Сколько треугольников?

8

записать и в виде 0,34999… Других возможностей разного представления числа в виде бесконечных десятичных дробей нет. Условимся (для определения), что, если возможны две записи числа, мы будем выбирать ту из них, которая оказывается девятками.

Предположим теперь, что удалось установить взаимно однозначное соответствие между всеми действительными числами, лежащими между 0 и 1 и всеми натуральными числами, так что мы можем выписать все эти действительные числа в бесконечную последовательность

$$1 \leftrightarrow 0, a_1^1 a_2^1 a_3^1 \dots$$
$$2 \leftrightarrow 0, a_1^2 a_2^2 a_3^2 \dots$$
$$\dots$$
$$p \leftrightarrow 0, a_1^p a_2^p a_3^p \dots$$

Покажем, что такая последовательность не может содержать всех действительных чисел. Для этого построим такое число $b = 0, b_1, b_2, \dots$, что $b_i \neq a_i^i$ для всех $i$. Мы определим это число так:

$$b_i = 5, \text{ если } a_i^i \neq 5,$$
$$b_i = 9, \text{ если } a_i^i = 5.$$

Число $b$ не может встретиться в выписанной выше последовательности. Ведь в противном случае оно должно быть записать некоторое (скажем, $n$-е) место. Но от $n$-го числа число $b$ отличается по построению в $n$-м разряде. Итак, предполагаемый пересечет всех действительных чисел невозможен, и, следовательно, множество $N$ и множество действительных чисел $R$ неравномощны.

Так впервые было доказано, что и среди бесконечных множества имеются неравномощные.

Вскоре Кантором было установлено, что можно указать сколь годно много попарно неэквивалентных бесконечных множества, так что сама совокупность бесконечных кардиальных чисел оказывается неограниченной, и в 70—80-х годах прошло столета — в основном Кантором — была построена новая математическая наука — теория множества.