«Великое искусство»

Квант 1976, №9 с. 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 Тег SIRB

С. Гиндикин

«Великое искусство»

Эта статья посвящена истории главного достижения математики XVI века — решения алгебраических уравнений третий и четвертой степени. Любителей математики до сих пор привлекют драматические события, связанные с этим открытом, в которых приuidлю переплелись судьбы четырех учены — дель Ферро, Тартальи, Кардано и Феррари. В 1976 г. исполянется 475 лет со дня рождения Кардано, 400 лет со дня его смерти и 450 лет со дня смерти дель Ферро.

В нашем рассаке об этих математиках и их открытии коев-что остановся непроясненным: многоГО мы не знаем о событиях четырехлетней давности.

Заглавие статьи — это часть названия книги Кардано, выведей в 1545 году. Феликс Клейн писал о ней: «Это в высшей степени ценное произведение содержит зародыш современной алгебры, выходящие за пределы античной математики».

XVI век был веком возрождания европейской математики после средневековой спячки. Сначала европейские учены пытались разобраться в том, что было сделано их античными и восточными (индийскими и арабскими) предшественниками. Первые собственные достижения математiques XVI века относились к алгебре. (Это связано с тем, что в XVI веке алгебра только зарождалась, тогда как геометрия представляла из себя сложившуюся научку.)

Состояние алгебры на рубеже XVИ и XVI веков было подготовлено в одной из первых печатных книг по математике «Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениями и пропорциональности», написанной в Венеции в 1494 году. Книга была написана на инальянском языке. Это была одна из первых научных книг, написанных не на латыни. Ее автор—монах Лука Пачоли, друг великого Леонардо да Винчи. В конце книги Пачоли пишет: для решения кубических уравнений «искусством алгебры еще не дан способ, как не дан способ квадратуры круга». Эти слова, по-видимому, были восприняты как утверждение о невозможности формуля们 для решения кубических уравнений.

Сциппон делы Ферро

Нашелся человек, который мне Пачоли не остановил. Это был профессор математики в Болонье Сциппон делы Ферро (1465—1526), сумевший найти способ решать уравнение

$x^3 + ax = b.$

(1)

Поскольку отрицательными числами в то время еще не пользовались, буквенные коэффициенты в уравнения (1) (и всуду далее в этой статье) предполагаются положительным. Поэтому уравнения (1) и

$x^3 = ax + b$

(2)

восприннимались как совсем разные уравнения! Изложение самого делы Ферро до нас не дошло. Свой способ делы Ферро сообщил это и преемнику по кафедре Аннибалу делла Наве и ученику Антонио Марю Фиоре. После смерти учитель Фиоре решил воспользоваться доверенной ему тайной, чтобы стать непобедимым водействиях по решению задач. В конце 1534 года он вызвал на подлинок математика из Венеции Никколо Тарталью.

Никколо Тарталья

Тарталья родился около 1500 года в Брешии, в семье бедного конного

ладает каким-то танистенный способ решения уравнения (1). Перспектива угодить парадным обедом друзей Фиоре в количестве, равном числу задач, решенных победителем (таковый был правила!), не привлекала Тарталью. Он прилагает танические условия, и за восемь дней до назначенного срока (срок истекал 12 февраля 1535 г.) счастье улыбается ему: искомый способ найти задачи Тарталья (страным образом, он не справился даже с задачей, которое можно было решить методом делы Ферро).

Вскоре Тарталья нашел способ решать уравнение (2).

О подиннике Фиоре — Тарталья и пообеде Тарталья знали многое. К нему обращаются с просбами раскрыть его секрет. Он открывается, но нашелся проситель — Джероламо Кардано, который уговорил его.

Джероламо Кардано
Кардано родился 24 сентября 1501 года в Павни, в семье юриста. Окончив университет, Джероламо решает посвятить себя медицинне. Поскольку он был незааконногоределим ребенком, ему вначале пришлось долго практиковать в провинции. Лишь в августа 1539 г., специально изменив для этого правила, Кардано принял в коллегию врачей Милана. Позже он стал даже ректором этой коллегии. Кардано был одним из самых знаменитых врачей своего времени; верятно, вторым — после своего друга Bezалия.

На склоне лет Кардано написал автобиографию «О моей жизни». В ней он всего несколько раз упоминает о занятиях математкой и подробно рассказывает о своих исследованиях по медицинне. Кардано утверждает, что он описал приемы_LEчения до пяты тысяч более, что число решенных им проблем доходит до сорока тысяч, а число мелких указаний — до двухсот тысяч. Конецно, к этим цифрам следует относиться с должной долей скептицзима. Все же слова Кардано-врача была несомненной. Кардано утверждает, что в медицинской практике его постигли лишь три недаччи.

Однако занятия медицинной не полностью поглощали Кардано. В свободное от медицинны время он занимался «всем на свете»: философей, астрологей, физикой, механикой, математикой.

Кардано составлял гороскопы и живых, и мертвых (Христа, Петраки, Дюрера, Bezалия, Лютера). Услугами Кардановстролога пользовался Папа Римский. (По одной недоброй легенде, Кардано покончил с собой, чтобы подтвердить составленный им собственный гороскоп.)

Книга Кардано «О тонких материалов» (1550 г.) была переведена на французский и в течение всего XVII века служила популярным учебником по статике и гидросатике. Галилей при наблюдении над качанием естественного матрика — паникадила в соборе — пользовался указанием Кардано об использовании собственного пульса для измерения времени. Кардано писал о необходимости вечного двигаателя. Некоторые его замечания можно интерпретировать как принцип возможных перемещений. Опытным путем Кардано установил отношение плотности воздуха и воды. Для королевской кареты он изобрел систему соединения двух валют, которая ниже называется кардом (карданный подвес, карданный вал, карданное сошленение) и широко применяется в автоматике. (Впрочем, справедливо требует отметить, что идея такой системы восходит к античности; кроме того, на одном из рисунков у Леонардо да Винчи изобранен компас с карданным подвесом.)

Некоторые сочинения Кардано были своевообразными энциклопедиями. В эпоху Возрождения энциклопедии писались одночками. Первые энциклопедии, созданные коллективным трудом, появились лишь через полтора века.

Кардано написал огромное количество книг (часть из них была напечатана, часть осталась в рукописах, часть он уничтожил, ожидая arrestа (см. ниже)). Однако только их описание составило целую книгу «О собственных сочинениях». Многие годы были получены его книги по философии и этике. Его книга «Об утверении» была переведена на английский язык и оказала влияние на Шекспира. Некоторые шестпироведы утверждают даже, что Гамлет произносит свой

замененный монолог «Быть или не быть…», держа эту книгу в руках.

Кардано сорок лет играл в шахматы («я никогда не мог бы выразить в кратких словах, сколько ушерба, без всякого за него возмещения, причинили они моим домашним делам»), двадцать пять — в кости («но еще более шахмат повредили мне кости»). Ради игры он временами бросал все занятия. Побочный продукт этой страсти Кардано была «Книга об игре в кости», написанная в 1526 году, но напечатанная лишь в 1663 году. В этой книге рассматривают некоторые вопросы теории вероятности и комбинаторики; она содержит наблюдения над психологическим играров.

Кардано и Тарталья

К 1539 году Кардано заканчивает свою первую книгу, целиком посвязыванию математике «Практика общеей аргуметики». По его замыслу, она должна была заменить книгу Пачоли. Услышав о секрете Тарталья, он загорелся желанием украсить им свою книгу.

В января 1539 года Кардано обращается к Тарталье с просьбой передать ему правило решения уравнения (1) или для опубликования в своей книге, или под обещание держать сообщенное в секрете. Тарталья открывается: «Передайте его светлости, чтобы он простил меня, но если я захочу опубликовать свое открытие, то я сделаю это в моем собственном труде, а не в книге другого». 12 февраля Кардано повторяет свою просьбу. Тарталья неумолим. 13 марта Кардано приглашает Тарталью к себе в Милан, обещая представить его губернатору Ломбардии. По-видимому, эта перспектива представила Тарталью: он принимает приглашение. 25 марта в доме Кардано состоялась решающая беседа.

Вот отрывок из записи этой беседы (следует иметь в виду, что запись сделана Тарталей; ученик Кардано Феррари утверждает, что она не вполне соответствует действительности):

«Никколо. Я говорю Вам: я отказал Вам не из-за одной только этой главы и сделанного в ней открытия, но из-за тех вещи, которые можно открыть, зная его, так как это ключ, отмыкающий путь для исследованияbecищеленного количества других разделов. Я бы уже давно нащел общее правило для многих других проблем, если бы не был в настоящее время занят переводом Евклида на народный язык (в настоящее время ядовел перевод до конца 13-й книги). Но когда эта работа, которую я уже нацал, будет закончена, я собираюсь издать труд для практического применения вместе с новой альгеброй… Если я вдам ее какому-нибудь теоретику (каким является Ваша светлость), то он легко может с помощью этого обяснения найти другие главы (и это обяснение легко приложить к другим вопросам) и опубликовать плоды моого открытия под собственным именно. Эти будут разбиты все мои планы.

Мессер Джероламо. Я клянусь Вам связыванием господа бога и не только даю Вам слово чистого человека Никогда не опубликовать этого Вашого открытия, если Вы мне его доверите, но обещаю, и да будет моя совесь истинного христианна Вам порукой, защищать его так, что после моей смерти никто не сможет прочитать написанное. Если я, по Вашему мнению, заслуживаю доверия, то сделайте это, если нет, то оставим этот разговор.

Никколо. Если бы я не поверил этой Вашей клагте, то, конечно, заслужил бы того, чтобы меня самого сочили неверующим».

Итак, Тарталья дал уговорить себя. По приведенной записи трудно понять, что его заставило изменить решение. Нужели его так потрясликляты Кардано? Сообщив тайну, Тарталья немедленно узжает из Милана, отказывшись от свидетельства с губернатором, ради которого он предприял путемстворение. Уж не загиппотизировал ли его Кардано?

Когда Тарталья получил 12 мая свеженепечатанную «Практику общеей аргуметики» без своего «решетта» (свой способ решения уравнения (1) он сообщил в форме латинского стихотворения: формул тогда писать не умели), он несколько успокоился.

Кардано получил от Тартальи готовый способ решения уравнения (1) без всяких намеков на доказательство. Он затрагил много сил на тщательную проверку и обоснование правила. С нашей колокольни нельзя понять, в чем проблема: подставь в уравнение и проверь! Однако отсутствие развитой алгебраической символьки делало то, что

Милан (гравюра на дереве 1493 года)

сегодняя автоматическая выполняет любой школьник, доступным лишь изображим. Не познакомившись с подлинными текстами того времени, нельзя оценить, насоколько алгебраический аппарат «экономит» мышление. Читатель должен все время иметь это в виду, чтобы не забудаться относительно «привилносты» проблем, вокруг которых клиент страсти в XVI веке.

Луиджи Феррари
В математических занятиях Кардано с неокотрьх пор помогал юный Луиджи Феррари (1522—1565). В составленном Кардано списке его 14 учеников Феррари фигурирует как один из трех наиболее выдающихся.

В 1543 г. Кардано и Феррари поехали в Болонью, где делла Наве позволил им познакомиться с бумагами покойного делу Ферро. Там они убедились, что последнему уже было известно правило Тартальы.

По-видимому, современники почти не знали про формулу делы Ферро. Вряд ли Кардано так настоящую атаковал бы Тарталью, если бы он знаал, что ту же информацию он может получить у делла Наве.

Сейчас почти все истории математики соглашаются, что делу Ферро придумал формулу, что Фиоре знаал ее и что Тарталья переоткрыл ее, зная, что у Фиоре она есть. Оdnako ни один из этих фактов строго не доказан!

В конце жизни Тарталья писал: «…я могу заверить, что эта описанная теорема не была еще доказана ни Евклидом, ни кемлюбо другим, а одним лишь Джероламо Кардано, которое мы ее показали… я в 1534 году (в другом месте написано, что это произшло 4 февраля 1535 года — С. Г.) нашел в Венеции обшую формулу уравнения…»

Трудно свести концы с концами в этой запутанной истории.

К 1545 году Кардано научился решать не только уравнения (1) и (2), но и уравнение
$x^3 + b = ax,$
(3)
а также «полное» кубическое уравнение, т. е. уравнение, содержащое член с $x^2$ . К тому же времени Феррари придумал, как решать уравнение четырехей степени.

«Великое искусство»
Знакомство ли с бумагами делы Ферро, сильное ли давление со стороны Феррари или, скорее всего, нежелание похоронить результаты многолетней работы привели к тому, что

Кардано включил все известное ему о кубических уравнениях вышедую в 1545 году книгу «Великое искусство или о правилах алгебры».

В предисловии Кардано излагает историю вопроса: «… в нашей время Сциппон дель Ферро открыл формулу, согласно которой куб неизвестного плоскости неизвестное равен числу. Это была очень красивая и замечательная работа. Так как это искусство превосходит всю человеческуюLOBкость и всю ясность ума смертного, то его нужно рассматривать как подарок небесного произхождения, а также как способность силы ума, и это настолько слабое открытие, что от того, кто мог его достингать, можно ждать, что он достинг всего. Соревнуясь с ним, Николло Тарталья из Брешии, наш друг, будучи вызван на составление с учеником дель Ферро, по имени Антоно Марио Фиоре, решил, дабы не быть побежданым, ту же самую проблему, и после долгих просыпал ее мне. Я был введен в забужждение словами Луки Пачоли, который говорит, что нет общего решения такого рода уравнения, и, хотя я обладал уже многоми, много самим сделанным открытиями, я все же не отчаивался найти то, чего я не смел искать. Однако, когда я получил эту главу и добавляю ее решения, то я увидел, что с ее помощью можно многое сделать еще; и уже с повышенной уверенностью в своих делах я, при использовании, открыл дальнейшее, часть сам, часть с Лодовико Феррари, моим бышним учеником».

В модернизированном виде способ, который Кардано находит решение уравнения (1), можно изложить следующим образом. Будем искать решение уравнения (1) в виде $x = \beta - \alpha$ . Тогда $x + \alpha = \beta$ и

$x^3 + 3x^2\alpha + 3x\alpha^2 + \alpha^3 = \beta^3.$ (4)

Поскольку $3x^2\alpha + 3x\alpha^2 = 3x\alpha(x + \alpha) = 3x\alpha\beta$ , равенство (4) можно переписать в виде

$x^3 + 3\alpha\beta x = \beta^3 - \alpha^3.$ (5)

Попытемся по пале $\langle a, b \rangle$ так подобрать пару $\langle \alpha, \beta \rangle$ , чтобы (5) совпало с (1). Для этого необходимо, чтобы пара $\langle \alpha, \beta \rangle$ была решением системы

$\begin{cases} 3\alpha\beta = a, \\ \beta^3 - \alpha^3 = b \end{cases}$

или равносильно ей системы

$\begin{cases} \beta^3 \cdot (-\alpha^3) = -\frac{a^3}{27}, \\ \beta^3 + (-\alpha^3) = b. \end{cases}$

По теореме Виета $^*)$ $\beta^3$ и $-\alpha^3$ будут корнями всломогательного квадратного уравнения $y^2 - by - \frac{a^3}{27} = 0$ . Поскольку ищутся положительные корни уравнения (1), $\beta > \alpha$ . Значить, $\beta^3 = \frac{b}{2} + \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{a^3}{27}}$ и $-\alpha^3 = \frac{b}{2} - \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{a^3}{27}}$ . Следовательно,

$x = \sqrt[3]{\frac{b}{2} + \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{a^3}{27}}} - \sqrt[3]{\frac{b}{2} + \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{a^3}{27}}}.$

При положительных $a$ и $b$ корень $x$ также положительен.

Приведенная выкладка лишь в идеином отношении следует ходути рассужданий Кардано. Сам он рассуждает на геометрическом языке: если куб со стороны $\beta = \alpha + x$ разрезать плоскости, параллельными граням, на куб со стороны $\alpha$ и куб со стороны $x$ , получается, кроме двух кубов, при прямогольных параллелипеда со стороны $\langle \alpha, \alpha, x \rangle$ и три со стороны $\langle \alpha, x, x \rangle$ ; соответственно между объемами дает (4); для перехода к (5) параллелипеды разных типов попарно обединиются.

«Так как я сознавал, что тот отдел, который передал мне Тарталья, был открыт им при помощи геометрического доказательства, то я думал, что это и есть царский путь, ведущий ко всем другим отделам».

$^*)$ Сам Виет (1540—1603) жил позже Кардано, но тот частный случай его теоремы, который в школе называют теореми Виета, был по существу известен Кардано.

Уравнение (2) можно решить при помощи подстановки $x = \beta + \alpha$ , но здесь уже может возникнуть случай, когда исходное уравнение имеет три действительных корня, а вспомогательное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это так называемый «неприводимый» случай*). Он достивил много хлопот Карданов (и, вероятно, Тарталье).

Карданов решил уравнение (3), дав очень смелое по тем временам расчужение, обгрузывающее отрицательность корня. Никто до него не пользовался так решительно отрицательными числами, хотя и Карданов еще далек от свободного обращения с ними: уравнения (1) и (2) он рассматривает отдельно!

Карданов полностью разобрался и с общим кубическим уравнением $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ (здесь уж Тарталья совсем ни причем!), затем, говоря на современном языке, что подстановка $x = y - \frac{a}{3}$ уничтожает член с $x^2$ .

Карданов решается рассматривать не только отрицательные числа (он называет их «чисто ложными»), но и комплексные (их он называет «посистние софистическими»). Он заметает, что если с ними операровать по некоторым естественным правилам, то квадратному уравнению, не имеющему действительных корней, можно приписать комплексные корни. Возможно, к комплексным числам Карданов приSEL в связи с «неприводимым» случайем.

В «Великоом искусстве» был отражен и личный вклад Ferrari — решение уравнения четвертой степени.

На современном языке метод Ferrari для уравнения
$x^4 + ax^2 + bx + c = 0$
(полное уравнение четвертой степени легко совпадется к уравнению (6)) состоит в следующем.

*) О нем в «Кванте» уже писалось: 1971, № 11, с. 20 и 1973, № 3, с. 30. См. также с. 11 в данной номере.

Введя вспомогательный параметр $t$ , перепишем уравнение (6) в равносильной форме:
$\left(x^2 + \frac{a}{2} + t\right)^2 = 2tx^2 - bx + \left(t^2 + at - c + \frac{a^2}{4}\right).$

Подберем теперь значение параметра $t$ так, чтобы квадратный (относительно $x$ ) трехлен, стоящий в правой части уравнения (7), имел два совпадающих корня. Для этого нужно, чтобы дискриминант этого трехлен равнялся нулю:
$b^2 - 4 \cdot 2t \cdot \left(t^2 + at - c + \frac{a^2}{4}\right) = 0.$

Мы получили вспомогательное кубическое уравнение для $t$ . Найдем по формуле Карданов какой-нибудь его корень $t_0$ . Уравнение (7) можно теперь переписать так:
$\left(x^2 + \frac{a}{2} + t_0\right)^2 = 2t_0 \left(x - \frac{b}{4t_0}\right)^2.$

Уравнение (8) распадается на пару квадратных уравнений, дающих четыре искомых корня.

Таким образом, согласно методу Ferrari, решение уравнения четвертой степени совпадется к решению вспомогательного кубического уравнения и двух квадратных уравнений.

Место «Великого искусства» в истории математики определяется, в первую очередь, не конкретными результатами об уравнениях третьей и четвертой степени, а тем, что в нем впервые появляются общие алгебраические понятия (например, кратность корня) и утверждение (если уравнение $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ имеет три вещественных корня, то их сумма равна — $a$ ).

Фerrari и Тарталья

Нетрудно себе представить, какое впечатление произвел на Тарталью выход в свет «Великою искусства» (1545). В последней части книги «Проблемы и различные изобретения» (1546) он публикует переписку с Карданов и записи бескед с ним и обрушивается на него с бранью и упреками. Карданов не реагирует на выпад.

10 февраля 1547 г. Тарталье, вместе Кардано, ответает Феррари. Он возражает против упреков Тартальи, указывает на недочеты в его книге, в одном случае упрекает его в присвоении чужого результата и в положий памяти (похоже, что по тем временам это тяжело обвининие). В заключение Тарталья вызывается на публичный диспут «по геометрии, арифметике или связанным с ними дисциплиnam, таким, как Астрология, Музька, Космография, Перспектива, Архитектура и др.»

19 февраля Тарталья в своей ответе пытается в перепалку самого Кардано: «Я писал там в таком горячем и оскорбитальном тоне для того, чтобы заставить его светлость (а не Вас) собственного написатькое, либо у меня с ним старые счеты».

Обсуждение условий диспута затягивается. Тарталья начинает понять, что Кардано останется в сто-

роне. Тогда он начинает подчеркивать несамостояльность Феррари, именно его «креатурой Кардано», как тот сам назвал себя в своем вызове. Свои «Вопросы», которые он по традиции послал в ответ на вызов, он адресует им обомим: «Вы, мессер Джероламо, и Вы, мессер Луиджи…»

В конце концов Тарталья согласился наDISPUT с Феррари. DISPUT состоялся 10 августа 1548 года в Милане, в присутствии многих знаных особ, но в отсутствии Кардано. ОDISPUTE сохранились лишь короткие записи Тарталья, по которым почти невозможно восстановить истинную картину. Похоже, что Тарталья потерел порядке.

Впрочем, к проблеме, из-за которой возникок спор, DISPUT не имел никакого отношения. Да и вообще к выяснению истинных DISPUTей имели столъ же малое отношение, что и дуэли.

Дальнейшая судьба героев

За год до смерти Тартальы (он умер в 1557 году) начал выходить его «Общий трактат о числе и меры», содержащий полученные им в те годы результаты по комбинаторике и теории вероятности. О кубических уравнений в «Трактате» говорится очень мало. Кончил печататься «Трактат» уже после смерти автора.

Феррари после диспута получил большую известность: он читает публичные лекции в Риме, руководит управлением кадрами в Милане, участвует в воспитании сына короля. А вот следов в науке он больше не оставил! Умер он в 43 года (1565 г.).

Дольше их обонх прожил Карданов. Но жизнь его была не легкой. Один его сын отравил изревности жени и был казен. Другой сын стал брадяной и ограниченого отца. В 1570 году сам Карданов был посажен в тюрьму, и имущество его было конфискованно. (Причина его ареста неизвестна. Известно лишь, что в ожидании ареста он уничтожил 120 своих книг.) Кончил свои дни Карданов в Риме, на положении «частного человека» (его выражение), получшего скромную пенцию от Папы. Конец своей жизни он посвятил составленную автobiографической книги «О моей жизни». Последний упоминаемый в этой книге факт датируется 28 апреля 1576 года. Карданов умер 21 сентября 1576 года.

В своей книге Карданов несколько раз вспоминает Тарталью. Он пишет, что Тарталья предпочел имеет в нем «соперника и победителя, чем друг и человека, обязаного благодариями». В другом месте он относит Тарталью к числу своих книг, которые «не выши за пределы грамматики». Однако на последних страницах он пишет: «Сознаюсь, что в математике коe-что, но в самом деле ничтожное количество, я заимствовал у брата Никколо».

Неспокойно, видимо, было у него на душе!

К проблеме Тарталья — Карданов истории математики вернулся лишь в начале XIX века, обнаружив существование общенного Тарталья, который к тому времени был практическим забыт. Почти забытая история получила огласку, и за счет Тарталья были готовы стражаться не только профессIONALы, но и любители. При многократных передачах истории и проникновении ее в популярную литературу Карданов порой превращался в аванториста и злоедя, украшшего у Тарталья его открытые и давшего этому открытию свое имя.

К концу XIX века часть дискусии стала носить характер сервисных историком-математических исследований. Математики поняли, какую большую роль сыграли в науке XVI века работы Карданов. Стало ясно то, что еще раныше отмеgal Лейбниц: «Карданов был Великим человеком при всех его недостатках; без них он был бы совершенством».

Крупнейший историк математики Мориц Кантор (1829—1920; не путь с создателем теории многовеста Георгом Кантором!) высказал предположение, имеющее еще у Феррари, что Тарталья не переоткрыл правильное деление Ферро, а узнал его в готовом виде из вторых рук.

Полтора века то утихали, то новь разгорались страсти. Но, может быть, это один из тех вопросов, на которые теперь уже нельзя дать однозначный ответ?

А за формулой для решения кубического уравнения прочно укоренилось навание «формула Карданов».