Квадратичный треугольник и непрерывные цепочки

21

Квадратный треугольник и непрерывные цепочки

А. П. Винчиенко

Вероятно, неокоторые читатели ссылали о спирали Улама (о ней рассказывается, например, в книге М. Гарднера «Matematические доступи»). Если же кто-то ничего не знает об этой спирали — не беда; вот включае ее история. Однажды американский математик Станислав Улам, присутствует на каком-то неинтересном заседании, написовал от скуки на листке клетчатой бумаги спираль, пропуемеровал клетки этой спирали и обвел кружочками простые числа *). У Улама получилась картина, изображенная на рисунке 1: простые числа в его спирали как бы выступали по диагоналям. Сейчас мы расскажем об ином порядке записи натурального ряда, при котором простые числа все равно размешаются как бы по диагоналям.

*) Натуральное число (не равное 1) называется простым, если оно делится только на себя и единицу.

Составим «квадратный треугольник»: напишем в первой строке только одно число — 1, во второй — числа от 2 до 4, в третьей — числа от 5 до 9 и так далее, объявая строку всякий раз, как только получится квадрат какого-то натурального числа (см. рис. 2). Таким образом, первая строка у нас кончается $1^2$, вторая — $2^2$, третья — $3^2$ и так далее (отсюда и название образующейся фигуры — «квадратный треугольник»; доказите, что каждая строка квадратного треугольника длине предыдущегоровно на 2 клеточки).

Давайте теперь и мы обведем простые числа кружочками — так, как это сделано на рисунке 3.

Замечайте ли вы, что и здесь простые числа «выстраиваются» вдоль диагоналей (подумайте, кстати, почему они оказываются не на всех диагоналях, а только через одну — ис-

Рис. 1. Рис. 2.

22

Рис. 3.

23

ключение составляет лишь число 2)? Но помимо этого на нашей картине получились «непрерывные цепочки», тянущесая от «гипотенузы» «треугольника» до его «катета» — на рисунке 3 таких цепочки шесть. Выпишем простые числа, стоящие вдоль этих цепочки:

2
3, 5
7, 11, 17
23, 31, 41, 53, 67, 83, 101
47, 59, 73, 89, …, 227, 257
223, 251, 281, 313, …, 1523, 1601

Оказывается, все эти числа подчиняются одному и тому же закону:

1-я цепочка — это значение многочлена $x^2 + x + 2$ при $x = 0$ (при $x = 1$ получаем $2^2$),
2-я цепочка — это значения многочлена $x^2 + x + 3$ при $x = 0,1$ (при $x = 2$ получаем $3^2$),
3-я цепочка — это значения многочлена $x^2 + x + 5$ при $x = 1,2,3$ (при $x = 4$ получаем $5^2$),
4-я цепочка — это значения многочлена $x^2 + x + 11$ при $x = 3,4,5,...,8,9$ (при $x = 10$ получаем $11^2$),
5-я цепочка — это значения многочлена $x^2 + x + 17$ при $x = 5,6,...,14,15$ (при $x = 16$ получаем $17^2$),
6-я цепочка — это значения многочлена $x^2 + x + 41$ при $x = 13,14,...,38,39$ (при $x = 40$ получаем $41^2$).

Многочлены вида $x^2 + x + k$ были известны еще Эйлеру; формула $x^2 + x + k$ для $k = 2, 3, 5, 11, 17, 41$ дает простые числа при всех $x = 0, 1,...,(k-1),(k-2)$.

Таким образом, наши непрерывные цепочки — это «хвосты» значений многочленов $x^2 + x + k$, где $k = 2, 3, 5, 11, 17, 41$. Существуют ли более длинные непрерывные цепочки? Пока это неизвестно.

Вернемся к нашему квадратному треугольнику — перенесем на него «решemo Эрамосфена» (см. «Квант» № 1 за 1974 год): возьмем какое-нибудь натуральное число и зачеркнем все числа, делящесся на него. Мы получим какой-то узор; например, для числа 2 — это «шахматный» узор (рис. 4). Для тройки узор получается уже последнее (см. рис. 5). Однако в этих значениях есть закономерность. Так, если сделать из картона квадрат со стороны 2 и вырезать из него два квадратка, помещенных на рисунке 6 крестиками, то с помощью такого штампа можно вычернуть из квадратного треугольника все числа, делящесся на 2.

Действительно:

1. приложим штамп так, чтобы над ним виделась только единичка;
2. зачеркнем числа в ответиях;
3. передвinem штампик вниз, вправо или влево на две клеточки;
4. опять зачеркнем числа в ответиях и так далее.