Квант
Информация

Новый приём во Всесоюзную заочную математическую школу

Раббот Ж. М.

Квант 1976, №1с. 68-69Тег Y12V

68

Новый прим
во Всесоюзную заочную
математическую школе

Во Всесоюзную заочную математическую школе Академии педагогических наук СССР при Московском университе (ВЗМШ) принимаются ученики сельных классов. Школьники, проживающие в Москве, Ленинграде и их пригородах, в школе не принимаются.
Занятия начнутся с 1 сентября 1976 года. Обучение в школе бесплатное.
Учащиеся, принять в школе, будут регулярно получить задания, в которых содержатся обучения теоретических вопросов и задачи для решения. Срок обучения—три года.
Ниже публикуются задания вступительного контрольной работы. Желающее поступить в ВЗМШ должны выступать решения этих задач не позднее 20 марта 1976 года. После проверки работ (примерно в июле 1976 года) будет сообщено, принять ли вы в школе. Премуществом при поступлении пользоваться школьники, проживающие в сельской местности и рабочих поселках.
Хотя некоторые из вступительных заданий отличаются по внешнему виду от обычных школьных, для их решения не требуется никаких дополнительных знаний по математике. Для того чтобы быть принятым в школе, не обязательно решить все задачи без исключения. При оценке работы будет учитывать не только количество решенных задач, но и качество решения. Решение каждой задачи должно быть обосновано. Ответ без всяких обоснований может быть не зачитан. Если в задаче возможны разных ответов, то надо указыть их все.
Работа должна быть выполнена на русском языке в ученической темрадии в кlemку. Вступительные работы обрабатно не выступают и решены на их невыдаются.
В конверт вместе с тетрадью нужно включить листок бумаги размером 14×6 см с вашим почтовым адресом (мы наклейем его на конверт, когда будет посылать вам ответ).
На обложку тетради наклейте листок клетчатой бумаги, разграфив и заполив его по следующему образцу (инначе работа проверяется не будет):
Область
Фамилия, имя
Год рождения
Класс
Школа (полное название)
Фамилия, имя, отчество учитель математики
Место работы и должность родитель
Полный почтовый адрес

Волоодская
Иванов Петр
1962 г.
7-й класс «А»
школа № 2 г. Томмы
Никаноров Владимир Алексеевич
отец — шофер автовабы № 3,
мать — домашняя хозяйка
123456, г. Томма, ул. Ленина
д. 3, кв. 23.

Результаты проверки

Школьники, проживающие в Архангельской, Вологодской, Калининградской, Ленинградской, Мурманской, Новгородской и Псковской области, Коми и Каральской АССР, Белорусской, Латвийской, Литовской и Эстонской СCP, присвядают работы по адресу: e. Ленинград, П-228, ул. Савушкина, 61. Спецификат при ЛГУ. ЗМШ. На конкурс.
Учащиеся, проживающие в Воронежской, Белгородской, Тамбовской, Курской и Липецкой области, присвядают работы по адресу: e. Воронеж, Университет, ФЗМШ. На конкурс.
Школьники, проживающие в остальных области РСФСР и в других соизных ресурсных, должны присвянуть работы по адресу: 117234, e. Москва, В-234, МГУ, мех-mam, ВЗМШ. На конкурс.

69

Задание вступительного контроля работы в ВЗМШ в 1976 году

  1. По дороге едет телега. Динамите ее колес — 1 метр. В одно колесо вбит гвоздь. Каждый раз, когда гвоздь ударяется о дорогу, разделяется шечок. Шелчки повторяются каждую секунду. С какой скоростью едет телега?

  2. Три примыемые пересекаются в одной точке так, что каждые две из них образуют угол 60°. Точка M находится на расстоянии 3 см от одной прямой и на расстоянии 5 см — от другой. На каком расстоянии от третьей прямой может находиться точка M?

  3. Какую цифру означает каждая из буков M, И, Л, А, Н в равенстве НАЛИМ × 4 = ЛИМАН?

  4. Какое наиболее число точек самопересечения может иметь замкнутая ломанная линия, состоящая из 7 звенев?

  5. Сколько существует пар целых чисел (x; y), удовлетворяющих неравенству 2x² + 2y² < 21976?

  6. Дедушка с внутри помещением катается на льжах. Бабушка знает, что поровному месту оба едут со скоростью 7 км/час; под гору: дедушка — 8 км/час, внутри — 20 км/час; в гору: дедушка — 6 км/час, внутри — 4 км/час. Оба проехали по одному и тому же маршруту.

Может ли бабушка определить, что больше — противность спусков или подъемов на их пути, — если первым вернулся
a) внутри
b) дедушка?

  1. Сколько стороны может иметь многоугольник, являющийся:
    a) пересечением;
    b) объединением треугольника и выпуклого четырехугольника? (Укажите все возможные значения и нарисуйте примеры.)

  2. Может ли вписать в клетки таблицы 3 × 3 числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 так, чтобы каждые два числа, стоящие в соседних клетках, отличались не больше чем на 2? (Соседними называются клетки, имеющие общую скорону.)

  3. Может ли разрезать квадрат на несколько остругольных треугольников?

  4. Найдите три числа, каждое из которых равно квадрату разности двух других.

  5. Доказите, что при любом натуральном n числе n⁵ + n⁴ + 1 — составное.

  6. На плоскости нарисованы три конгузных отрезка. Сколько осей симметрины может иметь это множество (объединение данных трех отрезков)?

  7. Укажите три последние цифры суммы 1¹⁰⁰ + 2¹⁰⁰ + 3¹⁰⁰ + 4¹⁰⁰ + … + 99999⁹⁰ + 99999⁹⁰.

Ниже мы приводим для образца тщательно выполненное решение одной из задач вступительного работы прошлого года. Надеемся, что и присваемые вам решения будут так же хорошо обоснованы.

Элементами множества A, B и C служат числа 1, 2, 3, …, 9. Известно следующие:
A∩B = {1; 2}; B∩G = {3; 7}; A∪B = {1; 2; 3; 6; 7; 8}; A∪C = {1; 2; 3; 4; 5; 7; 9}.
Найдите множества A, B и C. (Здесь A∩B — пересечение множества A и B, A∪B — объединение этих множества.)

Решение. В этой задаче можно расчудить о каждом числе отдельно, фактически решая девять независимых задач.

  1. Начнем с числа 1. Поскольку 1 принадлежит пересечению A и B, то 1 принадлежит общим множества A и B. Если бы 1 принадлежала еще и C, то 1 принадлежала бы пересечению B и C, а это не так. Значит, 1 не принадлежит C.

  2. Число 2 входитровно в те же множества, что и 1. Поэтому для 2 проходит такое расчуджение.

  3. Число 3 входит в B∩C, поэтому оно входит в B, и в C. Но 3 не входит в A∩B, поэтому 3 не входит в A∩C, поэтому оно входит только в C.

  4. Для 5, 6, 8, 9 те же расчуднения, что и для 4.

  5. Для 7 те же расчуднения, что и для 3.
    Ответ. A = {1; 2}; B = {1; 2; 3; 6; 7; 8}; C = {3; 4; 5; 7; 9}.

Если вы хорошо разобрались в приведенном решении, вам легко будет понять, что решение можно записать и гораздо коорче.

  1. Так как множества A∩B и B∩C не имеют общих элементов, то нет такого элемента, который принадлежал бы одновременно всем тем множества A, B и C. Отсюда следует, что числа 1, 2 принадлежат A, и B, но не принадлежат C, а числа 3 и 7 принадлежат B, и C, но не принадлежат A.

  2. Если элемент не принадлежит K∪L, то он не принадлежит ни K, ни L, а если он одновременно принадлежит K∪M, то он принадлежит M. Отсюда следует, что числа 6 и 8 принадлежат B, но не принадлежат A, и C, а числа 4, 5, 9 принадлежат C, но не принадлежат A, или B.

Ж. Раббом