Почему звучит скрипка

9

При движении тела в какой-либо среде возникают силы сопротивления движению, стремящиеся замедлить его. Механическому движению одного твердого тела по поверхности другого пряятствуют силы сухого треня; в жидкости или газе появляются вззое трене и азродинамическое сопротивление и. т. п.

Взанмодействие тела со средой — довольно сложный процесс, приводящий обусловно к тому, что энергия тела со временем переходит в тепло, или, как говорят физики, происходит дисп萨ция энергии. Однако сопротивление среды может игrate и обратную роль — увеличать энергию тела.

При этом, как правило, возникают колбания. Например, сила сухого треня между полозями саней и снегом тормозит движение саней, и эта же сила, действующая между саней и струной, вызывает колбания струны. Как вы увидите далее, причиной возникновения колбания является падающая зависимость силы треня от скорости движения. Колбания возникают тогда, когда сила треня уменьшается при увеличении скорости.

Аналогичные явления пропускают не только в механических, но и в электрических системах, в которых колбания возникают при падающей зависимости напряжения от силы тока.

Рассмотрим сначала процесс возникновения механических колбаний.

Колебания струны

Звучание скрипки вызывается движением смычка. Невозможно, конечно, объяснить здесь все сложные явления, связанные с особенностями звучания скрипки. Однако попробуем разобраться, почему возникают колбания скрипчной струны, когда по ней ведут смычком.

Силы треня между смычком и струной — это силы сухого треня. Можно говорить о силах треня покоя и о силах треня скольжения. Первая сила возникнет между соприкасающимся, но неподвижными друг относительно друга телами, вторая — при скольжения одного тела по поверхности другого.

Сила треня покоя, как известно, может принимать любые значения (в зависимости от внешней силы) от нуля до максимальной силы треня покоя $F^0_{\text{тр}}$, при этом она всегда равна по величины и противоположна по направлению внешней силы.

Сила треня скольжения зависит от материалов тела и от состояния трущихся поверхности, а также от относительной скорости этих тел. О последнем мы и будем говорить более подробно. Характер зависимости от скорости для разных тел различен; передко при увеличении скорости скольжения вначале пропускает уменьшение силы треня скольжения, а затем она начинает возрастать. График зависимости абсолютной величины-

10

Рис. 1.

ны силы сухого треня от скорости в этом случае показан на рис. 1. В скрипке силы треня между смычком и струной как раз и имеют такой характер. Вертикальный участок при $v=0$ соответствует слим треня покоя. Если относительная скорость струны и смычка $v$ соответствует падающему участку $0<v<v_0$, то увеличению относительной скорости на некоторую малую величины $\Delta v$ соответствует уменьшение слим треня, и наоборот, при уменьшении скорости соответствующое изменение слим треня положительное (см. рис. 1). Как вы сейчас видите, именно благодаря этой способности может увеличивать энергия струны за счет работы слим сухого треня.

При движении смычка струна отклоняется вместе с ним. При этом слияние покоя уравновешивается слиями натяжения струны (рис. 2). Равновесientушая $F$ сли натяжения пропорциональна отклонению струны $x$ от положения равновесия:

$$F = 2T_0 \sin \alpha = \frac{4T_0}{l} x,$$

где $l$ — длина струны, а $T_0$ — слияние струны, которое при малых отклонениях можно считать постоянной. Поэтому при движении струны со смычком слия $F$ будет расти, и в тот момент, когда она становится равной максимальной слияние покоя $F^0_{tp}$, начинается проскальзывание.

Рис. 2.

Будем пока для простоты считать, что в момент начала скольжения изменение слим треня происходит скачком: она уменьшается от максимальной величины слим треня покоя до небольшой слим треня скольжения. Иными словами, после начала скольжения движение струны можно считать почти свободным.

В момент срыва скопость струны равнялась скопости смычка, и вначале струна будет продолжать двигаться в стороны движения смычка. Но теперь равновесientушая слим натяжения ничего не скоппсирована, поэтому она будет тормозить движение струны, замедляя его. В какой-то момент скопость струны упадет до нуля, затем струна начинает двигаться в противоположную сторону, и после максимального отклонения от положения равновесия она опять будет двигаться в стороны движения смычка. А смычок продолжает двигаться равномерно со скопостью $u$. В некоторых моментах струны и смычка сравняются. При этом между струной и смычком просkalзывания уже нет, и появляется слияние покоя, равная равновесientушей слия натяжения.

При дальнейшем движении слим натяжения уменьшается и, соответствующего, уменьшается слияние покоя. После прохождения струной положения равновесия проще повторяется.

11

Соответствующий график зависимости отклонения струны от времени показан на рисунке 3, а. Движение струны периодически, причем в каждом период имеется два разных частка. Например, на участке $0 < t < t_1$ струна движется вместе со смычком с постоянной скоростью $u$, так что отклонение $x$ линейно зависит от времени ($\tau g \alpha = u$). В момент $t_1$ происходит сывив, и при $t_1 < t < t_2$ изменение $x$ со временем происходит по синусидальном закону. В момент $t_2$, когда касательная к синусиде имеет тот же наклон, что и начальный прямолинейный участок (условие равенства скорости), струна вовь захватывает смычком.

Рисунок 3, а соответствует идеальному случанию, когда сила стрения скольжения отсутствует и поэтому нет потреб энергии при свободном ходе струны. Полная работа силы стрения покоя на линейных участках за период при этом также равна нулю, так как при отрицательных $x$ совершается отрицательная работа (сила стрения направлена против движения), а при $x > 0$ совершается такая же по величины, но положительная работа.

Что же происходит в случae, когда сила стрения скольжения отлична от нуля? Стрение скольжения приводит к потерям энергии. Движение струны при раскальзывании теперь описывается графиком, показанным на рисунке 3, б. При отрицательных отклонениях эта кривая более пологая, чем при положительных. Поэтому зацепление струны смычком происходит при меньше по величины отрицательном отклонении $x_2$, чем положительное отклонение $x_1$, соответствующей сывив. В результате сила стрения покоя во время сцепления струны со смычком совершается за период положительного работы

$$A = \frac{k \left(x_1^2 - x_2^2\right)}{2},$$

где $k = \frac{4T_0}{l}$ — коэффициент пропорции.

Циональности между величины силы стрения покоя и отклонением струны.

Эта работа как раз и компенсирует потеря энергии за счет силы стрения скольжения. Колбанная струны являются не затухающим.

Энергетический баланс

Вообще говоря, для пополнения энергии струны за счет силы не обязательно, чтобы произходило сцепление струны со смычком. Достаточно, чтобы относительная скорость смычка и струны при колбанях струны находилась в пределах падающего участка зависимости силы стрения скольжения от скорости. Расмотрим более подробно явление возбуждения колбаний струны в этом случae.

Пусть смычок опять движется с некоторой постоянной скоростью $u$, а струна отклонена от положения равновесия на $x_0$ так, чтобы равновесия уравнилась $F(x_0)$ сил упругости уравно-

12

вешивала силу треня скольжения $F_{\text{tp}}(u)$. Если струна служно отклонится в сторону движения смычка, то относительная скорость уменьшится. В результате сила треня возрастет (относительная скорость соответствует падающему участку!), и струна отклонится еще больше. При дальнейшем отклонении упругая сила в какой-то момент обязает полностью превыстить силу треня (упругая сила пропорциональная величины отклонения, а сила треня скольжения не может превыойти максимального значения силы треня покоя), и струна начинает движаться в обратную сторону. Она пройдет положение равновесия, снова отклонится, остановится и т. д. Таким образом возбудится колебания струны.

Важно, что эти колебания будут незначухающим. В самом деле, при движении струны со скоростью $\Delta v$ в сторону смычка сила треня совершает положительное работу, а при обратном движении — отрицательную. Но относительная скорость $v_1 = u - \Delta v$ в первом случае меньше, чем скорость $u_2 = u + \Delta v$ во втором случае, а следовательно, сила треня $F_{\text{tp}}(u - \Delta v)$, наоборот, больше, чем $F_{\text{tp}}(u + \Delta v)$. Таким образом, положительная работа сил треня при движении струны в сторону смычка больше, чем отрицательная работа при ее возвраthом движении, и в целом силы треня совершают положительное работу. Амплитуда колебаний будет увеличивать. Однако лишь до определенного предела. При $v > v_0$ (см. рис. 1) скорость выходит за пределы падающего участка, и тогда отрицательная работа силы треня уже может стать больше, чем положительная. Энергия, а значит, амплитуда колебаний будет уменьшаться.

В результате установленная такая амплитуда колебаний, при которой полная работа сил треня равна нулю (говора точнее, эта работа компенсирует потеря энергии вследствие сопротивления воздуха, неупругогоxa

рактира деформаций и т. п.). С этой постояной амплитудой и будут происходить не затухающие колебания струны.

Возбуждение звуковых колебаний при движении одного твердого тела по поверхности другого происходит очень часто. Сухое трене в дверной петле может вызвать скрип двери. Скрипт положицы, обувь. Скрипт можно произвести просто пальцем, проведя им по какой-нибудь гладкой поверхности. Явления, произходящие при этом, во многом аналогичны возбужданию колебаний скрипчной струны. Вначале просkalзывания нет, и возникает упругая деформация. Затем происходит сыв, и возбуждаются колебания тела. Колебания не затухают, так как благодаря падающей характерские силы сухого треня поставляется необходимая энергия за счет работы этих сил.

При изменении характера зависимости сил треня от скорости скрип исчезает. Известно, например, что для этого достаточно смазать трушеся поверхности. Сила жидкого треня (при малых скорости) пропорциональная скорости, и условий, необходимых для возбуждания колебаний, нет. Наоборот, когда хотят возбуждать колебания, поверхности обрабатываются специальным образом, чтобы сделать уменьшенное сил треня при увеличении скорости более резким. Смычок скрипки, например, для этого натирают канифолью.

Знание законов сил треня помогает решать важные практические задачи. При обработке металла на токарном станке иногда возникнет вибрация резца. Эти колебания вызывают силими сухого треня между резцом и металлической стружкой, скользывающей по его поверхности при обточке металла (рис. 4). Зависимость сил треня от скорости стружки (скорости обработки) для ряда высококачеченных стелей оказывается падающей. Эти мы уже знаем, можно обяснить колебания резца.

13

Рис. 4.

Для борьбы с вибрацией используется, например, специальная заточка резца, при которой нет скольжения стружки. Тем самым устраняется причина возникновения колебаний.

Отрицательное сопротивление

Теперь речь пойдет об аналогичных явлениях (возникновения колебаний) в электрических системах. Для описания электрической системы удобно пользоваться вольтамперной характеристикой, т. е. зависимостью напряжения в системе от силы тока. Например, для обычного сопротивления справедлив закон Ома: напряжение пропорционально току, и вольтамперная характеристика — прямая линия, проходящая через начало координат. Однако для многих систем (электронной лампы, газоразрядной трубки, транзистора и т. п.) зависимость напряжения от тока более сложная.

Оказывается, что в том случае, если вольтамперная характеристика является падающей, т. е. если при увеличении тока через систему напряжение на ней уменьшается, в системе могут возбуждаться электрические колебания. Такими свойствами обладают некоторые полупроводниковые устройства, неоновая лампа, электрическая дуга и т. д. У всех этих приборов вольтамперная характеристика имеет падающей участок,

и это в определенных условиях приводит к возбуждению колебаний.

Попробуем разобраться в причинах возникновения электрических колебаний при падающей вольтамперной характеристике. Прежде всего проведем аналогию с механическими системами. При прохождении тока по проводнику электрические силы совершают работу, пропорциональную приложенному напряжению. Эта работа равна работе сил сопротивления движению зарядов. Поэтому можно сказать, что силы сопротивления пропорциональны напряжению. С другой стороны, скорость направленного движения зарядов связана прямой пропорциональной зависимостью с силой тока. Таким образом, падающая зависимость напряжения от силы тока соответствует падающей зависимости силы сопротивления от скорости, а это, как мы уже знаем, приводит к возбуждению колебаний.

Проведем теперь более подробный анализ условий возникновения электрических колебаний, используя такие же, как в механике, энергетические соображения. Пусть вольтамперная характеристика системы такая, как показано на рисунке 5. Зная ток, по этой характеристике можно найти напряжение, и наоборот. Пусть, например, в системе течет постоянный ток $i_0$; тогда напряжение равно $U_0$. Если по каким-либо причинам возникла также небольшая переменная составляющая тока, так что

$$i = i_0 + \Delta i_0 \sin \omega t,$$

то напряжение тоже станет переменным:

$$U = U_0 + \Delta U_0 \sin \omega t$$

($\Delta i_0$ и $\Delta U_0$ — амплитуды переменной составляющей тока и напряжения соответственно). Очевидно, что при падающей вольтамперной характеристике переменный ток и переменное напряжение колеблются в противо-

14

Фазе (так и напряжение одновременного прохождения положения равновесия, но знаки тока и напряжения в одинаковые моменты всегда разные и, следовательно, сдвиг фаз $\varphi = \pi$).

Мощность переменного тока, как известно, определяется формулой

$$P = \frac{\Delta U_0}{2} \frac{\Delta i_0}{2} \cos \varphi = \Delta U_\pi \Delta i_\pi \cos \varphi,$$

где $\Delta U_\pi$ и $\Delta i_\pi$ — действующие значения напряжения и тока, $\varphi$ — сдвиг фаз между напряжением и током. В нашем случае $\cos \varphi = -1$ и, следовательно, $P < 0$. Этот результат имеет простой физический смысл. Он означает, что переменный ток не расходует, а наоборот, увеличит свой энергию (так же, как увеличитась при колбании энергия струны за счет падающей зависимости сил сопротивления от скорости). Эта энергия, очевидно, черпается из энергии постоянного тока, мощность которого $P_0 = U_0 i_0$ всегда положительная. Таким образом, при падающей волтамперной характеристике энергия переменного тока со временем будет увеличится, и амплитуда колбаний будет нарастать.

Для количественного рассмотрения этого вопроса вводят понятие отрицательного электрического сопротивления, который обладает системы с падающим волтамперными характеристиками. Впрочем, понятие сопротивления при нелинейной зависимости напряжения от тока требует неокоторого уточнения. Поговорим об этом более подробно.

Если через систему при постоянном напряжении $U_0$ течет постоянный ток $i_0$, то сопротивление определяется по формуле

$$R = U_0 / i_0$$

и называется статической сопротивлением, или сопротивлением постоянному току. Как видно из рисунка 5, эта величина равна тангенсу угла наклона прямой, проведенной из начала координат в точку волтамперной характеристики, соответствующую току $i_0$ и напряжение $U_0$:

$$R = tg \alpha.$$

Эта величина, вообще говоря, зависит от силы тока $i_0$. Если у системы характеристика линейная, то $R$ совпадает с обычным сопротивлением проводника и не зависит от тока.

В случае переменного тока вводится понятие дифференциального сопротивления, или сопротивления переменному току $r$. Она определяется тангенсом угла наклона касательной к волтамперной характеристике (см. рис. 5): $r = tg \beta$ и по абсолотной величины равно отношению амплитуд переменного напряжения и тока: $|r| = \Delta U_0 / \Delta i_0$. Для общного проводника $r = R$, однако в общем случае нелинейной волтамперной характеристике сопротивления постоянному и переменному току разные.

Если волтамперная характеристика имеет падающий участок, то на этом участке касательная к кривой составляет тупой угол с осью токов (угол $\beta$ на рисунке 5), тангенс этого угла отрицательен и, следовательно, отрицательна величина $r$. Таким образом, системы с падающей волтамперной характеристикой дифференциальным сопротивлением.

Мощность переменного тока $P = (\Delta i_\pi)^2 r = (\Delta U_\pi)^2 / r$ на отрицательном сопротивлении $r$ — отрицательная. Это опять отражает тот факт, что энергия переменного тока при

15

Рис. 6, а.

падающей волтамперной характеристике увеличается со временем.

Используя понятие отрицательного сопротивления, исследуем, например, устойчивость электрическойдуги (рис. 6, а), включенной последовательно с обычным сопротивлением $R$ и источником постоянной э. d. c. $\mathcal{E}$ (будем считать, что внутреннее сопротивление источника тока включано в сопротивление $R$). Эта задача имеет практическое значение, так как при использованиидуги для сварки или в качестве источника света она должна горетьустойчиво, без колебаний тока.

Прежде всего найдем, какой постоянный ток может течь в такой цепи. По закону Ома для всей цепи сумма padений напряжения равна электродвижущей силе:

$$U(i) + iR = \mathcal{E}.$$

Пересечая слагаемое $iR$ в правую часть, получим, что напряжение на дуге $U(i)$ равно $\mathcal{E} - iR$. С другой стороны, $U(i)$ определяется волтамперной характеристикой. Поэтому возможные токи можно найти графически как точки пересечения волтамперной характеристики и зависимость $\mathcal{E} - iR$, причем последняя, очевидно, изобразяется прямой с отрицательным наклоном (рис. 6, б).

Как видно, в принципе, имеется два пересечения и, соответственно, в цепи возможны два значения тока $i_1$ и $i_2$. Оба ли току устойчивы?

Рис. 6, б.

При возникновении переменного тока его амплитуды на дуге и на сопротивлении $R$ одинаковы (они включены последовательно). Поэтому, сравнивая генерируемую на отрицательном сопротивлениидуги энергии $(\Delta i_\pi)^2r$ и потери энергии на общим сопротивлении $(\Delta i_\pi)^2R$, мы видим, что условием нарастания колебаний будет $|r| > R$. Обратимся теперь опять к рисунку 6, б. Легко видеть, что при токе $i_1$ дуга имеет большое по абсцилтовой величины отрицательное сопротивление, чем $R$ (наклон касательной большие, чем у прямой), и условие возникновения колебаний выполено. При токе $i_2$, наоборот, $R > |r|$, и колебания не могут возникнуть. Таким образом, можно сказать, что дуга будет горетьустойчивой при положительной полном сопротивлении цепи.

Если дуга включить в колебательный контур, то в нем могут возникнуть незначuousные колебания. Для этого необходимо, чтобы сопротивление контура и отрицательного сопротивлениядуги) было бы отрицательным. Однако для получения незначuousных электромагнитных колебаний сейчас использут не волтову дугу, а более надежные электрические системы с отрицательным сопротивлением. Сюда относится, например, ламповый генератор (в котором отрицательное сопротивление создается за счет обратной связи между сеткой и аномом лампы),