Задачи

38

Задания

1. а) Два чудака стройт на бесконечном листе бумаги в клетку ломаную, прибавляя по очереди с любой стороны одно ребро длины 1, причем проходить дважды по одному отрезку запрещается. Чудак, не имеющий возможности сделать ход, проигравает. Докажите, что первый чудак может не проиграть, а второй чудак не может проиграть.

6. Два чудака продолжают играть. Тепер они по очереди reject волейбольную сетку $n \times n$ ячеек, разрезая каждый раз по одному nitke. Чудак, после разреза которого сетка распадается на два куска, проигравает. Кто выигравает?

2. Некоторые число при делении на 1976 и на 1977 дает в остатке 76. Какой остаток даст это число при делении на 39?

3. Шахматная фигура «кентавр» ходит как конь, но не может ходить на два поля вверх и одно направо, а также на два поля вниз и одно направо. Может ли кентавр обойти всю шахматную доску, побивав на каждом поле только по одному разу, и вернуть на исходную клетку?

4. На самом левом поле клетчатой полосы $1 \times 1977$ лежат три пуговицы. Саша и Люся играют в следующую игру: каждый из них может перевести любую пуговицу (но только одну ход) вправо на любое число полей. Проигравает тот, кому некуда ходить. Докажите, что Люся, начиная, может обеспечить себе победу.

5. Имеется квадратный участок лева со стороны 1 км. Лес состоит из деревьев диаметром 50 см. Таня выяснила, что через этот лес нельзя пройти ни по какой прямой с одной стороны на противоположную. Доказать, что в лесу не менее двух тысяч деревьев.