Последовательность прыжков

25

Последовательность прыжков

В этой заметке мы решим задачу M190 из «Заданияка Кванта» — задачу о блюхе, прыгающей по двум прямым. Ее можно решать по-разному. Мы сведем эту задачу к таким вопросу: путь задано два или несколько перемещений плоскости, оставляющих данную точку O неподвижной (это могут быть повороты или симметрины); какое преобразование плоскости получится, если последовательно выполнить данные преобразования одно за другим?

Поскольку этот вопрос интересен и сам по себе, а не только в связи с решением задачи про блюху, мы будем иногда отклоняться в сторону и предлагать упражнения, не относится непосредственно к задаче M190.

Вначале напомним формулировку задачи.

На плоскости даны две пересекающие прямы a и b. В точке A₀, находящейся на прямой a на расстоянии меньше 1 от прямой b, сdim блюха. Затем блюха последовательно прыгает в точки B₀, A₁, B₁, A₂, B₂, …, руководствуясь следующими правилами (рис. 1):

1. точки A₀, A₁, A₂, … лежат на прямой a, точки B₀, B₁, B₂, … — на прямой b;

2. A₀B₀ = B₀A₁ = A₁B₁ = =B₁A₂ = A₂B₂ = … = 1;

3. точка Aₙ+1 не совпадает с Aₙ, кроме случая, когда A_rB_n ⊥ a (и аналогично Bₙ+1 совпадает с Bₙ только, если BₙAₙ+1 ⊥ b).

(Условия 1) — 3) последовательность прыжков определяется однозначно.)

Докажите, что если угодли прямые a и b изменяется рациональным числом градусов, то путь блюхи будет перiodически, то есть в некоторый момент она попадет в начальное точку A₀ и затем будет последовательно проходить неже самые точки B₀, A₁, B₁, …, как в начале пути; а если — irrationalным числом, то блюха не попадет ни в какую точку более двух раз.

Конечно, интересно разобраться не только в том, «зациклистя» путь блюхи или нет, но и вообще разобраться, как устроена последовательность точки A₀, B₀, A₁, B₁, …, (1)

например, научиться по номеру n определять положения точки Aₙ и Bₙ. В нашем решении будет получен ответ и на этот вопрос. В дальнейшем вместе с слова «блюха» мы часто будем употреблять слова «точка».

Рис. 1.

26

1. Точка прыгает по двум прямым
   Естественно начать с эксперимента:
   провести две прямые, вооружиться цирклелем (еше удобнее — измеритель) и, взяв какую-то точку $A_0$ в качестве начальной, посмотреть, как выглядит «траектория» бложи. На рисунке 1 построен один такой пример: точки $A_0$, $B_0$, $A_1$, $B_1$, … последовательно соединены красными и головными отрезками (со стрелками), указывающих путь бложи. Можно повторить такой эксперимент, взяв другой угол между прямыми или другую начальную точку. После нескольких пробстановия ясно, что точки $A_n$ (и $B_n$) попадают то по одному, то по другую сторону от точки пересечения $K$ прямых $a$ и $b$. Правда, строой перiodичности тут нет:
   например, на рисунке 1 бложа былает на каждой из лучей с вершиной $K$ иногда подряд два раза, иногда — три. И, конечно, эксперимент не позволяет узнать, попадает ли бложа через несколько шагов в начальную точку $A_0$: ведь построения мы можем выполнять только приближению, так что по чертежу мы никак не сможем уловить разницу между разциональным и irrationalным угг-

Рис. 2.

Рис. 3.

лом. (Сразу ясен лишь случай, когда угол — прямой; рис. 2.)

No загона рисунки могут подсказать более простую закономерность, определяющую путь бложи, чем правило 1) — 3), сформированные в условиях задачи.

2. Направления прыжков
   Послеовательные звены ломаной — траектории бложи — это векторы единичной длины

$\vec{A}_0\vec{B}_0, \vec{B}_0\vec{A}_1, \vec{A}_1\vec{B}_1, \vec{B}_1\vec{A}_2, \dots$ (2)
(KаждыЙ вектор показывает, каков очередной прыжок.)

Заметим, что если мы знаем вектор $\vec{u} = A_n\vec{B}_n$ (пусть он нарисован где-то в стороне, на плоскости), то мы сможем определить, где лежат точки $A_n$ и $B_n$.

Действительно, верна такая Лемма. Пусть $a$ и $b$ — пересекающие прямые. Для любого вектора $\vec{u}$ (на плоскости) найдет две точки $A$ (на прямой $a$) и $B$ (на прямой $b$) также, что вектор $\vec{AB}$ равен данному вектору $\vec{u}$. Точки $A$ и $B$ определяются однозначно.

Доказательство (рис. 3). Если мы хотим, чтобы начало вектора лежало на прямой $a$ и этот вектор равнялся $\vec{u}$, то конец его должен попасть на прямую $a'$, полученную параллельным переносом прямой $a$ на вектор $\vec{u}$ (на рисунке 3 прямая $a'$ проведена пунктиром). Поэтому точка $B$ должна лежать в точке пересечения прямой $b$ с прямой $a'$. После этого легко находится и точка $A$.

У разжене 1. Данны две точки $C$ и $D$ и две прямые $a$ и $b$. Найдите на прямых $a$ и $b$ соответствующего точки $A$ и $B$ также, что們 сегмент отрезков $AC$ и $BD$ совпадает; б) четырехугольник $ABCD$ был трапецией, у которой основание $AB$ вдвое больше основания $CD$.

Возьем на плоскости точку $O$ и будем все векторы последовательности

27

Рис. 4.

(2) откладывать от этой точки. Эти векторы, равные соответствию вектора последовательности (2), обозначим так:

$$\overrightarrow{OC_0}, \overrightarrow{OD_0}, \overrightarrow{OC_1}, \overrightarrow{OD_1}, \dots$$

(3) Из леммы следует, что, зная последовательность (3), мы можем воспользовать последовательность точек (1):

например, зная $\overrightarrow{OC_n}$, можно найти и $A_n$ и $B_n$.

На рисунке 4 изображены «направления пряжков» (3) для последовательности, изображенной на рисунке 1. Заметьте, что красные векторы $\overrightarrow{OC_n}$ (отвечающее пряжкам с прямой $a$ на прямую $b$; $n = 0, 1, 2, \dots$) образуют между собой равные углы. Оказывается, что это — общий факт, справедливый для любой последовательности пряжков. Сформулируем его в виде теоремы.

Теорема. Если уелем между прямыми $a$ и $b$ равен $\gamma$, то уелем между

ду векторами $\overrightarrow{OC_n}$ и $\overrightarrow{OC_{n+1}}$ равен $2\gamma$.

Это — основное сообщение в задаче М190. Теорему можно доказать, пользоваться тем, что любые два соседних звена ломаной в последовательности (2) являются боковым сторонами равнобедренного треугольника, причем основание этого треугольника попеременно лежит то на прямой $a$, то на прямой $b$. Основная трудность доказательства связи с тем, что звены ломаной могут быть по-разному расположены относительно данных прямых. Например, чтобы доказать теорему для $\gamma = 60^\circ$, пришлось бы рассмотреть 10 случайных изображенных на рисунке 5 (остальные положительные из них симметрией относительно точки пересечения прямых $a$ и $b$). Мы поступим иначе: пользоваться понятиями «преобразование» и «произведение преобразования», мы приведем общее доказательство, охватывающее сразу все случаи.

28

3. Точка прыгает по окружности

Сравним еще раз рисунки 1 и 4. Выделим из них фрагменты, состоящие из двух последовательных звеньев (те самые «правобедренные треугольники», о которых шла речь выше; рис. 6, а, б и 7, а, б). Глядя на эти рисунки, легко сформировать простое правило, по которым строится последовательность (3).

Обозначим через $p$ и $q$ прямые, проходящие через точку $O$ и параллельные соответствующего прямым $a$ и $b$; тогда в последовательности (3)

после вектора $OC_n$ идет вектор $OD_n$, симметричный ему относительно прямой $p$; после вектора $OD_n$ идет вектор $OC_{n+1}$, симметричный ему относительно прямой $q$ (здесь $n = 0, 1, 2, \dots$).

У разженние 2. Проверьте, что это правило в точности соответствует правилам 1)—3) в условиям задачи (в том числе в «выражениях» случая).

У разженние 3. а) Докажите, что если последовательность (1) попадет в точку $A_0$ более двух раз, то она будет перiodичкой и при этом неоторая точка $C_n$ совпадает с $C_0$.

6. Приведите пример, когда последовательность попадает в точку $A_0$ дважды: $A_1$ совпадает с $A_0$, но $B_1$ уже не совпадает с $B_0$.

У казан и е. Для точки $A$ на прямой $a$ существует не более двух векторов, начинающихся в $A$, кончающихся на прямой $b$ и имеющих длину 1.

Сформируем теперь еще раз задачу M190 (вернее, ту задачу, к которой она свелась), но будем говорить не о преобразованиях в кто-торов $OC_n$ и $OD_n$, а о преобразованиях их концов — точек, лежащих на единичной окружности.

Пусть $p$ и $q$ — две прямые, проходящие через точку $O$. Обозначим через $S_p$ преобразование симметричного относительного прямой $p$ и через $S_q$ преобразование симметричного относительного прямой $q$. (Мы можем рассматривать эти преобразования, как преобразования всех плоскости на себя; например, $S_p$ каждой точке $X$ плоскости ставит в соответствие точку $S_p(X)$, симметрично точке $X$ относительно прямой $p$. Но в дальнейшем нам потребуется рассматривать точки на единичной окружности с центром $O$. Ясно, что преобразования $S_p$ и $S_q$ отображают единичную окружность на себя.) Пусть $C_0$ — неокоторая точка, нахождения на расстоянии 1 от $O$, и

$$C_0, D_0, C_1, D_1, C_2, D_2, \dots$$

— последовательность, определяемая условиями

$$D_n = S_p(C_n), C_{n+1} = S_q(D_n)$$

(рис. 8). Мы должны доказать, что точка $C_n$ при неокотром $n$ совпадает с $C_0$ в том и только в том случае, если угол $\gamma$ между прямыми $p$ и $q$ выражается рациональным числом градусов.

Итак, задача о прыжках по двум прямым свелась к задаче о прыжках по окружности.

А теорема, которая мы должны доказать в первую очередь, ути-

29

верждает, что $C_n C_{n+1} = 2\gamma$. где $\gamma$ — угол между $p$ и $q$.

4. Произведение преобразования

Наше правило переход (5) еще упрощится, если мы каждые два последовательных прыжка объединим в один: в последовательности

$$C_0, C_1, C_2, \dots$$

(6)

каждая последующая точка получается из предыдущего по такому правилу:

$$C_{n+1} = S_q (S_p (C_n))$$

(7)

то есть надо к $C_n$ применить $S_p$, а затем к полученной точке $-S_q$.

О пределене. Пусть $K$ и $L$ — два преобразования множества $M$ на себя. Произведение преобразования $K$ и $L$ называется такое преобразование $R$, которое точке $X$ из $M$ ставит в соответствие точку $L(K(X))$.

Таким образом, произведение преобразования $K$ и $L$ — это просто результат последовательного выполнения двух преобразований: сначала $K$, а затем $L$. Произведение $R$ обозначает так: $R = L \cdot K$. Запись $K$ и $L$ именно в таком порядке («справа налево») удобна тем, что для любой точки $X$ имеет место равенство:

$$R(X) = L \cdot K(X) = L(K(X))$$

(8)

Мы специально уточнили, в каком порядке записьются «сомножители», потому что для умножения преобразования, вообще говоря, не выполняется равенство $L \cdot K = K \cdot L$ (см. ниже упражнение 4).

Точно так же определяется произведение трех и большого числа преобразования: $R = R_1 \cdot R_2 \cdot R_3$ означает, что нужно сделать сначала $R_3$, затем $R_2$, затем $R_1$. Наконец, запись $R = (R_1)^n$ означает, что $R$ — это результат $n$-кратного применения преобразования $R_1$.

Вернемся к нашим $S_p$ и $S_q$ — преобразованиями симметрины относительно прямых $p$ и $q$. Каково будет их произведение? (Сейчас нам удобнее считать, что $S_p$ и $S_q$ — преобразования в сея плоскости на себя.) Ясно, что точка $O$ остается при преобразования $S_q \circ S_p$ на месте: она переходит в себя и при преобразования $S_p$, и при преобразования $S_q$. Что происходит с остальными точками?

Наглядно это преобразование можно представить себе так. При преобразования $S_p$ всегда плоскость переворочивается вокруг прямой $p$ и накладывается на себя «другой стороной». После второго преобразования $S_q$ — симметричное относительное прямой $q$ — плоскость снова переворочивается на переходю сторону. Ясно, что перемещением плоскости, имеющим неподвижную точку $O$ и не меняющим «ориентации» плоскости (не переворочивающим плоскость на другую сторону), может быть только поворот вокруг точки $O$. Таким образом, $R = S_q \circ S_p$ — это поворот плоскости на некоторый угол вокруг точки $O$. На какой именно угол? Для того чтобы ответить на этот вопрос, достаточно взять одну какую-то точку и посмотреть, что произойдет с ней. Пусть угол от прямой $p$ до прямой $q$ равен $\gamma$ (мы будем отсчитывать углы против часовой стрелки). Возьмем точку $E$ на прямой $p$ (рис. 9) и найдем $R(E)$. Ясно, что $S_p(E) = E$: какая точка прямой $p$ при преобразования $S_p$ переходит в себя. А затем точка $E$ попадает на прямую, симметрично прямой $p$ относительно прямой $q$, то есть поверхности вокруг точки $O$ на угол $2\gamma$. Итак, если угол от $p$ до $q$ равен $\gamma$, то $R = S_q \circ S_p$ — поворот на угол $2\gamma$. Отсюда следует наша основная теорема:

$$\cup C_n C_{n+1} = 2\gamma.$$

30

Рис. 10.

У пряженние 4. Убедитесь в том, что преобразование $S_p \circ S_q$ — поворот на угол $(-2\gamma)$, то есть поворот на $2\gamma$ по часовой стрелке (см. синтегрина на рис. 4). Таким образом, если угол $\gamma$ отличен от нулевого или прямого угла, то $S_p \circ S_q \neq S_q \circ S_p$.

5. Запись поворотов и симметрий окружности

Вычислить произведение преобразованной можно и формально. Для этого нужно ввести координаты. Поскольку нас интересют только перемещения плоскости, имеющие данные точку $O$ неподвижной, мы можем вместе преобразованный плоскости говорить об отображениях единичной окружности с центром $O$ на себя — о поворотах и симметриях.

Координату окружности введем так. Выберем начало отчета $E$ — одну из точек пересечения прямой $p$ с единичной окружностью. Каждый точке $X$ окружности поставим в соответствие величины угла $EOX$, отчитываем от $OE$ против часовой стрелки и измеряемого в градусах (рис. 10); при этом точке $X$ соответствует множество чисел

$$\varphi, \varphi \pm 360^\circ, \varphi \pm 2 \ 360^\circ, \dots$$

— числом, отличающихся на целое кратное $360^\circ$, соответствует одна и та же точке окружности.

У пряженние 5. a) Преобразование $S_p$ — симметрия относительно прямой $p$ — задается формулой $S_p(\varphi) = -\varphi$.

6. Преобразование $R^\alpha$ — поворот на угол $\alpha$ (против часовой стрелки) — задается формулой $R^\alpha(\varphi) = \varphi + \alpha$.

b) Пусть прямая $q$ составляет угол $\gamma$ с прямой $p$. Преобразование $S_q$ мы будем далее обозначать через $S_\gamma$, чтобы явно указать, какой угол сбразует прямая $q$ с «начальной» прямой $p$. (В частиности, вместе $S_p$ мы будем писать $S_0$.) Тогда

$$S_\gamma(\varphi) = 2\gamma - \varphi$$

Замечание. Конечно, $R^\alpha + 360^\circ = R^\alpha$ и $S_\gamma + 180^\circ = S_\gamma$ для любого целого $n$ (угодл, который составляет прямая $q$ с прямой $p$, определялен с точностью до прибавления любого кратного $180^\circ$). Это как раз соответствует тому, что $\varphi$ определялен с точностью до прибавления целого кратного $360^\circ$.

У пряженние 6. a) Докажите, что $R^\gamma S_0 R^{-\gamma} = S_\gamma$. Каков геометрический смысл этого равенства?

6. Докажите, что $S_{\gamma_1} S_{\gamma_2} = R^{2\gamma_1 - 2\gamma_2}$ (отсюда, в частиности, следует, что $S_0 S_\gamma = R^{-2\gamma}$ и $S_\gamma S_0 = R^{2\gamma}$)

b) Проверьте, что $R^\alpha R^\beta = R^\alpha + \beta$

г) Докажите, что $S_\gamma R^\beta = S_\gamma - \frac{\beta}{2}$

d) Чему равно произведение $R^\alpha S_\gamma$?

Решим для примера задачу г). Пусть точке $X$ соответствует число $\varphi$. Тогда точке $S_\gamma^\circ R^\beta(X)$ соответствует число

$$S_\gamma\left(R^\beta(\varphi)\right) = S_\gamma(\varphi + \beta) = 2\gamma - (\varphi + \beta) = 2\left(\gamma - \frac{\beta}{2}\right) - \varphi.$$

позному, как мы знаем (упражнение 5 в)), $S_\gamma^\circ R^\beta = S_\gamma - \frac{\beta}{2}$.

У пряженние 7. Докажите, что a) $(R^\alpha)^n = R^\alpha n$

6. $(S_\gamma)^2 = I$, где $I$ — тожественное преобразование ($I$ оставляет все точки на месте).

6. Окончание решения задачи про блoxy

Итак, мы выясили, что в последовательности (6) точка каждой следующая из предыдущей поворотом на угол $2\gamma$, где $\gamma$ — угол между прямыми $p$ и $q$. Поэтому $C_n$ получается из $C_0$ поворотом на угол $2\gamma n$. Для того чтобы $C_n$ и $C_0$ совпали, необходимо и достаточно, чтобы угол поворота был целым, кратным $360^\circ$. Ясно, что если

$$2\gamma n = 360^\circ k,$$ где $k$ — целое, то $\gamma$ изменяется рациональным числом градусов. Обратно, если $\gamma = \frac{p}{q}$ градусов, то для $n = 180^\circ q$ получим

$$2\gamma n = 360^\circ p,$$ где $p$ — целое, поэтому $C_n = C_0$.

31

Рис. 11.

В заключение еще раз предлагаем вам поправяться в «прыжках, поворотах и симметриях».

7. Неколько упраженный

Хотя большиство вопросов сформировано ниже для конкретных чисел, очень советуем вам попытаться отвести на анализчные вопросы в общем виде (для произвольных значений параметров). Иного эта же даже проще.

8. Пусть угол $\gamma$ между прямыми $a$ и $b$ равен $60^\circ$, а угол отрезка $A_0B_0$ с лучом $KA_0$ — $7^\circ$. Какой угол будет составлять с этим лучом отрезок $A_{100}B_{100}$? Отрезок $B_{100}A_{101}$?

9. Пусть угол $\gamma$ равен одному радиану и $KA_0=1$. Выясните, принадлежит ли точка $A_{1973}$ лучу $KA_0$ или находится на другой половине прямой $a$.

10. Докажите, что период траектории блоки (наименьшее $n>1$, при котором $A_n=A_0$) зависит только от угла $\gamma$, но не зависит от того, из какой точки стартует блока. Чему равен этот период, если $\gamma=72^\circ$? Пробуйте проверить этот факт «экспериментальис».

11. Пусть $\gamma=37^\circ$. Сколько раз подряд точки последовательности $A_0, A_1, A_2$, … будут встречаться на луче $KA_0$ (указите наименьшее и наименьшее значения)?

Если вы захотите решить в общем виде и следующее упражнение — про узоры в круге, — то вам придется, вероятно, воспользоваться той небольшой теорией, которая содержится в упражнениях 6 и 7. Под узором мы понимаем просто неексторое множество точки $M$, выделенное внутри единичного круга: можно считать, что круг белый, а это множество