О хордах непрерывных кривых

Квант 1977, №4 с. 27-29 Тег URYZ

Обобщая понятие хорды окружности, хордой произвольной кривой α мы будем называть любой отрезок, концы которого принадлежат α. Например, у кривой α, изображенной на рисунке 1, хордиami являются не только отрезки PQ и RS, но и составляющий часть кривой α отрезок TU.

О задаче M413

В этой задаче («Квант», 1976, № 11) представлены выяснить, для каких положительных чисел α верно следует утверждение: для любой функции f, определенной на отрезке [0, 1], непрерывной в каждой точке этого отрезка и максим, что f(0)=f(1)=0, уравнение

$f(x+a)-f(x)=0$

(1) имеет решение.

Решим ее. Перепишем уравнение (1) в равnocльной форме

$f(x+a)=f(x).$

Мы считаем (см. условие задачи), что в уравнениях (1), (2) a>0, а функция f определяена на отрезке [0, 1], непрерывна в каждой точке этого отрезка и f(0)=f(1)=0.

График α функция f — это непрерывная кривая, соединяющая точки A〈0, 0〉 и B·〈1, 0〉. График β функция y=f(x+a) получается параллельным переносом кривой α вдоль оси абсцисс влево (поскольку a>0) на a (рис. 2).

Существование решения у уравнения (2) означает, что график α и β пересекаются: если f(x₀+a)=f(x₀)=y₀, то точка с координатами〈x₀, y₀〉 принадлежит и α, и β (рис. 3).

Оказывается, для того чтобы кривые α и β пересекались, необходимо и достаточно, чтобы у α была параллельная оси абсцисс хорда длины a. Это утверждение вытекает из такой леммы (доказите ее самостояльно):

Лемма. Кривая α, соединиющая точки A и B,_MODEA и молко_MODEA имеем паралельную AB хорду длины r, коеда кривая β, полученная из α паралельным переносом в направлении BA на расстояние r, пересекается с α.

Таким образом, мы можем «перевести» задачу M413 на «язык хорд»: требуется выяснить, при каких положительных α график любой функции f, определенной на отрезке [0, 1], непрерывной в каждой точке этого отрезка и максим, что f(0)=f(1)=0, имеем паралельную оси абсцисс хорду длины a.

«Пложение» числа: a≠1/n.

Покажем, что для любого положительного α, не равного $\frac{1}{n}$ (n=1, 2, 3, 4, …), существует функция описанного вида, график которого не имеет паралельной оси абсцисс хорду длины a.

Очевидно, у любой такой функции для любой хорды CD ее графика, параллельной оси абсцисс, |CD|≤|AB|=1 (рис. 4). Поэтому можно делать считать, что 0<a<1.

Если $\frac{1}{2}<a<1$ , проведем через A и B любые прямые u₁||u₂ и через середину R₁ отрезка AB — любую пересекающую их прямую v₁. Легко видеть, что функция f₂, график которого является ломаная α₂=AP₁Q₁B (рис. 5), — искомая, поскольку для любой хорды CD ее графика, параллельной оси абсцисс, |CD|≤1.

Пусть теперь $\frac{1}{3}<a<\frac{1}{2}$ . Разделим отрезок AB точками R₁, R₂ на три равные части и, независимо от этого, точкой S₁— пополам. Проведем

через $A$ , $S_1$ и $B$ любые параллельные между собой прямы $u_1 \parallel u_2 \parallel u_3$ и через $R_1$ , $R_2$ — любые пересекающие их параллельные между собой прямы $v_1 \parallel v_2$ . Функция $f_3$ , график которого является ломаная $\alpha_3 = AP_1Q_1P_2Q_2B$ (рис. 6), — искомая: для любой хорды $CD$ ее графика, параллельной оси абсцисс, либо $|CD| \leq \frac{1}{3}$ , либо $|CD| \geq \frac{1}{2}$ . В самом деле. Если точки $C$ и $D$ лежат на сеседних звеньях ломаной $\alpha_3$ (т. е. на $AP_1$ и $P_1Q_1$ или на $P_1Q_1$ и $Q_1P_2$ и т. д.), то, очевидно, $|CD| \leq \frac{1}{3}$ . Если точки $C$ и $D$ лежат «через одно звено», то либо $|CD| = \frac{1}{3}$ (когда $C \in P_1Q_1$ , $D \in P_2Q_2$ ), либо $|CD| = \frac{1}{2}$ . В остальных случаях $|CD| > \frac{1}{2}$ .

Аналогично строится ломаная $\alpha_n$ (график функции $f_n$ ), соединяющая $A$ и $B$ и не содержащая никакой параллельной оси абсцисс хорды $CD$ такой, что $\frac{1}{n} < |CD| < \frac{1}{n-1}$ . Разделим отрезок $AB$ точками $R_1, R_2, \dots, R_{n-1}$ на $n$ равных частей и, независяimo от этого, точками $S_1, S_2, \dots, S_{n-2}$ — на $n-1$ равных частей. Проведем через $A, S_1, S_2, \dots, S_{n-2}$ и $B$ любые параллельные между собой прямы $u_1, u_2, \dots, u_n$ и через $R_1, R_2, \dots, R_{n-1}$ — любые пересекающие их параллельные между собой прямы $v_1, v_2, \dots, v_{n-1}$ . Ломаная $\alpha_n = AP_1Q_1P_2Q_2 \dots P_{n-1}Q_{n-1}B$ (на рисунке 7 изображена ломаная $\alpha_6$ ) — искомая. Установливается это опять-tаки перебором различных возможных положений точек $C$ и $D$ (проверьте!).

У пряжен и е 1. Проверьте, что при $n = 2, 3, 4, \dots$ график функции $g_n$ :
$g_n(x) = \sin(2\pi(n-1)x)$
на отрезке $[0, 1]$ не имеет параллельной оси абсцисс хорды длины $\frac{1}{n} < a < \frac{1}{n-1}$ . Нарисуйте этот график.

У пряжен и е 2. Докажите, что при любом положительном $a$ , не равном $\frac{1}{n}(n=1,2,3,4,\dots)$ , график функции $h_a$ :
$h_a(x) = \sin^2\left(\frac{\pi}{a}x\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{a}\right)x$

《Хорошие》числа: $a = \frac{1}{n}$

Мы докажем, что при $a = \frac{1}{n}$ ( $n = 1, 2, 3, 4, \dots$ ) график любой функции $f$ рассматривается вида имеет на отрезке [0, 1] паралельную оси абсцисс хорду длины $a$ .

В самом деле: путь $M_0$ и $N_0$ — точки на графике функции $f$ , соответствующие наибольшем и наименьшем значению этой функции. Проведем через $M_0$ и $N_0$ прямые $m$ и $n$ , паралельные оси абсцисс. Ясно, что весь график функции $f$ расположен в полосе $\Delta$ , ограниченной прямыми $m$ и $n$ (рис. 8).

Допустим теперь, что график функции $f$ не имеет паралельной оси абсцисс хорду длины $a = \frac{1}{n}$ .

Обозначим через $\alpha_0$ график рассматриваемой функции $f$ , а через $\alpha_h$ — линю, получающийся из $\alpha_0$ паралельным переносом в направлении оси абсцисс вправа на расстояние $ka$ ( $k = 1, 2, \dots, n$ ).

Согласно лемме, кривые $\alpha_0$ и $\alpha_1$ не имеют общих точек. Дуга $M_0N_0$ графика $\alpha_0$ (на рисунке 8 она выделена жирно) делит полосу $\Delta$ на две части — правую и левую. Так как кривая $\alpha_1$ не пересекается с $\alpha_0$ и не перерывна, она целиком расположена в правой из этих частей.

Следовательно, если $M_kN_k$ — дуга линия $\alpha_k$ , получающая из $M_0N_0$ паралельным переносом, то при $l > k$ вся линя $\alpha_l$ расположена в полосе $\Delta$ с правой от дуги $M_kN_k$ , а при $l < k$ — слева от $M_kN_k$ .

В частности, линя $\alpha_0$ расположена в полосе $\Delta$ слева от $M_1N_1$ , а линя $\alpha_n$ — справа от $M_1N_1$ , и потому ли-

ни $\alpha_0$ и $\alpha_n$ не имеем общих точек.

С другой стороны, линя $\alpha_n$ получается из $\alpha_0$ паралельным переносом на расстояние $na = 1$ . При этом перенос точки $A \in \alpha_0$ переходит в точку $B$ , то есть $B \in \alpha_n$ . Так как, кроме того, $B \in \alpha_0$ , то лини $\alpha_0$ и $\alpha_n$ имеем общую точку.

Полученное противоречие и доказывает, что линя $\alpha_0$ имеет паралельную оси абсцисс хорду длины $1/n$ . Тем самым задача M413 решена полностью.

У праванке 3. Докажите, что это утверждение (о существовании хорды длины $1/n$ , паралельной оси абсцисс) справедливо не только для лини $\alpha_0$ , являющейся графиком и коем функцией, но и для произвольной непрерывной кривой, соединяющей точки $A = < 0, 0>$ и $B = < 1, 0>$ .

Обобщение

Проведенное в предыдущем пункте рассуждание можно осмыслить следующим образом. Пусть $\alpha_0$ — произвольная непрерывная кривая, соединяющая точки $A$ и $B$ . Предположим, что число $a = \frac{1}{n}$ является для этой кривой «плохим», то есть при паралельном переносе на расстояние $a$ получается линя $\alpha_1$ , не имеющая с $\alpha_0$ общих точек. Тогда числа $2a, \dots, na$ также является для лини $\alpha_0$ «плохими», откуда и получается противоречение, завершающее доказательство.

Читатель может самостоятельно проверить (повторяя то же рассужение), что справедливо следующей более общее утверждение:

Если непрерывная кривая $\alpha$ , соединяющая $A$ и $B$ , не имеет паралельной AB хорды длины $p$ и не имеет паралельной AB хорды длины $q$ , то она не имеет также и паралельной AB хорды длины $p + q$ .