Кинематика прямолинейного движения материальной точки

57

Кinematika
прямолинейного
движения
материальной точки

Равномерное прямолинейное движение
Равномерным прямолинейным движением называется движение, при котором материалная точка за любые равные промежутки времени совершена одинаковые перемещения. Уравнение такого движения в векторной форме записывается так:
$$S = vt$$
где $S$ — перемещение, $v$ — скорость движения, $t$ — время.

Движение материалной точки всегда рассматривается относительно какого-либо тела, которое в данной задаче принимается за неподвижное и называется телом отчета. С ним связьется система координат; вместе с телом отчета они образуют систему отчета. Для прямолинейного движения достаточно выбрать одну ось координат, например $OX$. Тогда положение точки будет определяться его координатой $x$. Уравнение равномерного движения в скалярной форме будет выглядеть так:
$$x = x_0 + vt$$
где $x_0$ — координата точки в момент времени $t = 0$.

Правильный выбор системы отчета часто существует облегчает решение задачи. Рассмотрим несколько конкретных задач.

Задача 1. Пассажир, сидящий у окна поезда, induce его скорость $v_1 = 72$ km/ч, видим стречный поезд, induce его скорость $v_2 = 31,4$ km/ч, в течение 10 секунд. Определить длину стречного поезда, а ось координат направим по направлению скорости встречного поезда. Величины скоростей $v_1$ и $v_2$ заданы относительно некоторой неподвижной системы отчета, например земли. По отношению же к пассажиру, движущемуся со скоростью $v_1$, встретный поезд имеет так называемую относительно скорость $v_2$, которая равна
$$v_2 = v_2 - v_1$$
или в скалярной форме
$$v_2 = v_2 - (-v_1) = v_2 + v_1.$$
Тогда искомая длина встречного поезда
$$l = v_2t = (v_1 + v_2)t = 290\text{ м.}$$

Задача 2. Рыбак плавет на лодке вверх по реке; проезжая под мостом, он уронил в воду соломенную шляпу. Через полца он это обнаружил и, повернув назад, дознал шляпу в 5 км ниже моста. Какова скорость мечения реки, если рыбак, движясь вниз по реке, греб одинаково?

Свяжем системы отчета с водой в реке, то есть со шляпой. Рыбак удаляется от шляпы и приближается к ней с одной и той же скоростью, следовательно, он доходит ее через полца после того, как обнаружил потерю, или через час после падения шляпы в воду. За это время шляпа относительно земли пролыла 5 км. Значит, скорость мечения реки равна 5 км/ч.

Равнопеременное прямолинейное движение
Если скорость материалной точки не постоянна, но в любые равные про-

58

межутки времени она изменяется на одну и ту же величины, то в этом случае говорят о равноременном движении. Движение называют равноускоренным, если скорость увеличивается, и равнозамедленным, если скорость уменьшается.

Для решения задач на эту тему достаточно знать уравнения для скорости и перемещения. В скалярной форме они записьются так:

$$v = v_0 + at,$$
$$x = x_0 + v_0 t + \frac{at^2}{2}.$$

Здесь $v_0$ — начальная скорость точки, $x_0$ — начальная координата, $a$ — ускорение, $v$ и $x$ — соответствующее скорость и координата точки в момент времени $t$. Величины $v_0$, $a$, $v$ и $x$ будем считать положительными, когда их направление совпадает с положительным направлением выбранной оси координат $OX$, отрицательными — в противном случае.

Начинать решение задачи полезно с краткой записи ее условия, по возможности полностью переводя задачу на язык условий обозначений. При этом надо следить за тем, чтобы единицы измерения всех величины были даны в одной и той же системе единиц. Все расчеты лучше проводить в общем виде, то есть в буквенных обозначениях, а численные значения подставлять в окончательный результат.

Решим следующее задачи.

Задача 3. Два величины единства дружества настрему: один из них, имея скорость 5,4 км/ч, спускается с горы сускорением 0,2 м/c²; другой, имея скорость 18 км/ч, поднимается в гору сускорением — 20 см/c². Через сколько времени они встречятся?

Пусть начало координат совпадает с начальным положением первого величины, а положительное направление оси координат — с направлением его начальной скорости. Тогда краткая запись условия будет выглядеть так:

$$v_{01} = 5,4 \text{ km/ч} = 1,5 \text{ м/c}$$
$$v_{02} = -18 \text{ km/ч} = -5 \text{ м/c}$$
$$a_1 = 0,2 \text{ m/c}^2$$

$$a_2 = 20 \text{ cm/c}^2 = 0,20 \text{ m/c}^2$$
$$x_{02} = 195 \text{ m}$$
$$t = ?$$

Запишем уравнение движения для каждой величины:

$$x_1 = v_{01} t + \frac{a_1 t^2}{2},$$
$$x_2 = x_{02} + v_{02} t + \frac{a_2 t^2}{2},$$
$$x_1 = x_2.$$

причем $a_1 = a_2$ по условию. В момент встречи

$$t = \frac{x_{02}}{v_{01} - v_{02}} = 30c.$$

На этом можно было бы закончить решение, но в данном случае следует убедиться в том, что полученный ответ имеет физический смысл. Для этого найдем скорость второго величины через 30 с после начала движения:

$$v_2 = v_{02} + a_2 t = -5 \text{ m/c} + 0,2 \text{ m/c}^2 \cdot 30 \text{ c} = 1 \text{ m/c}.$$

Оказывается, что второй велинистrict к этому времени будет сказаться с горы, а не поднимается в гору. Очевидно, что данная задача составлена неокончательным результатом.

Задача 4. Азросматnodимается с земли вертикально вускорением 2,45 м/c². Через 8 секунд он начала движения из его кондольы выпадает предмет. Через сколько времени и с какой скоростью этом предмет уnadем на землю? Сопротивлением воздуха претенбрь.

Так как сначала предмет движется вместе с азростатом, то через $t_1 = 8 \text{ c}$ он поднимается на некоторую высоту $h_1$ и будет уnadем скорость $v_1$, причем

$$h_1 = \frac{at_1^2}{2} \text{ и } v_1 = at_1.$$

Дальнейшее движение предмета можно описать по-разному.

Часто задачи такого типа решаются в два этапа. Сначала рассматривается замененное движение пред-

59

мета вверх до наиболее высокоты, затем — свободное padение на землю.

Задча, однako, решается проще, если считать, что предмет одновременно участвует в двух независимых друг от друга движениях: он равномерно со скоростью $v_1$ поднимается в свободно падает. Свяжем систему отсчета с землей, а ось координат направим вверх. Тогда уравнение движения предмета с высоты $h_1$ до земли запишется так:

$$0 = h_1 + v_1 t_2 - \frac{gt^2}{2}$$

($t_2$ — время движения предмета). Подставляя в это уравнение выражения для $h_1$ и $v_1$, получим

$$\frac{gt^2}{2} - at_1 t_2 - \frac{at^2}{2} = 0,$$

откуда $t_2 \approx 6,5$ с.

Задча 5. Тело брощено вертикально вверх с некоторой начальной скоростью. Когда оно достигаю высоту $H = 100$ м от земли, из этого же начального пункта и с этой же начальной скоростью брощено вгорое тело. На какой высоте они встречаются? Какие они будут иметь скорости в момент встречи? С какой начальной скоростью были брощены тела? Сопротивлением воздуха претенбреть.

Рассмотрим сначала неокторые особенности движения тела, брощенного вертикально вверх. Это сложное движение является суммой двух простых — равномерного движения и свободного padения. Причем каждое движение проискодит независимо от другого и от того, поднимается или опускается тело. Поэтому можно сказать, что время прохождения телом одного и того же участка пути вверх и вниз одно и то же и что скорости тела на неокторой высоте при движении вверх или вниз одинаковы по величины.

Покажем, например, что время подема тела до максимальной высоты равно времени padения до начального положения и что конечная скорость по величине равна началь-

60

составляет половину времен свободного padения первого тела с высоты $H$ до земли, то есть

$$\frac{H - h}{H} = \frac{gt^2}{g(2t)^2} = \frac{1}{4},$$

откуда

$$h = \frac{3}{4} H = 75 \text{ m}.$$

Скорости тел в момент встречи одинаковы по величины и равны

$$v = \sqrt{2g(H - h)} \approx 22.5 \text{ m/c}.$$

Начальная скорость $v_0 = \sqrt{2gH} \approx 44 \text{ m/c}$.

В заключение рассмотрим задачу на построение графиков.

Задача 6. Дан график зависимости скорости движения тела от времени (рис. 2, а). Построить графики ускорения, перемещения и пути.

Прежде всего, посмотрим, как движется тело в различных моменты времени. Из графика скорости видно, что на первом этапе (от 0 до $t_1$) тело движется равноускорению; на втором (от $t_1$ до $t_2$) — равнозамедленно; на третьем (от $t_2$ до $t_3$) — равноускорению, но в обратном направлении; на четвертой том (от $t_3$ до $t_4$) — равнозамедленно; на пятом (от $t_4$ до $t_5$) — равноускорению в первоначальном направлении и т. д. Графики зависимости ускорения, перемещения и пути от времени показаны на рисунках 2, 6, 8 и 9 соответственно.

У практия

1. По двум параллельным пути в одном направлении идут два поезда: пассажирский — длиной 200 м со скоростью 72 км/ч и товарный — длиной 400 м со скоростью 45 км/ч. Сколько времени пассажирский поседет обгорать товарный?

2. Замыкающий колонный войск, растуншейся на 2,5 км и душей со скоростью 5 км/ч, послал мотоциклиста с известением командиру, находящемуся во главе колонны. Командир принимает извещение и писал ответ, стоя на обочине дороги, в течение трех минут. Определить среднюю скорость мотоциклиста, если он вернулся к замыкающему через 9 минут 27 с.

3. Два величиныедут настречу друг другу: один из них, имея скорость 7,2 км/ч, спускается с горы с ускорением 0,30 м/c²; другой, имея скорость 36 км/ч, поднимается с ускорением —0,20 м/c². Каково было расстояние между велиспределами в начальной моменте, если они встретились через 0,5 минуты? При какой наиболее длинне горы задача имеет решение?

4. С некоторой высоты падает тело. Через 2 с той же высоты падает второе тело. Через сколько секунд после начала padения первого тела удвоится расстояние, разделяющее тела до начала padения второго тела? Сопротивлением воздуха пренебречь.

5. Вертолет поднимается в скорость 10 м/c. На высоте 100 м из него выбрасывается вверх предмет со скоростью 2 м/c относительно вертолета. Найти наиболее высокую высоту, которое достигает предмет, а также через сколько времени и с какой скоростью предмет упадет на землю.

6. Тело бросают вверх со скоростью 20 м/c. Какова высота точки, которую тело проходит дважды с промежутком 3 с? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Рис. 3.

7. Дан график зависимости ускорения от времени (рис. 3). Построить графики зависимости величины перемещения от скорости.