Полуправильные многогранники

Квант 1976, №1 с. 2, 4, 5, 7 Тег AER0

Полуправильные многогранники

Читатели журнала «Квант» не раз встречались с правильными многогранниками. У правильных многогранников грани — равные правильные многоугольники, и все многогранные углы равны. Но есть ещё и такие многогранники, у которых все многогранные углы равны, а грани — правильные многоугольники нескольких видов. Они не могут быть отнесены к правильным — их называют равноугольно полуправильными многогранниками.

Простейшим из полуправильных многогранников является правильная $n$ -угольная призма ( $n=3$ , 5, 6, $\ldots$ ), все рёбра которой равны, а боковые грани — квадраты. Основания, например, шестиугольной призмы — правильные шестиугольники: у неё 12 вершин, 8 граней и 18 рёбер.

Рис. 1

Другой представитель равноугольно полуправильных многогранников — так называемая антипризма. Представьте себе, например, два правильных шестиугольника, расположенных в параллельных плоскостях, один из которых повёрнут вокруг центра относительно другого на $30^\circ$ . Каждая вершина как нижнего, так и верхнего шестиугольников, соединена с двумя ближайшими вершинами другого. Расстояние между шестиугольниками (основаниями) подбирается так, чтобы боковыми гранями были правильные треугольники (рис. 1) — в случае шестиугольной антипризмы это расстояние (высота) равно $H=a\sqrt{\sqrt3-1}$ (проверьте, что это так). У шестиугольной антипризмы 12 вершин, 14 граней и 24 ребра, все рёбра и все четырёхгранные углы равны между собой.

Используя для призм и антипризм все правильные многоугольники, мы получим бесконечные серии полуправильных многогранников. Однако эти серии не исчерпывают всех равноугольно полуправильных многогранников: существуют и другие полуправильные многогранники. Простейший из них получится, если срезать углы правильного тетраэдра плоскостями, каждая из которых отсекает третью часть от рёбер, выходящих из одной вершины (рис. 2); этот многогранник имеет 12 вершин, 8 граней и 18 рёбер, и называется усечённым тетраэдром. Все ero трёхгранные углы равны между собой — каждый из них содержит по два плоских угла в $120^\circ$ и один плоский угол в $60^\circ$ . У усечённого тетраэдра четыре грани являются правильными шестиугольниками, и ещё четыре — правильными треугольниками.

Рис. 2

Рис. 3

Если описанным образом срезать вершины правильного икосаэдра, то мы получим ещё один полуправильный многогранник (см. рис. 3). Он называется усечённым икосаздром и напоминает изображение футбольного мяча, которое можно увидеть на экране телевизора.

Из других правильных многогранников можно получить ещё несколько полуправильных многогранников. Наиболее сложный из них называется плосконосым додекаэдром и имеет 60 вершин, 92 грани и 150 рёбер.

Рис. 4

Рис. 5

Сколько же всего существует полуправильных многогранников? Более двух тысяч лет думали, что только тринадцать (их называют телами Архимеда), не считая двух бесконечных серий, составленных из призм и антипризм. Но совсем недавно советский математик В. Г. Ашкинузе нашёл ещё один полуправильный многогранник. Посмотрите на рисунок 4: если в этом многограннике верхнюю «восьмиугольную чашу» повернуть на $45^\circ$ , то получится многогранник, изображённый на рисунке 5. Именно его и обнаружил Ашкинузе. Правда, этот многогранник «не совсем архимедово» тело: он не обладает некоторыми свойствами, которыми сбладают первые тринадцать представителей (но зато у него єсть свои свойства). Многогранник Ашкинузе иногда называют «псевдоархимедовым» телом.

Но оказывается, что тела Архимеда не исчерпывают всех видов полуправильных многогранников. Возьмём шестиугольную призму (рис. 6) и проведём плоскости через середины каждой тройки рёбер, выходящих из одной вершины. Взаимно пересекаясь, эти плоскости образуют новый многогранник, имеющий столько же граней, сколько вершин было у призмы (в данном случае — 12). Одна из таких плоскостей — $SFG$ — содержит отрезок $AB$ , принадлежащий основанию призмы, а другая плоскость — $PFG$ — содержит отрезок $CD$ , принадлежащий нижнему основанию призмы. Так как $[AB]\parallel[CD]$ , то плоскости $SFG$ и $PFG$ пересекаются по прямой $FG$ , параллельной $AB$ . Образовавшийся многогранник представляет собой объединение двух равных правильных шестиугольных пирамид, вершины $S$ и $P$ которых лежат по разные стороны их общего основания. Многогранник такого вида называется бипирамидой. Шесть плоскостей, проходящие через точку $S$ , пересекаются с плоскостями, проходящими через точку $P$ , образуя правильный шестиугольник, серединами сторон которого являются середины боковых рёбер призмы. Отсюда следует, что бипирамида, получившаяся из шестиугольной призмы, имеет 8 вершин и 18 рёбер. Она содержит многогранные углы двух видов: шестигранные и четырёхгранные. Так как все грани бипирамиды — равные между собой равнобедренные треугольники, то её относят к равногранно полуправильным многогранникам.

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

Аналогично можно получить ещё один равногранно полуправильный многогранник, если провести плоскости через середины каждой четвёрки рёбер антипризмы, выходящих из одной вершины. Так, плоскость $SM_1QT_1$ (рис. 7) проходит через середины $M$ , $T$ , $G$ и $H$ рёбер $BA$ , $BC$ , $BD$ и $BE$ . Число граней этого многогранника равно числу вершин антипризмы, т. е. 12. Подсчитаем число вершин такого многогранника. Через середину каждого из боковых рёбер антипризмы проходит ребро нового многогранника, образуя пространственный двенадцатиугольник. Прибавив к его двенадцати вершинам точки $S$ и $P$ , получим, что всего 14 вершин. Нетрудно видеть, что этот многогранник имеет 24 ребра. Все его грани равны между собой и являются четырёхугольниками, сложенными из двух равнобедренных треугольников с общим основанием (такой четырёхугольник называется дельтоидом). Многогранник содержит два шестигранных угла и двенадцать трёхгранных углов. Все углы правильные. (Выпуклый многогранный угол называется правильным, если все его плоские углы равны.) На рисунке 8 дан общий вид такого многогранника.

Если провести плоскости через середины каждой тройки рёбер, исходящих из одной вершины усечённого тетраэдра (рис. 2), то, взаимно пересекаясь, эти плоскости образуют новый равногранно полуправильный многограшник. Он имеет 12 граней, 8 вершин и 18 рёбер. Построение такого многогранника изображено на рисунке 9. У этого многогранника по четыре правильных трёхгранных и шестигранных угла, а гранями являются равные между собой равнобедренные треугольники. Общий вид многогранника показан на рисунке 10.

Рис. 9

Рис. 10

Между равноугольно полуправильными многограннниками и получающимися из них равногранно полуправильными многогранниками существует определённая зависимость. Сопоставим число вершин, граней и рёбер каждой пары рассмотренных многогранников.

У шестиугольной призмы 12 вершин, 8 граней и 18 рёбер, а полученная из неё бипирамида имеет 8 вершин, 12 граней и 18 рёбер. Таким образом, числа вершин и граней у призмы и у бипирамиды как бы «переставлены», а число рёбер остаётся неизменным. Убедитесь, что такое же соотношение наблюдается и у остальных пар рассмотренных многогранников. Установленная закономерность вытекает из принципа двойственности, который состоит в следующем: для всякого предложения относительно точек, прямых и плоскостей всегда можно сформулировать двойственное ему предложение, заменив слово «точка» словом «плоскость», а слово «плоскость» — словом «точка», оставив слово «прямая» без изменения.

Принцип двойственности относится не только к многогранникам: он распространяется на все фигуры и утверждения, которые рассматриваются в проективной геометрии. Там же этот принцип находит своё обоснование, а здесь мы доказывать его не будем.

Выше указывалось, что существует 14 равноугольно полуправильных многогранников. Каждому из них соответствует определённый двойственный ему равногранно полуправильный многогранник. На рисунке 11 вы видите три архимедовых тела (сверху), изображённых вместе с их равногранно полуправильными с«двойниками» (внизу). С полным перечнем всех этих многогранников читатели могут ознакомиться по статье В. Г. Ашкинузе, помещённой в Энциклопедии Элементарной Математики, книга четвёртая (М.: Наука, 1963).

а)

Проверьте, есть ли равногранно полуправильный многогранник, отвечающий телу, найденному Ашкинузе. Подумайте, какие свойства равноугольно полуправильных многогранников обеспечивают наличие «двойственных» им равногранно полуправильных многогранников.

Упражнения

Что представляет собой антипризма, основаниями которой служат правильные треугольники? Определите двойственный ей многогранник.
Вычислите объём антипризмы с шестиугольным основанием (рис. 1), считая, что длина ребра равна $a$ .
Многогранник, показанный на рисунках 9 и 10, можно получить другим способом. Достаточно на каждую грань правильного тетраэдра поставить правильную треугольную пирамиду. Вычислите высоту этой пирамиды и плоский угол при её вершине, если ребро тетраэдра равно $a$ .
В условиях упражнения 3 вычислите объём полученного многогранника.
Вычислите плоский угол $\psi$ при вершине грани многогранника, показанного на рисунке 7, и постройте его развёртку.
Срезая углы правильного октаэдра, постройте полуправильный многогранник, у которого 8 граней — правильные шестиугольники и 6 граней — квадраты, и найдите его объём.
Определите многогранник, двойственный к усечённому октаэдру (упражнение 6). Найдите плоский угол $\phi$ при вершине его грани.