Физические аналогии

50

Средние разнообразных явлений различной физической природы нередко можно встретить положие явления, обнаруживающие одинаковые признаки и закономерности. В таких случаях говорят о физических аналогиях, или аналогичных (то есть положих) системах. Физические аналогии, существующие между электрическими, механическими, акустическими и другими системами, давно с успехом использоваются при исследовании и расчетах. Методы, основанные на применении аналогии, в ряде случаев оказываются весом плодотворными при решении задач. Они позволяют сводить решение некоторых задач к решении других (уже известных) задач (зачастую из других раздела физики).

Например, нельзя пройти mismo аналогии между законом всемирного тяготения и законом Кулона.

Выражения для силы тяготения между двумя материаловми точками с массами $M$ и $m$ и для силы электросатического взаимодействия двух точных зарядов $Q$ и $q$ имеют вид

$$F_T = \gamma \frac{Mm}{r^2}; \quad F_{3.1} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Qq}{r^2}.$$

Здесь $\gamma$ — гравиитонная постоянная, $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная, $r$ — расстояние между взаимодействующими телами.

Поскольку силы выражаются похожими формулами (в общих случаях обратно пропорциональны квадрату расстояния), движение материалов точки в гравиитонном поле (в поле тяготения) и движение заряженного тела в поле тяготного заряда описываются одинаковыми уравнениями. Правда, есть и отличие. Гравитационные силы всегда стремятся слизить тела (прияжение тела), а электрические силы в зависимости от знаков взаимодействующих зарядов могут быть как прияжение, так и отталкивание.

Понимание аналогии между законом всемирного тяготения и законом Кулона.

Выражения для силы тяготения между двумя материаловми точками с массами $M$ и $m$ и для силы электросатического взаимодействия двух точных зарядов $Q$ и $q$ имеют вид

$$F_T = \gamma \frac{Mm}{r^2}; \quad F_{3.1} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Qq}{r^2}.$$

Здесь $\gamma$ — гравиитонная постоянная, $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная, $r$ — расстояние между взаимодействующими телами.

Поскольку силы выражаются похожими формулами (в общих случаях обратно пропорциональны квадрату расстояния), движение материалов точки в гравиитонном поле (в поле тяготения) и движение заряженного тела в поле тяготного заряда описываются одинаковыми уравнениями. Правда, есть и отличие. Гравитационные силы всегда стремятся слизить тела (прияжение тела), а электрические силы в зависимости от знаков взаимодействующих зарядов могут быть как прияжение, так и отталкивание.

Понимание аналогии между законом всемирного тяготения и законом Кулона.

Выражения для силы тяготения между двумя Materialsми точками с массами $M$ и $m$ и для силы электросатического взаимодействия двух точных зарядов $Q$ и $q$ имеют вид

$$F_T = \gamma \frac{Mm}{r^2}; \quad F_{3.1} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Qq}{r^2}.$$

Здесь $\gamma$ — гравиитонная постоянная, $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная, $r$ — расстояние между взаимодействующими телами.

Поскольку силы выражаются похожими формулами (в общих случаях обратно пропорциональны квадрату расстояния), движение Materialsми точки в гравиитонном поле (в поле тяготения) и движение заряженного тела в поле тяготного заряда описываются одинаковыми уравнениями. Правда, есть и отличие. Гравитационные силы в связи с принципом оказываться отрицательной. (Напомним, что потенциальная энергия полагается равной нулю при бесконечном большом $r$.) Посленим выражением (для гравиитонного потенциальала) удобно пользоваться при решении многох задач из области космической физики (например, задача о вычислении второй космической скорости, задачи о маневрах космических кораблей и т.п.).

51

Приведем еще один пример физической аналоги между механической и электрической системами. Процессы, произходящие в электрическом колебательном контуре (рис. 1), аналогичны колебаням грузика наружные.

Эта аналogy подробно рассматривается в школьном учебнике (см. учебное пособие для 10 класса средней школы). Системы являются аналогичными потому, что явления, произходящие в них, описываются одинаковыми математическими соотношениями. Второй закон Ньютона для груза наружные и закон Ома для колебательного контура записывают одинаковым образом:

$$m \frac{\Delta v}{\Delta t} = -kx, \quad L \frac{\Delta i}{\Delta t} = -\frac{1}{C} q,$$

где $v = \frac{\Delta x}{\Delta t}$ — скорость груза, $i = \frac{\Delta q}{\Delta t}$ — ток в контуре.

Отсюда видно, что масса груза $m$ может быть сопоставлена с индуктивностью катушки $L$, жесткость пружины $k$ — с обратной величины емкости $\frac{1}{C}$. Аналогия этих двух систем сохраняет и при наличии расс挛ия энергии: коэффициент вззкого трения $\beta$ при небольших скоростях движения тела в жидкости или газе аналогичен электрическому сопротивлению $R$.

Рассмотрим теперь несколько конкретных задач, решения которых осуществлено упрощаютя, если воспользоваться методом аналоги.

Задание 1. Убразная рубка частично заполнена жидкостью. Сечение рубки вздед одинаково; общая длина заполненной части рубки равна 1. Определить период колебаний уровня жидкости в макой системе.

Попытаемся проверить аналоги с известной задачей о колебаниях груза, подвешенного наружне, и таким образом найти период колебаний данной колебательной системы.

Пусть уровень жидкости в одном из колен попизился на $x$, а в другом, соответствующего, повышения на $x$ (см. рис. 2), тогда разность уровней будет равна $2x$, и на жидкость в левом колене будет действовать некомпенсированная сила тяжестки столбца жидкости высотой $2x$:

$$F = -2S\rho gx.$$

Здесь $S$ — площадь сечения рубки, $\rho$ — плотность жидкости. Знак минус в этой формуле означает, что сила $F$ стремится вернуть систему в положение равновесия (как и в случае груза наружнее). Величина $2S\rho g$, постоянная для данной системы, соответствует жесткости пружины $k$. Таким образом, движение жидкости происходит под действием квазинупругой *) сны. Аналогия с задачой:

*) Так принято назвать силы неупругого произхождения, изменяющиеся по тому же закону, что и упругая сны пружины: $F = -kx$.

Рис. 1. Этный колебательные системы физических аналогичных.

Рис. 2. Еще одна колебательная система.

52

Чей о колебании груза наружне становится оченьной. Используя формулу для перiodа $T$ колебаний груза массы $m$ наружне, получаем:

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{Sl\rho}{2S\rho g}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{2g}}.$$

Тепер мы сформилируем несколько задач из различных разделов физики и попробуем понять аналогию между ними.

Задача 2. Определить работу, затраченную на деформацию пружины жесткости $k$, если ее удлинение (считая от положения равновесия нерастянутой пружины) изменилось от $x_1$ до $x_2$.

Задача 3. Какую работу надо затранить, чтобы изменить загрязнодатель конденсатора emкости $C$ от значения $q_1$ до значения $q_2$?

Задача 4. Один mole идеально его раза расширяется при нагревании mak, что объем связыван с температурой по закону $T = \alpha V^2$, где $\alpha$ — некоморяя постоянная величины. Какую работу совершит газ в этом процессе при изменении его температуры от $T_1$ до $T_2$?

Системы, о которых идет речь в этих задачах, изображены на рисунке 3.

Задачи являются аналогичными, поскольку во всех трех случаях мы сталиваемся с одинаковыми закономерностями. Разберемся в этом более подробно.

В задаче 2 нужно найти работу по деформации пружины. Эту работу можно определить графическим методом. Работа на малом участке пути $\Delta x$ (т. е. на таком участке, что силу $F = kx$ можно считать постоянной) есть:

$$\Delta A = F\Delta x = kx\Delta x.$$

Значит, полная работа $A$ при изменении координат от $x_1$ до $x_2$ равна затрихованной площади на рисунке 4, т. е.

$$A = \frac{k}{2} \left( x_2^2 - x_1^2 \right).$$

Напомним, что величины $\frac{kx^2}{2}$ есть потенциальная энергия $\Pi$ упруго деформированной пружины. Зная выражение для этой энергии, мы могли бы сразу написать формулу для работы ($A = \Delta \Pi$). Но мы хотим здесь убедиться в том, что подобная ситuation возникнет и в других физических аналогических задачах.

При решении задачи 3 процесс затрачного малыми порцяями $\Delta q$ (такими, что разность потенциальов $u$ на конденсаторе можно считать постоянной) переносится с одной обкладки на другую. Работа по переносу затрада $\Delta q$ запишется в виде:

$$\Delta A = u\Delta q = \frac{1}{C} q\Delta q.$$

53

Выражение для $\Delta A$ имеет тот же вид, что и в задаче 2. По аналогии, не повторяя хода решения, мы можем сразу написать, что полная работа по изменению заряда на конденсаторе равна

$$A = \frac{1}{2C} \left( q_2^2 - q_1^2 \right).$$

Величина $\frac{q^2}{2C}$ аналогична потенциальной энергии пружины $\frac{kx^2}{2}$ и имеет смысл электрической энергии, запасенной в конденсаторе. (Мы снова встречаемся здесь с аналогией между жесткостью пружины $k$ и обратной величины emкость $\frac{1}{C}$)

В задаче 4 требуется определить работу газа при расширении. Если взяты достаточно мало изменение объема $\Delta V$ (такое, чтобы давление в этом элементарном процессе можно было с хорошим приближением считать постоянным), то работа записывается в виде: $\Delta A = p\Delta V$. Поскольку в нашем случае $T = \alpha V^2$, то изравнения газового состояния получаем:

$$p = \frac{RT}{V} = R\alpha V.$$

Следовательно,

$$\Delta A = R\alpha V\Delta V.$$

Теперь аналогия с задачи 2 и 3 становится очевидной, и мы можем записать выражение для полной работы $A$ при расширении газа:

$$A = \frac{R\alpha}{2} \left( V_2^2 - V_1^2 \right) = \frac{R}{2} \left( T_2 - T_1 \right).$$

Рассмотрим теперь еще одну, несколько более сложную задачу.

Задача 5. Какое количество теплоты $Q$ получаем один mole газа при изменении температуры от $T_1$ до $T_2$ ($T_2 > T_1$), если в процессе нагрева газа изменяется обратно пропорционально температуре:

$$V = \frac{\beta}{T},$$

вде $\beta$ — некоторая постоянная величины? Теплоемкость газа при постоянном объеме $C_V$ задана.

Приое решение этой задачи довольно громоздко. Мы обратим здесь внимание на неожиданную аналогию этой тепловой задачи с известной задачей о потенциальное заряда.

На основании первого закона термодинамики можно записать:

$$Q = \Delta U + A.$$

Здесь $\Delta U$ — изменение внутренней энергии газа, $A$ — работа, совершенная газом. Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры ($U \sim T$). Поэтому изменение внутренней энергии в любом процессе, а значит, и в нашем случае, такое же, как и в процессе при постоянном объеме, когда все подвежденное телло идет только на увеличение внутренней энергии:

$$\Delta U = C_V \left( T_2 - T_1 \right).$$

Таким образом, задача свелась к вычислению работы, произведенной газом. Для отыскания этой работы рассмотрим сначала элементарный процесс, в котором объем газа увеличивается на достаточно малую величины $\Delta V$, так что давление остается практическим неизменным. Для элементарной работы мы можем записать:

$$\Delta A = p\Delta V = \frac{RT}{V} \Delta V = R\beta \frac{\Delta V}{V^2}.$$

Нам нужно найти работу газа при изменении его объема от значения $V_1 = \frac{\beta}{T_1}$ до значения $V_2 = \frac{\beta}{T_2}$. Математически задача свела к операции интегрирования, выходящей за рамки программы средней шкoles. Попробуем, однako, вспомнить, не встречались ли мы с подобной постановкой вопроса в других задачах.

В каких случаях элементарная работа оказывается пропорциональной выражению $\frac{\Delta x}{x^2}$? Очевидно, если력 идет о работе силы, изменяющей обратно пропорционально квадратичному расстоянию, на малом пере-

54

мешенини $\Delta x$. Мы знаем две силы, изменяющиеся пропорционально $\frac{1}{x^2}$:

это сила кулоновского взаимодействия точных зарядов и гравиатизации силы. Таким образом, расматриваемая тепловая задача аналогична задаче о потенциальное электрическое заряд или задаче о вычислении потенциальной энергии тела в гравиатционном поле. Методы решения этих задач изучаются в средней школе.

Вот пример электрической задачи, из которого немедленно следует решение задачи 5.

Задача 6. Наименем емкостЬ сферического конденсатора, образованного двумя концентрическими проводящими сферами $R_1$ и $R_2$.

Емкость конденсатора $C$ равна относительной заряда конденсатора $q$ к разности потенциальов $\Delta \varphi$ между его обкладками. Разность потенциальов (по определению) равна равете, совершаемой электрическими силами при перемещении единичного положительного заряда с одной обкладки на другую.

Пусть внутренняя сфера конденсатора имеет заряд $q$, а наружная — заряд $-q$. Тогда электрическое поле в пространстве между сферами совпадает с полем точного заряда $q$, расположенного в их общем центре $*$), и направенно поля

$$E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}; \quad R_1 \leqslant r \leqslant R_2.$$

Пусть единный положительный заряд переместился на малое расстояние $\Delta r \ll R_1$ (так что поле можно считать однородным). Работа, совершаемая электрическим полем на этом участке пути, есть

$$\Delta A = E \Delta r = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\Delta r}{r^2}.$$

(*) См., например, статью Л. П. Баканиной и С. М. Козела «Приципс суперпозицини в электростатике», «Квант», 1973, № 3.

Полная работа $A$ электрических сил при изменении расстояния от $R_1$ до $R_2$ может быть выражена через потенциаль поля точного заряда:

$$A = -(\varphi_2 - \varphi_1) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R_1} - \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R_2} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{R_2 - R_1}{R_1 R_2}.$$

Отсюда емкость сфериского конденсатора равна

$$C = \frac{q}{\Delta \varphi} = 4\pi\varepsilon_0 \frac{R_1 R_2}{R_2 - R_1}.$$

Вернемся теперь к задаче 5 и доведем ее решение до конца, воспользоваться результатами задачи 6. Сравним выражение () для емкентарной работы при расширении газа и выражение () для емкентарной работы по перемещению единичного заряд в электростатическом поле. Нетрудно видеть, что эти выражения аналогичны (в задаче 5 переменной величины является. объем газа $V$, а в задаче 6 — расстояние $r$). Это позволяет сделать вывод о том, что и полные работы $A$ в обихах служах выражаются одинаковым образом через переменные $V$ и $r$ соответственно. Поэтому по аналогии с выражением () можно записать выражение для работы газа при изменении его объема от $V_1$ до $V_2$:

$$A = R \beta \frac{V_2 - V_1}{V_1 V_2}.$$

Принимая во внимание, что $V = \frac{\beta}{T}$, получим:

$$A = R \frac{\frac{V_2}{\beta} - \frac{V_1}{\beta}}{\frac{V_1}{\beta} \frac{V_2}{\beta}} = R \frac{\frac{1}{T_2} - \frac{1}{T_1}}{\frac{1}{T_1} \frac{1}{T_2}} = -R(T_2 - T_1).$$

Знак минус в этой формуле определяется тем, что в рассматриваемом процессе происходит скатание газа ($A < 0$).

Теперь можно записать окончательный результат решения задачи 5.

55

Рис. 5. Каков период колебаний поршня в этой системе?

Количество тепла, которое нужно собщить одному молю газа, чтобы изменить его температуру от $T_1$ до $T_2$, равно

$$Q = (C_V - R) (T_2 - T_1).$$

В этой статье мы хотели проиллюстрировать значение физических аналогий. Следует, однako, иметь в виду, что аналоги бывают разные. На рисунке 1 изображены системы, между которых имеет глубокая физическая аналогия. Аналогичными оказываются процессы, протекающие в этих двух физических системах. Аналогии такого рода называются динамическими. Динамическими системы описываются одинаковыми уравнениями движения. Роль таких системы в наuke особенно значительная. Другим примером динамической аналоги является задача о движении спутников Земли и занате?

Рис. 6. Надо придумать механическую аналогию этой электрической цепи.