Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

54

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

В этом номере мы публикуем образцы вариантов письменного экзамена по математике и задач устного экзамена по физике, предложшихся в МГУ на механико-математическом факультете, факультете вычислительной математики и кибернетики и физическим факультете в 1976 году.

Математика

Механико-математический факультет

1. Решить уравнение
   $$\log_{\sin(-x)} \left( \sin \frac{x}{2} + \sin \frac{3x}{2} \right) = 1.$$

2. Решить неравенство
   $$\frac{7}{9^x} - 2 \geq \frac{2}{3^x} - 1.$$

3. В треугольнике $ABC$ ($\widehat{C} = 90^\circ$; $\widehat{B} = 30^\circ$, $|CA| = 1$) проведена медиана $CD$. Кроме того, из точки $D$ под углом $15^\circ$ к гипotenузе проведена прямая, пересекающая отрезок $BC$ в точке $F$. Найти плоскольтую треугольника $CDF$. Указать ее приближение значение в виде десятичной дроби с точностью до 0,01.

4. Три шара, среди которых имеются два одинаковых, касаются плоскости $P$ и, кроме того, попарно касаются друг друга. Вершина прямого кругового конуса принадлежит плоскости $P$, а ось конуса перепендикулярна к этой плоскости. Все три шара лежат в конуса, причем каждой из них касается некоторой образующей конуса. Найти косинус угла между образующей конуса и плоскостью $P$, если известно, что в треугольнике с вершинами в точках касания шаров с плоскостью $P$ вершина одного из углов равна $150^\circ$.

5. Числа $r$, $s$, $t$ таковы, что $r < s < t$. Кроме того, известно, что после подстановки каждой из трех чисел $r$, $s$, $t$ вместе $y$ в равенство
   $$x^2 - (9 - y)x + y^2 - 9y_r + 15 = 0$$
   по меньшей мере одно из двух остальных чисел будет содержаться среди корней полученного квадратного уравнения. Доказать, что $-1 < r < 1$.

Факультет вычислительной математики и кибернетики

1. Данны: паралелограмм со сторонами, равными $\sqrt{19}$ и $\sqrt{2}/6$, и углом $45^\circ$ между ними и квадрат со сторонами, равной $3\sqrt{2}/5$. Определить, что больше: площадь паралелограмма или площадь квадрата.

2. Решить систему уравнений
   $$\begin{cases} 7^y \cdot \log_5 x = -2, \\ 4 \cdot 7^y + \log_5 x = 2. \end{cases}$$

3. Решить уравнение
   $$\sqrt{2 + \text{ctg} x - \sin^2 x} - \sqrt{\frac{4}{17} - \sin^2 x} = \sqrt{\frac{30}{17} + \text{ctg} x}.$$

4. На плоскости данной две пересекающей окружности. Первая имеет центр в точке $N_1$ и радиус, равный $5\sqrt{2}$; вторая в точке $N_2$ и радиус, равный 8. Отрезок $N_1N_2$ пересекает обе окружности, а величина угла $FN_2N_1$, где $F$ — одна из точек пересечения окружностей, равна $45^\circ$. Вершина $L$ прямого треугольника $KLM$ является точкой пересечения первого окружности и отрезка $N_1N_2$, а сторона $KM$ — хордой второй окружности, перпендикулярной к прямой, проходящей через точки $N_1$ и $N_2$. Найти стороны треугольника $KLM$, если известно, что $|KL| > 8$.

5. Найти все положительные числа $a$, для которых существует бесконечную много чисел $x$ и $y$, одновременно удовлетворяющих следующим условиям:
   $$18x^2 + \frac{3}{2}(1 - a)(x^3 + 9x) - \frac{1}{8}a(x^2 + 9)^2 \leq 0,$$
   $$\frac{6x}{x^2 + 9} = \frac{1}{9y} + \frac{ay}{3} + \frac{a}{6},$$
   $$y > 0.$$

Физическая факультет

1. Решить уравнение
   $$1 - 2\sqrt{2}\cos^3 3x + \cos 6x = 0.$$

2. Решить неравенство
   $$\log_{\sqrt{3}}(4 - x) < 4 + 2\log_3(x + 3).$$

3. Решить систему уравнений
   $$\begin{cases} \frac{x - 2y}{2} + \frac{x - 2y}{4} = 20, \\ \frac{x}{2} + 4 - \frac{y}{2} = 10. \end{cases}$$

4. В треугольнике $KLM$, все стороны которого различны, биссертиса угла $KLM$ пересекает сторону $KM$ в точке $N$. Через точку $N$ проведена прямая, пересекающая сторону $LM$ в точке $A$ такой, что $|MN| = |AM|$.

55

Известно, что $|LN|=a, |KL|+|KN|=b$. Найти длину отрезка $AL$.

5. Все плоские углы трехгранного угла $SPQR$ ($S$ — вершина) — прямые. На грани $PQS$ взята точка $A$ на расстоянии 12 от ребра $QS$ и на расстоянии 5 от ребра $PS$. Из некоторой точки $T$, расположенной внутри трехгранного угла $SPQR$, в точку $A$ направлен луч света. Он образует угол $\pi/4$ с ребром $RS$ и угол $\pi/3$ с ребром $PS$. Луч зеркально отракается от граней угла $SPQR$ сначала в точке $A$, затем в точке $B$, затем — в точке $C$. Найти длину отрезка $BC$.

Физика

Механико-mатематический факультет и факультет вычислительной математики и кибернетики

1. Два тела с массами $m_1=100$ e и $m_2=600$ e соединены между собой при помощи невесомой нерактижимой нити и системы блоков (рис. 1). Один конец нити неподвижно закреплен. Тело массы $m_1$ скользит по наклонной плоскости, составляющей горизонтом угол $\alpha=30^\circ$. Определить ускорение $a_2$ тела с массой $m_2$. Треннем и массой блоков пренебречь.

2. К концам проводки длиной $l=0,2$ m, согласно посередине под прямым углом, прикреплены шарики одинаковой массы. Проволоку повесили углом на гвоздь $A$ (рис. 2), а затем отклонили так, что одно колено проводки стало горизонтальным, а другое вертикальным, и отпустили без толчка. Найти модель скорости шариков в момент прохождения положения равновесия. Проволоку считать жесткой и невесомой. Треннем пренебречь.

3. К гвоздю, вбитому в стенку, привязана нить, намотанная на катушку. Катушка висит, касаясь стенки, как показано на рисунке 3, причем нить составляет со стенкой угол $\alpha=30^\circ$. Радиус оси катушки $r=1$ cm, радиус ее шечек $R=10$ cm. Найти минимальную величину коэффициента трення $\mu$ между стенкой и катушкой.

4. На цилиндр навигавака, конец которой закреплен в верхней точке наклонной плоскости. Цилиндр лежит на наклонной плоскости, как показано на рисунке 4, причем навигаваме имеет горизонтальное направление. Масса цилиндра $m=10$ кц. Найти модель силы $\vec{F}$ давления цилиндра на плоскость.

5. Посередние цилиндра, герметически закрытого с обихом концов и закрепленного под углом $\alpha=30^\circ$ к горизонту, находится поршень массы $m=1$ кц (рис. 5). Площадь поршня $S=10$ cm². Давление воздуха под поршнем и над ним одно и то же и равно $p=1,5 \cdot 10^4$ h/m². С каким начальнымускорением будет движаться поршень, если его предварительно медленно передвинуть, увеличив объем под ним в $n=1,5$ раза, а затем отпускить? Треннем пренебречь.

6. При небольших загруженных одноименным электрическим зарядом шарика нахождения в равновесии на двух одинаковым образом наклонных к горизонту гладких непроводящих плоскости, расположясь в вершинах равностороннего треугольника (рис. 6). Заряд шариков 1 и 2 один и тот же и вдвое превосходит заряд шарика 3. Найти отношение масс второго и третього шариков.

7. По двум параллельным металлическим рейкам, отстоящим друг от друга на расстояние $l=20$ cm, движется с постоянной скоростью $|v|=6$ м/сек проводник, перpendикулярный к рейкам (рис. 7). Рейки соединены с батареей из двух конденсаторов, емкости которых $C_1=4$ мкф и $C_2=6$ мкф. Все про-

56

Рис. 7. Рис. 8. Рис. 9.

водники расположены в одной плоскости и находятся в постоянном магнитном поле, индукция которого направлена perpendicularно к плоскости контура, образованного проводниками, и $|\vec{B}|=1$ мл. Найти напряжение $U_1$ между пластинами конденсатора емкостью $C_1$.

8. Точка лежит на оптической оси coincюшей линии на расстоянии $d=40$ см от линии. Фокусное расстояние линии $F=10$ см. Точка переместила на расстояние $L=5$ см в плоскости, perpendicularной к оптической оси. На какое расстояние $l$ нужно подвинуть линии, чтобы изображение точки получилось в первоначальном месте?

9. Какую выдержку должен обеспечить затвор фооаппарата при съемке прыжка вводу, если прыжок производится с вышки высотой $h=10$ м, а смесение изображения на негативное положение $\Delta l=0,1$ мм? Фотограф располагается у края бассейна на расстоянии $a=15$ м от места погружения прыжка. Фокусное расстояние объектива фооаппарата $F=15$ см. Сопротивлением воздуха пребрежь.

10. Плоская поверхность плоско-вогнутой линии с фокусным расстоянием $|F|=3$ см посередбена. На расстоянии $d=6$ см от линии на ее оптической оси со стороны вогнутой поверхности находится точный источник света. Найти расстояние $l$ между источником и его изображением.

Физический факультет

1. Ракета, запущенная в вертикальном направлении с земли, движется с постояннымускорением $2|\vec{g}|$ в течение $t=50$ сек. Затем движется мгновенно выключают. Определить максимальное высоту подъема ракеты. Сопротивлениемускорения пребрежь. Считать, что $|\vec{g}|=10$ м/сек².

2. Маленькое тело массы $m$ свободно падает с высоты $h$, попадает в середину однородной доски массы $M$ и мгновенно приплпает к ней (рис. 8). Доска лежит горизонтально на прыжке, коэффициент упругости которой равен $k$. Определить максимальное скатание (то есть изменение длины) прыжны. Массой прыжны пребрежь.

3. Небольшое тело $M$ начинает скальнить без начальной скорости из верхней точки наклонной плоскости. наклонная плоскость установлена на горизонтальном столе, как показано на рисунке 9, и имеет высоту $H$ и угол наклона $\alpha$. Коэффициент трения тела о плоскость равен $\mu$. На каком расстоянии по горизонтали от нижнего конца $A$ наклонной плоскости тела упадет на пол, если высота стола $h$?

4. Сколько угля потребуется для переправки карвана судов на расстояние $L=100$ км, если буксирный трос натягивает с силой $|\vec{F}|=80$ кн, а буксир без карвана при той же самой мощности движения скорость в $n=4$ раза больше ую, скигая одно и то же количество угля в час? Считать, что сопротивление воды пропорционально скорости. К. п. д. судового движения $\eta=10\%$. Теллота сторания угля $q=7000$ ккал/кг.

5. В стальном резервуарах находится скатный воздух при температуре $t_1=-23^\circ\text{C}$. На резервуара имеется предохранительный клапан. Клапан открывается, если давление в резервуара увеличитается на 2 ампм. При нагревании резервуара до $t_2=27^\circ\text{C}$ из него вышло 10% массы газа. Какое давление газа было первоначально в резервуара? Телловым распределением резервуара пребрежь.

6. В двух объемах находится в одном $N_1=10^{19}$, в другом $N_2=4 \cdot 10^{18}$ молекул одного и того же газа. Объемы приводятся в тепловой контакт. В исходном состоянии внутренняя энергия первого газа была на $W=1,9$ дж больше, чем у второго. В установившемся состоянии средняя энергия, прихождения на долю одного молекулы, в первом объеме уменьшилась на 25%. Какова внутренняя энергия газа в первом объеме? Газ считать идеальным. Теллообменом с окружающими телами пребрежь.

7. Стеклянный сосуд кубичской формы, находящейся при температуре $t$, наполнен жидкость, вес которой $\mathcal{P}$. При нагревании сосуда до температуры $t_1$ часть жидкости вытекает, и вес ее становится равным $\mathcal{P}_1$. Определить коэффициент объемного распределения стекла равен $\beta$.

8. В цепи, изображенной на рисунке 10, $\mathcal{E}_1=1$ в, $\mathcal{E}_2=2$ в, $C_1=10$ мкф, $C_2=20$ мкф. Найти заряд на обкладках конденсатора емкости $C_2$, если заряд на обкладках конденсатора емкости $C_1$ равен $Q_1=10^{-5}$ к.

9. От источника с напряжением 110 в необходимо передать полезную мощность 5 ккал на некоторое расстояние. Какое наиболее сопротивление может иметь линяэлектропередачи, чтобы энергии в ней не превышала 10% от потребляемой полезной мощности?