Задачи наших читателей

9

дено «всего» с одной опечаткой: последняя подстановка в (14) была напечатана в виде $abac \leftrightarrow abacc$. Читатель Г. Н. Спиридович из Ленинграда, не поверив на слово автору брошюры, нашел для «искаженного исчисления Цейтина» исключый алгоритм. А вы могли бы?

Задачи

1. Построить алгоритм, расположющий эквивалентность слов, для ассоциативного исчисления в алфавите $\{a\}$ с единственной подстановкой
   $$a a \leftrightarrow \Lambda.$$
2. Та же задача для исчисления в алфавите $\{a, b\}$ с подстановками
   $$\begin{cases} aaaa \leftrightarrow \Lambda, \\ bb \leftrightarrow \Lambda, \\ abab \leftrightarrow \Lambda. \end{cases}$$
3. Та же задача для исчисления в алфавите $\{a, b\}$ с подстановками
   $$\begin{cases} aaaaa \leftrightarrow \Lambda, \\ bb \leftrightarrow \Lambda, \\ abab \leftrightarrow \Lambda. \end{cases}$$
4. Та же задача для исчисления в алфавите $\{a, b, c\}$ с подстановками
   $$\begin{cases} aa \leftrightarrow \Lambda, \\ bb \leftrightarrow \Lambda, \\ cc \leftrightarrow \Lambda, \\ ab \leftrightarrow c, \\ ac \leftrightarrow b, \\ ba \leftrightarrow c, \\ ca \leftrightarrow b, \\ cb \leftrightarrow a. \end{cases}$$
5. Построить ассоциативное исчисление с неразрешимой проблемой эквивалентности с 7 подстановками в двухбуквеном алфавите. Указаны и е. Разрешается воспользоваться тем, что для исчисления Цейтина (с. 8) проблема эквивалентности неразрешима.
6. Имеется число $n$, в записи которого нет нуле. Если в нем стоит рядом две одинаковые цифры или два одинаковых двухначных числа, то их разрешается вычеркнуть. Наоборот, в любое место разрешаетсяставить две одинаковые цифры или два одинаковых двухначных числа. Доказать, что, комбинируя эти операции, можно получить число, меньше 10$^9$. (Эта задача, приуманная Г. Гальперным, предлагалась на XXXIX Московской математической олимпиде.)

Задачи
наших читателей

1. Среди 15 одинаковых по виду шариков имеется один «бракованный», отличаюшийся от всех остальных по весу, и один отмеченный «стандартий».
   Как найти «бракованный» шар не более чем треяя взвешиваниями наащечных весах (без гирь)?
   M. Караджян
   (r. Степанаван)

2. Прямы, проходящие через основания высот $BB_0$ и $CC_0$ треугольника $ABC$, параллельны стороне $BC$ и пересекают стороны $AB$ и $CA$ (или их продолжения) соответствующего в точках $C_1$ и $B_1$. Докажите, что
   a) $|B_0C_1| = |B_1C_0|^2$;
   b) $|B_1C_1|^2 = |B_0B_1|^2 + |C_0C_1|^2 + |B_0C_0|^2$.
   Y. Алла
   (r. Выру)

3. Доказать неравенства
   $$1,71 < 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots + \frac{1}{n!} < 1,72.$$
   C. Берколаюк
   (c. Котово Белгородской обл.)

4. Решить уравнения
   a) $x^5 = \overline{yyyx}$;
   b) $(x + y)^2 = \overline{xy}$;
   b) $(xx)^2 = yzt \frac{x}{2}$.
   И. Михалкович
   (Mинская обл.)

5. В терраэдре $ABCD$ точки $A', B', C', D'$ — центры окружностей, описанных околой граней $BCD$, $CDA$, $DAB$, $ABC$ соответствующего на плоскости $B'C'D'$, $C'D'A'$, $D'A'B'$, $A'B'C'$, пересекаются в одной точке.
   Нечyen Конг Кви
   (r. Ханой)

11

Тогда получим

$$\cos \alpha_1' = \frac{2ac - (a^2 + c^2) \cos \alpha_1}{a^2 + c^2 - 2ac \cos \alpha_1} = \frac{2\varepsilon - (1 + \varepsilon^2) \cos \alpha_1}{1 + \varepsilon^2 - 2\varepsilon \cos \alpha_1}.$$

(3)

Аналогичное соответствие можно записать для углов $\alpha_1''$ и $\alpha_1''$ из треугольника $ANB$. Учитывая, что $\alpha_2 = \pi - \alpha_1''$ и $\alpha_1'' = \pi - \alpha_1'$, и используя соответствие (3), получим

$$\cos \alpha_2 = \cos (\pi - \alpha_1'') = -\cos \alpha_1'' = -\frac{2\varepsilon - (1 + \varepsilon^2) \cos \alpha_1''}{1 + \varepsilon^2 - 2\varepsilon \cos \alpha_1''} = -\frac{2\varepsilon + (1 + \varepsilon^2) \cos \alpha_1'}{1 + \varepsilon^2 + 2\varepsilon \cos \alpha_1'} = -\frac{4\varepsilon (1 + \varepsilon^2) - [4\varepsilon^2 + (1 + \varepsilon^2)] \cos \alpha_1}{4\varepsilon^2 + (1 + \varepsilon^2)^2 - 4\varepsilon (1 + \varepsilon^2) \cos \alpha_1}.$$

(4)

Пользовать выражением (4), не трудно показать, что для любых $\alpha_1$ таких, что $0 < \alpha_1 < \pi$ (огранничимся рассмотренем только верхней полуплоскости),

$$\cos \alpha_2 < \cos \alpha_1, \text{ и } \alpha_2 > \alpha_1.$$

Можно было бы продолжить рассмотрение хода луча $AM$ и найти выражения для соответствующих углов $\alpha_3$, $\alpha_4$, …, $\alpha_n$. Однако мы предоставим читателю продолжать это самостоятельное. Заметим лишь, что в обшем случае, при многократных отражениях, справедливо соответствие

$$\alpha_1 < \alpha_2 < \alpha_3 < \dots < \alpha_n.$$

С увеличением экспентриситета $\varepsilon$ «сходимость» лучей ускоряется.

В приведенной ниже таблице даны в качестве примера результаты расчета для углов $\alpha_2$, $\alpha_3$ и $\alpha_4$ в зависимости от угла $\alpha_1$. Экспентриситет эллипса $\varepsilon = 0,5$. Из таблицы видно, что уже после третього цикла отражений почти все лучи «выстраиваются» вдоль большей оси эллипса.

Аналогичные рассуждания можно проведити для зеркального эллипсона. Можно рассмотреть и более сложные задачи, например, когда источник света находится в произвольной точке внутри эллипсона или когда каждой точка внутри поверхности эллипсона является излучателем.

В начале мы назвали рассматриваемое свойство зеркального эллипсона интересным геометрическим свойством. Но тот факт, что почти все лучи «выстраиваются» вдоль большей оси эллипсона, означает, что световая энергия почти все концентрируется в одном направлении. Можно быть, это можно использовать практическими?

Заметим, однако, что необходимо для этого условия — идеально отражающая зеркальная поверхность эллипсона и «мгновенная» вспышка — практическими неосуществными. Особенно сложно выполнить второе условие. Действительно, время вспышки т должно бытся бы мы меньше времени прохождения светом пути $AMB: \tau < \frac{r_1 + r_2}{c_0} = \frac{2a}{c_0}$. Посокльку скорость света в вакууме $c_0 = 3 \cdot 10^8 \text{ m/сек}$, то при разумных размерах эллипсона ($a \sim 1 \text{ m}$) $\tau < 10^{-8} \text{ сек}$. Так что рассмотренная задача пока представляется чисто теоретический интерес.