Использование неравенства Коши при решении задач

37

Использование неравенства Коши при решении задач
С. Т. Берколайко

В школьном курсе математики свойством элементных неравенств и методам их доказательства отводится значительное место. Однако на вступительных экземплярах вузы много абитуренты с трудом применяют неравенства при исследовании элементных функций и решении задач на максимум и минимум (преимущественно геометрического и физического содержания). Между тем, для решения подобных задач достаточно знать и, главное, уметь применять сравнительное исследование.

К числу таких неравенств относится, прежде всего, неравенство Коши: среднее арифметическое двух положимых чисел a и b не меньше их среднего геометрического:

$$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}.$$

(1)

Наряду с неравенством Коши абитурентам полезно знать некоторые следствия из него, а именно:

$$a+b \geq 2\sqrt{ab},$$
$$a^2+b^2 \geq 2ab,$$
$$ab \leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2,$$
$$ab \leq \frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)$$

(выведите их самостояльно).

Как известно, в неравенстве (1) равенство достигается лишь при a=b. Следовательно, и неравенства (2)—(5) переходит в равенства лишь при a=b.

Неравенства (1)—(5) эквивалентны друг другу (при a>0, b>0), любое из них можно применять при решении задач, и, как показывает практика вступительных экземпляров, решение конкретных задач на максимум и минимум легко находится именно с помощью этих неравенств. Расмотрим ряд примеров.

Задание 1. Наименование значения произведения двух переменных, сумма которых построена.

Этот вопрос решает неравенство (4), утверждающее, что произведение двух положительных чисел не больше квадрата их среднего арифметического. Действительно, если a и b — две переменные, a+b=M, где M — некоторая постоянная, то при a≠b согласно (4) ab < $\left(\frac{M}{2}\right)^2$, а при a=b неравенство (4) переходит в равенство ab = $\left(\frac{M}{2}\right)^2$.

Следовательно, при a=b произведение ab достигает наиболее значения, равного $\left(\frac{M}{2}\right)^2$.

Аналогично, если требуется найти наиболее значение суммы двух переменных, произведение которых построено, то применяется неравенство (2).

Задание 2 (МГУ, механизм, 1966). Из границ нужно вырубить постановить в форме прямого полного параллеленада, высота которого должна быть равна диазонами основ-

38

вания, а площадь основания должна быть равна 4 $м^2$. При каких длинах сторон основания площадь поверхности постамента будет наименьшей?

Пусть $x$ и $y$ — длины (в метрах) сторон прямоугольника, лежащего в основании постамента. Тогда по условию задачи высота $z$ постамента равна $\sqrt{x^2+y^2}$, а площадь его поверхности (в $м^2$)

$$S = 2(x+y)\cdot\sqrt{x^2+y^2}+8,$$

при этом $xy = 4$. Воспользовавшись неравенствами (2) и (3), получим

$$x+y \geqslant 2\sqrt{xy}=4;\quad x^2+y^2 \geqslant 2xy=8,$$

откуда $\sqrt{x^2+y^2}\geqslant\sqrt{8}$. Следовательно,

$$S \geqslant 2\cdot4\cdot\sqrt{8}+8=8+16\sqrt{2}\ (м^2),$$

причем равенство достигается при $x=y$, поскольку периметр основания $(2(x+y))$ и высота $(\sqrt{x^2+y^2})$ одновременно при $x=y\ (=2)$ достигают наименьшего значения. Итак, наименьшая площадь поверхности будет у постамента, в основании которого лежит квадрат со стороной в 2 м.

З а д а ч а 3 (МГУ, мехмат, 1966). Нужно изготовить коробку в форме прямоугольного параллелепипеда с площадью основания, равной 1 $см^2$. Сумма длин всех ребер параллелепипеда должна быть равна 20 см. При каких размерах коробки площадь ее поверхности будет наибольшей?

Пусть $x$ и $y$ — длины сторон прямоугольника (в сантиметрах), лежащего в основании параллелепипеда, а $z$ — его высота. Тогда по условию $xy=1$, $4x+4y+4z=20$, откуда $x+y+z=5$.

Площадь поверхности коробки равна

$$S = 2(x+y)\cdot z+2.$$

С учетом соотношения $(x+y)+z=5$ и неравенства (4) получим

$$(x+y)\cdot z \leqslant \left[\frac{(x+y)+z}{2}\right]^2 = \frac{25}{4},$$

причем это неравенство обращается в

равенство лишь при $x+y=z=2{,}5$. Таким образом, произведение $(x+y)z$, а вместе с ним и площадь поверхности коробки достигают наибольшего значения, если $z=2{,}5\ (см)$ и $x+y=2{,}5$. Решая систему уравнений

$$\begin{cases} x+y=2{,}5, \\ xy=1, \end{cases}$$

находим размеры коробки: $2\times0{,}5\times2{,}5\ (см)$.

З а д а ч а 4 (НГУ, 1968). Дан прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=a$; $BC=b$. Вокруг него описываются прямоугольники таким образом, что каждая сторона описанного прямоугольника проходит через одну из вершин прямоугольника $ABCD$. Найти описанный прямоугольник с наибольшей площадью и определить его площадь.

Пусть $a$ и $b$ — длины сторон данного прямоугольника (рис. 1), $\alpha$ — угол между соответствующими сторонами данного и описанного прямоугольников. Тогда длины сторон описанного прямоугольника равны $a\sin\alpha+b\cos\alpha$, $a\cos\alpha+b\sin\alpha$, его площадь

$$S(\alpha)=(a\sin\alpha+b\cos\alpha)\times$$
$$\times(a\cos\alpha+b\sin\alpha)=$$
$$=(a^2+b^2)\sin\alpha\cos\alpha+ab.$$

Здесь переменным является произведение $\sin\alpha\cdot\cos\alpha$. Нам надо найти наибольшее значение этого произведения. Учитывая, что $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, применим неравенство (5):

$$\sin\alpha\cdot\cos\alpha \leqslant \frac{1}{2}(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)=\frac{1}{2}.$$

Равенство достигается лишь при $\sin\alpha=\cos\alpha$, то есть при $\alpha=45^\circ$ (так как по условию $0^\circ<\alpha<90^\circ$). Следовательно, наибольшую площадь имеет тот описанный прямоугольник, стороны которого образуют со сторонами данного угол $45^\circ$. Нетрудно убедиться, что этот прямоугольник — квадрат, площадь его

$$S_{наиб}=\frac{1}{2}(a+b)^2.$$

39

Рис. 1.

Задание 5 (НГУ, 1968). Расстояние между двумя параллельными прямыми равно h. Третья прямая, параллельная диньим, находится вне полос между ними на расстоянии H от дальней. Отрезок AB перепределил к прямым, а концы его лежат на первых двух прямых.

Найти на третьей прямой точку M так, чтобы AMB был наиболее.

Положение точки M на третьей прямой определяется, например, расстоянием от нее до точки K пересечения прямой AB с третьей прямой (рис. 2). Обозначим KM через x. Для решения задачи достаточно найти то значение x, для которого соответствующий угол α = AMB достаточно наиболее.

Введем вспомогательный угол β = KMA и выразим с помощью него tg α в виде функции от x. Используя формулу тангенса разности двух аргументов и определение тангенса острого угла, получим tg α = tg [(α + β) - β] =
$$\frac{tg(\alpha + \beta) - tg\beta}{1 + tg(\alpha + \beta) \cdot tg\beta} = \frac{H}{x} - \frac{H - h}{x} = \frac{h}{1 + \frac{H - h}{x^2}}.$$

Отсюда видно, что tg α (a, следовательно, и α) достигает наиболее значения, когда сумма x + \frac{H(H - h)}{x}

достигает наиболее значения. Поскольку x \frac{H(H - h)}{x} постоянно, воспользуемся неравенством (2):

$$x + \frac{H(H - h)}{x} \geq 2 \sqrt{x \frac{H(H - h)}{x}} = 2 \sqrt{H(H - h)}.$$

Искомое значение x является положительным корнем уравнения x = \frac{H(H - h)}{x}, то есть

$$x = \sqrt{H(H - h)}.$$

Искомую точку теперь можно найти с помощью несложенного построения: опишем на отрезке KB как диаметр полукругжность, которая пересечет вторую прямую (проходящую через A) в точке C (рис. 2), и отложим на третьей прямой отрезок KM₁ = KC; точка M₁ — искомая (доказатель это самостояльно).

Нетрудно заметить, что точка M₂, симметричная точке M₁ относительно точки K, обладает тем же свойствам, что и точка M₁. Итак, искомых точек — две: M₁ и M₂.

Задание 6 (МГУ, 1971). Автомобиль edem от пункта A до пункта B с постоянной скоростью 42 км/ч. В пункте B он переходит на равнозамедленное движение, причем за какждый час его скорость уменьшается на a km/ч, и edem mak do полной остановки. Затем он сразу же начинает движаться равноскоренно сускорением a km/ч².

40

Каково должно быть значение $a$, чтобы через 3 часа после возобновления движения автомобиль находился ближе всего к пункту $B$?

Пусть автомобиль остановился в точке $C$, а через 3 часа был в точке $D$. Рассмотрим движение автомобиля на участке $BC$. По условию скорость автомобиля в пункте $B$ равна $v_B=$ $=42$ $\mathit{км/ч}$; эта скорость является начальной на участке $BC$. Конечная скорость на рассматриваемом участке $v_C=0$, поэтому время движения на участке $BC$ (в часах) $t_{BC}=\dfrac{42}{a}$.

Используя формулу длины пути при равнопеременном прямолинейном движении, выразим $BC$ и $CD$ через параметр $a$:

$$BC=\frac{882}{a},\quad CD=\frac{9a}{2}.$$

Таким образом,

$$BD=BC+CD=\frac{882}{a}+\frac{9a}{2}.$$

Так как произведение слагаемых $\dfrac{882}{a}$ и $\dfrac{9a}{2}$ постоянно, то полученная сумма — это следует из неравенства (2) — достигает наименьшего значения при

$$\frac{882}{a}=\frac{9a}{2},$$

откуда $a=14$ $\mathit{км/ч^2}$. При этом $BD=$ $=126$ $\mathit{км}$.

Упражнения

1 (МГУ, 1966). Нужно сделать воздушный змей в форме прямой призмы с основанием в форме прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной 50 $см$. Боковая поверхность этой призмы имеет площадь 0,96 $м^2$. Какими должны быть стороны треугольника основания, чтобы сумма длин всех ребер призмы была наименьшей?
2 (МГУ, 1966). В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольный треугольник с площадью, равной 2 $м^2$, а высота призмы равна гипотенузе основания. Какими должны быть стороны основания, чтобы боковая поверхность призмы была наименьшей?
3 (МГУ, 1966). Требуется изготовить коробку в форме прямоугольного параллелепипеда. Площадь дна коробки должна быть

равна 2 $дм^2$, а боковая поверхность 18 $дм^2$. При каких размерах коробки сумма длин всех ее ребер будет наименьшей?
4 (МГУ, экон. ф-т, 1969). При каком действительном $x$ выражение

$$y=\frac{2x-1}{2x-x^2-4}$$

принимает наименьшее значение?
5 (МГУ, 1971). Мотоциклист выезжает из пункта $A$ и движется с постоянным ускорением 12 $км/ч^2$ (начальная скорость равна нулю). Достигнув скорости $v$ $км/ч$, он едет с этой скоростью 25 $км$, а затем переходит на равнозамедленное движение, причем за каждый час его скорость уменьшается на 24 $км/ч$, и движется так до полной остановки. Затем он сразу же поворачивает обратно и едет до пункта $A$ с постоянной скоростью $v$ $км/ч$.

При какой скорости $v$ мотоциклист быстрее всего проделает обратный путь от остановки до пункта $A$?
6 (МГУ, филологич. ф-т, 1972). При каких положительных $x$ выражение

$$y=2x+\frac{3\dfrac{1}{8}}{x+1}$$

принимает минимальное значение?
7 (МИФИ, 1972). Найти объем наименьшего по объему конуса среди всех тех конусов, которые можно описать около шара радиуса $R$.

---

Поправки

В «Кванте» №2 допущены следующие опечатки.
Страница 25, левая колонка, 14-я строка снизу.
Напечатано: Следует читать:
$\ldots \overline{A}\Rightarrow\overline{B}$ $\ldots A\Rightarrow B$

Страница 26, в задаче М309.
Напечатано: Следует читать:
$x^{2n}+x+1$ $x^{2n}+x^n+1$

Страница 44, правая колонка:
рисунок 1 и рисунок 2 следует поменять местами.
Страница 47, левая колонка:
рисунок 5 и рисунок 6 следует поменять местами.
Страница 63, правая колонка, 2-я строка сверху.
Напечатано: Следует читать:
$-(\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B})+\ldots$ $=(\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B})^2+\ldots$

Страница 64, левая колонка, 5-я строка снизу.
Напечатано: Следует читать:
$заказ=59259$ $заказ=59295$

40