4}{\sqrt{65}}, cos ∠OAC = \frac{7}{\sqrt{65}}, и по теореме косинусов из △AOC находим AO: AO = 2\sqrt{65} (легко показать, что надо брать больший корень получащего квадратного уравнения). Телер OS = \sqrt{AS^2 - AO^2} = 8, V_SABC = \frac{1}{3} \cdot 84 \cdot 8 = 224.
Задча 4. В основании пирамиды лежит равноведренный треугольник