Сила Кориолиса

Квант 1975, №4 с. 2, 4, 5, 6, 7, 8 Тег ZSAK

Знаете ли вы?
Какую кrivую вычерчивает на плоскости магниток Фуко? В какую сторону отклоняется брошенный с поверхности Земли вертикально вверх камень?
Может ли снаряд лететь строго по меридиану?
Может ли вы ответить на эти вопросы? У всех этих задач есть общая черта: их все удобнее решать в неинерциальных системах отчета *), точнее, в системах отчета, врашашихся с постояной угловой скоростью. Можно, конечно, рассматривать все явления в какой-то инерциальной системе, такой, например, как система далекой звезды или даже Солнца (неравномерностью движения которого относительно далекой звезды можно пренебречь). Хотя такой путь совершенно правильный и, следуя ему, мы не покинем твердой почвы законов Ньютона, тем не менее, часто бывают удобнее (и даже нагляднее) рассматривать явление с точки зрения наблюдается, находящаяся во врашашейся системе отчета.

Ненерциальные системы отчета
Одно и то же движение выглядит по-разному, если не наблюдается разных систем отчета. Посмотрим,

*) О неинерциальных системах отчета было расссказано в статье Я. А. Смородинского «Силы инерции», «Квант», 1974, № 8.

например, на движение снаряда, который был выпущен из пушки, стояшей на северном полюсе. Если бы Земля не врашалась вокруг своей оси, то траектория снаряда лежала бы в плоскости меридиана. Такую картину видели бы как наблюдается, находящаяся на Земле, так и наблюдается, неподвижно закрепленный вне Земли.

Одноко Земля вращается! С точки зрения неподвижного наблюдаателя (находящого свежеости Земли) Земля вращается против часовой стрелки (если смотреть сверху на ее северный полюс), поэтому плоскость фиксированного меридиана поворачивается вместе с Землей с запада на восток, а плоскость движения снаряда в пространстве отчается неизменной.

Наблюдается на Земле (подвижный наблюдаемый), видит неподвижную плоскость меридиана и летящий снаряд, который отклоняется от этой плоскости на запад. С любой точки зрения плоскость движения снаряда не совпадает с плоскостью начального меридиана, только один наблюдается приписывается это несовпадение движению Земли, а другой — движению самого снаряда.

Земной наблюдается (например, артиллерист) знает, конечно, что причиной «отклонения» на самом деле является вращение Земли. Одноко для практических вычислений часто бывает удобнее считать, что боковое отклонение снаряда вызвано некоторой силой, которая действует только

стены комнаты не разделяются от вас под действием центробежной силы инерции?

Ответ может быть только такой, что во врашащейся системе отчета существует другая сила, которая не только компенсирует центробежную силу инерции, направленную наружу, но и сообщает телу центростремительное ускорение, направленное к оси врашения. Такую роль и выполняет сила Корилиса:

$F_K + F_{и.ц} = -m\omega^2 r.$

Отсюда мы можем вычислить силу Корилиса; она должна быть равна в этом случае

$F_K = -2F_{и.ц},$

то есть

$F_K = -2m\omega^2 r.$

Исключим $r$ из выражения для величины силы Корилиса. Линейная скорость точки, находящаяся на расстоянии $r$ от оси врашения, равна $\omega r$ , а потому можно написать, что

$F_K = -2m\omega v_{кас}$

(знак минус по-прежнему означает, что сила Корилиса в нашем случае направлена к оси врашения).

Таким образом, действие силы $F_K$ во врашащейся системе приводит к тому, что, сидя на врашащемся стиле, вы видите комнату хотя и врашащейся вокруг вас, но такой же целой, как ее видит неподвижный наблюдается.

Шарик на врашащемся диске

Пусть в центре диска находится шарик, который может скольнить по диску абсолотно без трения. В некоторых момент времени шарик создается скорость $v_{рад}$ , направленая вдоль одного из радиусов. Как будут описывать характер движения шарика два наблюдается — неподвижный и подвижный, врашащийся на диске?

Очевидно, что для неподвижного наблюдается шарик на диске движения с постоянной скоростью $v_{рад}$ по прямой линии. Расстояние, которое

Рис. 1.

проходит шарик по диску от его центра к моменту времени $t$ , равно $v_{рад}t$ .

След, который оставляет шарик на врашащемся диске, представляет траекторию шарика с точки зрения подвижного наблюдается, находящемся на диске. Для этого наблюдается шарик движется не прямолинейно, а описывает некоторую кривую линию (см. рис. 1). Но это означает, что шарик движется с ускорением. Следовательно, во врашащейся системе появляется сила, которая и сообщает это ускорение. Определим, чем равна эта сила в самом начале движения шарика.

За малый промежуток времени $\Delta t$ от начала движения шарик, перемещаясь вдоль красной линии (см. рис. 1), удаляется от центра диска на расстояние $\Delta l = v_{рад}\Delta t$ . За это же время диск поворачивается на угол $\Delta \varphi = \omega \Delta t$ (ω — угловая скорость врашшения диска). Та точка диска, которая оказывается под шариком на расстоянии $\Delta l$ от центра диска, за время $\Delta t$ прошла расстояние $\Delta s = \Delta l\Delta \varphi = v_{рад}\omega \Delta t^2$ . Конечно, все точки врашащейся диска движутся по окружности, но мы рассматриваем столбитель промежуток времени $\Delta t$ , что можно считать движения точек, близких к центру диска, прямолинейным. Тогда $\Delta s$ есть перемещение точки, которая в начальной момент времени находится на расстоянии $\Delta l$ от центра, в направлении, перпендикулярном красной линии. Для наблюдается, находящемся на

диске, шарик за время $\Delta t$ перемещается в противоположном направлении на то же самое расстояние $\Delta s = v_{\text{pad}} \omega \Delta t^2$ и при этом перемещается равномерно вдоль радиуса. Сравнив выражение для $\Delta s$ с формулой для пути при равномерно движении — $s = \frac{a t^2}{2}$ , мы заменаем, что в нашем примере для подвижного наблюдая в течение промежутка времени $\Delta t$ движение шарика в направлении, перпендикулярном вектору скорости $v_{\text{pad}}$ , будет равноускоренным сускорением $a = 2 v_{\text{pad}} \omega$ .

Следовательно, во врашающейся системе именно в этом направлении и действует на шарик массы $m$ сила $F_K = 2 m v_{\text{pad}} \omega$ .

Это опять сила Корполиса, но теперь она направлена perpendicularно радиусу.

Конец вывода формулы

Мы рассмотрели два случая движения тела относительно врашающейся системы отчета. В первом примере (врашающаяся) комната) тело движалось в нейнерциальной системе по окружности, в любой момент скорость тела была направлена по касательной к этой окружности. Как мы видели, при этом на тело действует сила Корполиса, которая направлена вдоль радиуса окружности, то есть perpendicularно вектору скорости.

Во втором примере (шарик на диске) мы показали, что если в некоторый момент времени скорость тела направлена вдоль радиуса, то в этот момент на тело действует сила Корполиса, направления perpendicularно вектору скорости тела. Абсолютная величины сила Корполиса в обихах случайных прямо пропорциональна произведению $v \omega$ , где $v$ — абсолютная величины скорости тела относительно врашающейся системы в данной момент времени, а $\omega$ — величины угловой скорости врашающейся системы относительно итерационных инерциальной.

А какова будет сила Корполиса, действующая на тело, мгновенная скорость которого во врашающейся системе отчета направлена произвольным образом? Нетрудно показать, что величины сила Корполиса и в этом обшем случае будет пропорциональна произведению $|v|$ на величины угловой скорости системы (для этого надо только разложить вектор скорости на две компоненты, одну из которых направить вдоль радиуса, а другую — perpendicularно к нему по касательной).

Теперь надо еще определить направление сила Корполиса. Для этого, прежде всего, заметим, что угловую скорость можно задать в виде вектора. Вектор $\omega$ параллелен оси врашения. направление этого вектора связьается с направлением врашения системы с помощью правила буравчика (или винта): если врашать рукой буравчика так, как врашается система, то поступательное движение буравчика указывает направление вектора угловой скорости. Можно пользоваться и другим правилом — правлом правой руки: если согласить четырьмя правой руки по направлению врашения системы, то отогнутый большой палц указывает направление вектора $\omega$ (см. рисунок 2).

Если в нашем примере система отчета врашалась против часов стрелки, то векторы $\omega$ , $v$ и $F_K$ расположались так, как показано на рисунке 3. Во втором примере эти

Рис. 3.

веktorы располагались так, как на рисунке 4. Из этих рисунков видно, что сила Королиса в обих случаях перпендикулярна к плоскости, в которой лежат векторы $\omega$ и $v$ . Говорят, что векторы $F_K$ , $v$ и $\omega$ (именно в этой последовательности) образуют правую систему векторов (правая рука поэтому и изображена на рисунке 2).

Векторное произведение

Мы видим, что сила Королиса зависит от двух векторных величины — от скорости $v$ движения материальной точки относительной вразашошейся системы координат и от угловой скорости $\omega$ самой системы отчета. Величина этой силы пропорциональна произведение величины скорости точки и угловой скорости системы, а ее направление однозначно определяется направлением векторов $v$ и $\omega$ .

Формулу для королисовой силы в современных книжках пишут так:

$F_K = 2 m v \times \omega,$

где $X$ — знак так называемого векторного произведения двух векторов.

Векторным произведением двух перпендикулярных друг к другу векторов $A$ и $B$ называется третий вектор $C$ , который строится следующим образом (рис. 5). Его величины численно равна площади прямоугольника, построенного на векторах $A$ и $B$ , то есть $|C| = |A| \cdot |B|$ . направление вектора $C$ перпендикулярно к плоскости указанного прямого/libника и выбирается таким, чтобы векторы $A$ , $B$ и $C$ (в этом порядке) составляли правую систему векторов. По-другому, направление вектора $C$ можно определить по правилу буравчика (или правой руки): если поворачивать вектор $A$ к вектору $B$ и связать с этим врашением врашение рукой буравчика (или направление, в котором

лей даже сейчас, а раньше на него смотрел как на чудо. Сейчас мы его очень легко можем обьясить. Пусть, для простоты расчудений, матник подвешен на полюсе. С точки зрения неподвижного наблюдаателя, находящегося в инерционной системе отчета, плоскость колбаний матника, конечно, неподвижна, а Земля врашается против часовой стрелки. По той же причине след движения шарика на горизонтальной плоскости был не прямой линий, а сложной кривой (рис. 6).

Земной наблюдаатель, связанный с врашошейся системой отчета, объясит поворот плоскости колбаний действием на шарик силы Корполиса. При небольших отклонениях матника от положения равновесия можно считать, что скорость шарика в любой момент перепendlкулярна к угловой скорости $\omega_3$ врашення Земли, поэтому корполисова сила всегда лежит в горизонтальной плоскости и направлена перепendlкулярно к скорости шарика вправо, если смотреть по направлению движения шарика. Эта сила и вызывает поворот плоскости колбаний матника, причем угловая скорость поворота $\omega$ как раз равна угловой скорости врашення Земли.

Нетрудно показать, что если матник подвешен в месте, широта которого равна $\varphi$ , то угловая скорость будет равна $\omega_3$ sin $\varphi$ , обращаясь в ноль на экваторе. Для этого достаточно найти проекцию $\omega_3$ на нормаль к плоскости горизонтта (проведите доказательство до конца).

Картина качания матника содержит интересные детали. Если мы попытаемся понять, какую же линю вычерчивает матник Фуко на плоскости, то обнаружим, что форма траектории зависит от того, как матник начал качаться.

Если матник начал движение из положения покоя (вертикального положения на полюсе), то и при движении он всегда будет проходить через полоси и будет рисовать на плоскости кривую типа изобравенной на рисунке 6, $a$ .

Если в начальной момент матник был максимально отклонен, то для инерционного наблюдаателя он имел в этот момент от нуля угловую скорость, и значит, для такого наблюдаателя матник качается не в одной плоскости, а выписывается на плоскости, перпендикулярной к плоскости колбаний, эллипс. Наблюдаемый на Земле будет видеть траекторию, которое можно описать как поворачивающийся эллипс (рис. 6, 6). Traектория теперь уже не проходит через полоси.

Отклонение padaoших тел

Когда в школе начинают изучатьравноскореенное движение, то обязательно решают задачу о разделении материального точки с некоторым высоты $H$ . Решение этой задачи простое. Если точка вначале покопалась, то зависит путем пути $h$ , пройденного точки, от времени выражается формулой $h = \frac{1}{2} gt^2$ (г — ускорение силы тяжести). Скорость у поверхности Земли равна $v_0 = \sqrt{2gH}$ .

Если точка движется, направив, вертикально вверх и имеет вначале

(на поверхности Земли) скорость $v_0$ , то время ее полета вверх будет равно $t=\sqrt{2H/g}$ , то есть времени падения тела в первой задаче.

При этом, однако, предполагается, что точка все время движется по прямой. Как вы теперь понимаете, такое предположение можно делать только, если не учитывать вращение Земли.

В действительности, с точки зрения наблюдателя в инерциальной системе отсчета тело, брошенное с высоты $H$ , имеет горизонтальную скорость $\omega_3(H+R)\cos\varphi$ , где $R$ — радиус Земли, $\omega_3$ — ее угловая скорость, $\varphi$ — широта места. Падая, тело сохраняет эту скорость и в своем горизонтальном движении будет опережать покоящиеся (относительно Земли) точки (например, окна в доме, если тело падает с крыши) на высотах $h<H$ , поскольку эти точки движутся с меньшей скоростью $\omega_3(h+R)\cos\varphi$ .

Попробуем сосчитать, на сколько падающее с высоты $H$ тело отклонится от вертикали к востоку (Земля вращается с запада на восток, а тело обгоняет Землю). Эту задачу проще решить в системе отсчета, связанной с Землей, использовав выражение для силы Кориолиса *).

Итак, пусть тело падает с высоты $H$ , где оно находилось в момент времени $t=0$ . Тело будет двигаться равноускоренно, и его вертикальная компонента скорости с течением времени будет изменяться по закону

$v=gt.$

Для земного наблюдателя на тело будет действовать горизонтальная составляющая силы Кориолиса, которая будет увеличивать горизонтальную компоненту количества движения тела, отклоняя его к востоку. Запишем уравнение для этого движения:

$ma=2m\omega_3 v\cos\varphi,$

или, учтя зависимость скорости от времени,

$a=2\omega_3\cos\varphi\, gt=At,$

где $A=2\omega_3 g\cos\varphi$ — постоянная величина.

С таким уравнением вы в школе не встречались. Если бы $a$ было постоянным, то движение было бы равноускоренным, но у нас ускорение растет линейно со временем. Как в этом случае выражается зависимость пути от времени? Такая задача легко решается, если уметь дифференциро-

*) Ее, конечно, можно решать и в инерциальной системе. Попробуйте это сделать.

вать. Мы попытаемся угадать (а потом проверить) ответ.

Сначала найдем выражение для скорости. В равноускоренном движении $v=v_0+at$ и $a=\mathrm{const}$ . Так как теперь $a$ линейно зависит от времени, то разумно положить, что скорость от времени зависит квадратично:

$v=v_0+\alpha t+\beta t^2.$

Сосчитаем ускорение. Для этого найдем скорость в соседний момент времени $t+\Delta t$ $(\Delta t \ll t)$ :

$v=v_0+\alpha(t+\Delta t)+\beta(t+\Delta t)^2.$

Вычитая из этого равенства предыдущее и отбрасывая член с $(\Delta t)^2$ ввиду его малости по сравнению с остальными членами, получим

$a=\frac{v_{t+\Delta t}-v_t}{\Delta t}=\alpha+2\beta t.$

Теперь мы видим, что если $a=At$ , то $\alpha=0$ , $\beta=\dfrac{A}{2}$ . Тогда (положив еще, что $v=0$ при $t=0$ , откуда $v_0=0$ )

$v=\frac{At^2}{2}.$

Теперь мы можем найти и путь $s$ . Предположим, что

$s=s_0+\alpha_1 t+\beta_1 t^2+\gamma t^3.$

Это выражение отличается на один лишний член $\gamma t^3$ от формулы для равноускоренного движения. Запишем пройденный путь к моменту времени $t+\Delta t$ и составим, как и раньше, отношение

$v=\frac{s_{t+\Delta t}-s_t}{\Delta t}=\alpha_1+2\beta_1 t+3\gamma t^2$

(здесь мы отбросили члены с $(\Delta t)^2$ и $(\Delta t)^3$ ). Сравнивая с предыдущим выражением для скорости и полагая еще $s_0=0$ , найдем, что

$\alpha_1=0,\ \beta_1=0,\ \gamma=\frac{1}{6}A$

$s=\frac{At^3}{6}.$

Возвращаясь теперь к нашей задаче, мы можем выразить время $t$ через конечную скорость $v_0$ из закона для вертикальной скорости: $t=\dfrac{v_0}{g}$ . Так как $A=2\omega_3 g\cos\varphi$ , то смещение падающего тела на восток оказывается равным

$s=\frac{1}{3}\frac{\omega_3\cos\varphi}{g^2}v_0^3.$

Подставьте сами сюда соответствующие числа и вычислите $s$ , если тело падает, например, с высоты 1 $км$ . Несколько длиннее выглядят вычисления для тела, брошенного вверх с поверхности Земли. Это упражнение можете сделать сами.