Как нарисовать пятиконечную звезду?

Квант 1976, №1 с. 74-76 Тег XAYT

А. Савин

Не правда ли, красива правильная пятиконечная звезда. Ее мы видим на гербе и флаге нашей Родины, она сияет на военных фуражках и на шпилях башен Кремля.

Кто в детстве не пытался нарисовать эту звезду? Наверное, всякий. Но получалось нечто кособокое и неуклюже, что-нибудь вроде рисунка 1.

Первая попытка
В школе вы познакомились с инструментами для геометрических построений — циркулем и линейкой.

Попробуем возобновить попытки нарисовать правильную пятиконечную звезду. Сначала просим себя, что значит правильную? Наверное, нужно, чтобы пять вершин были соединены отрезками равной длины. Линейка помещет нам сделать стороны звезды прямыми, а при помощи циркуля постараемся сделать их равными.

Приступим. Строим угол с вершиной A. На его сторонах откладываем равные отрезки AB и AC (рис. 2). Три вершины есть. Осталось найти еще две, и все в порядке. Одна из них (D) должна быть удалена от точки B на такое же расстояние, что и точка A. Значит, она должна лежать на окружности с центром в точке B радиуса AB. Проведемдугу (2) этой окружности. Аналогично проведемдугу (3) окружности такого же радиуса с центром в точке C. На ней должна лежать вторая из оставшихся вершин (E).

Вспомним, что мы хотим: расстояние между вершинами D и E должно быть равно расстоянию между остальные вершинами. Поэтому, не изменяя расстояния циркуля, ставим одну из его ножек в какую-нибудь точку D однойдуги (это будет чет-

Рис. 1.
Рис. 2.

Рис. 3.

вертая вершина звезды) и проводим окружность (4), которая пересечется другой (3) в точке $E$ . Получили пятую вершину. Соединим отрезками полученные точки. И что же? Длины отрезков равны, а звезда явно неправильная.

Вторая попытка

Где же ошибка? Она сразу видна. Стороны у звезды равны, а вот углы при вершинах — нет. Как же сделать, чтобы были равны и все стороны, и все углы?

Нарисуем окружность. Разобьем ее на 5 равных дуг, а затем соединим концы дуг через одну (рис. 3). Нет сомнений, что это и есть нужная нам звезда! Только как разделить окружность на 5 равных частей? С помощью транспортира? Во всей окружности $360^\circ$ , значит, в каждой части по $72^\circ$ . Берем транспортир… где же он? Опять куда-то исчез. А может быть, сумеем обойтись и без него?

Приближенный метод

Попробуем «на глазок» отложить на окружности угол в $72^\circ$ . Так… семьдесят два градуса — это больше $60^\circ$ , но меньше $90^\circ$ . Где-то между ними, чуть ближе к $60^\circ$ , чем к $90^\circ$ . Дугу

Рис. 4.

в $60^\circ$ отложить нетрудно, так как длина хорды, стягивающей ее, равна радиусу окружности. Еще легче построить и дугу в $90^\circ$ . Отметим концы «нужной» дуги (в $72^\circ$ ) — точки $A$ и $B$ (рис. 4).

Проверим, действительно ли дуга $AB$ равна $\frac{1}{5}$ дуги окружности. Отложим с помощью циркуля дугу $BC$ , равную $AB$ , затем дугу $CD$ , дальше $DE$ и, когда ножку циркуля мы поставим в точку $E$ , то вторая его ножка должна попасть в точку $A$ . Попала? Нет. Значит, мы все делали зря? Нет!

Отметим точку $F$ , в которую попала вторая ножка-циркуля. Мы ошиблись на дугу $AF$ , значит, каждый раз мы ошибались на $\frac{1}{5}$ этой дуги, причем, если точка $F$ оказалась правее точки $A$ , то мы выбрали дугу больше, чем нужно, а если левее, то меньше требуемой.

Сделаем поправку. «На глазок» отложим на дуге $AF$ ее пятую часть — дугу $AG$ (рис. 5). Дуга $GB$ уже гораздо точнее приближается к $\frac{1}{5}$ дуги окружности, чем дуга $AB$ . Теперь сделаем еще раз такую же проверку, что и раньше. Если после пяти откладываний ножка циркуля попадет в черное пятнышко, которым мы отметили точку $G$ , то построение выполнено с нужной точностью. А ес-

ли нет, то еще раз таким же способом уточним размер дуги. Двух уточнейный практический всегда хватает.

Точное решение
А нельзя ли сразу получить точное решение? Оказывается, можно.

Вот один из «решетов» такого построения. Пусть $BC$ — диаметр окружности (1), $AO$ — перpendикулярный ему радиус (рис. 6). Проведем окружность (2) радиуса $BO$ с центром $B$ . Через точки пересечения окружностей (1) и (2) проведем прямую и обозначим через $D$ точку ее пересечения с диаметром. Затем с центром в точке $D$ радиусом $DA$ проведем еще одну окружность (3). Точку ее пересечения с диаметром обозначим через $E$ . Проведя окружность (4) радиуса $AE$ с центром $A$ , в пересечении с окружностью (1) получим точки $M$ и $M'$ .

Дуга $AM$ равна дуге $AM'$ и равна $1/5$ дуги первого окружности.

Чтобы обосновать это, нужно знания математики старших классов школьы.

Вы можете сами придумать обозначенный решетт построения, если прочитете статью А. Д. Бендукидзе «Золотое решение» («Квант», 1973, № 8). Там расссказывается о заменеальных геометрических свойств правильно пятоконечной звезды.

Обсуждение
Некоторые читатели возникловозпощут: «Зачем же расссказывать о

Рис. 5.

Рис. 6.

приближенном построении, если есть точное?» А вот зачем.

Во-первых, что значит — «точное»? Если его проведится идеальным инструктамми, то оно действительное точно. Но вы же будете чертить реализыми карандашом, циркулем и линейкой. Заведomo при этом получится неточный результат.

А, во-вторых, приближенный метод годится для деления окружности на любое число равных частей, следовательно, достаточно для этого запомнить только один метод.

Далее, этот метод проще точного. А простота часто бывают аргументом. Так, многие математические вычисления на электронных вычислительных машинах (ЭВМ) проводят приближенными методами (хотя существует и точные) лишь потому, что их использование городадо проще, а в ряде случаев возможно машины не позволяют воспользоваться точным, но громоздким методом.

И последнее. Оказывется, нет и не может быть точных методов для деления окружности на 7, 9, 11, 13, 14, 18, 21, 22, 23, 25 и еще много других равных частей. Доказательство этого факта принадлежит замечательному немецскому математике Карлу Фридриху Гауссу.