71
Олимпида в МИИТ
6 апреля 1975 года в Московском институте инженеров железнодорожного транспорта состоялась традиционная математическая олимпида.
Традиции олимпиды МИИТ былики к традициям городской математической олимпиды, в котором, кстати, МИИТ принимал в этом году непосредственное участие. Однако, одна-две задачи для каждой классе соответствует уровнюступительных взовских экзаменов.
Одна из задач, предложенных школьникам всех классов (№ 2 для 8 класса), имеющая простое, но веса нетривиальное решение, так и не была решена школьниками.
В олимпиде участвовали 370 учеников 8—10 классов школьников (№ 2 для 8 класса), имеющая простое, но веса нетривиальное решение, так и не была решена школьниками.
Приводим список задач:
8 класс
-
В окружность вписан треугольник ABC; центр лежит внутри треугольника. Существует ли треугольник, вписанный в ту же окружность, стороны которого больше соответствующих сторон треугольника ABC? (Нам неизвестно элементарное решение аналогичной задачи для трехмерной примеры.)
-
Двое играют в «крестики-ноликки» на бесконечном листе бумаги. Выиграет тот, кто первым поставит 5 крестиков (ноликков) по горизонтали или по вертикали подряд. Доказать, что оба играка при правильной игре не произвольно играет.
-
На плоскости дан правильный треугольник и точка в его. Всегда ли можно последовательность зеркальных отражений относительно сторон треугольника или ихprodолжений перевести точку внутри треугольника?
-
ИЗ 1975³ одинаковых полых кубиков со стороны 1 мм сложен куб со стороны 1975 мм. Зверь Сухофедка находится в угловом кубике. Он может прогрыть кубик в любой грани, но не в вершине и не в ребре, и пройти в соседний куб. может ли Сухофедка обойти все кубики по одному разу и кончить свой путь в центральном кубике?
-
Каждый сторон треугольника разбиется на 1 равных частей. Через точки деления проведены прямые, параллельные двумя сторонами треугольника. В каждом из образованшихся треугольников, лежащих внутри данного, записаны числа 1 или—1 таким образом, что число, записанное в треугольнике, равно произведению чисел, нахождения в треугольниках, имеющих с данным общую сторону. Доказать, что в треугольниках, имеющих общую вершину с исходным треугольником, записаны числа.
9 класс
№№ 1, 2 и 3—те же задачи, что и№№ 2, 4, 5 для 8 класса.
-
Дан алфавит из букв a, b, c, a−1, b−1, c−1. В слова, составленном из букв этого алфавита, рядом стоящие буквы xx−1 или x−1x можно сократить (т. е. выкинуть). Можно ли написать слово из букв этого алфавита, в котором нельзя сократить ни одной пары букв, но, зачеркнуть все выходения любой буквы x и ее «обратной» x−1, можно сократить все слова полностью?
-
Есть число, состоящее из нуля и 1975 десятичных знаков после запятой. Произведится последовательное округление, начиная с младшего разряда (до ближайшего четного). В результате получается единица. Какое самое маленькое число могло быть дан сначала?
10 класс
- Дан квадратный треугольник (p−1) x²—(pk−2)x−1, 0 < k < 1; p > 0. Доказать, что существует единственный корень многочлена, лежащий между k и 1.
- Дан параллелограмм ABCD. САВ + DBС = 90°. Доказать, что ABCD — либо ромб, либо прямоугольник.
- Такая же задача, как№ 4 для 9 класса, но для произвольного числа букв.
- Та же задача, что и№ 2 для 8 класса.
- Дана последовательность a₀, a₁, a₂, …, aₙ, aₙ+1, …. Пусть a₀ = 0, a₁ = 1, aₙ+1, aₙ+2, …. Существует ли положительный член последовательности, делящейся на: a) 4; b) 6; c) 154?
А. В. Чернавский