42
Равноугольная спираль
На второй странице обложки изображены два семейства конгрузных между собой равноугольных спиралей (точнее — вписанных в них ломаны из хорд).
Равноугольная спираль может быть определена как траектория точки M, которая движется по лучу, равномерно врашащему вокруг точки O (полюса спирали), причем ее суммарная скорость в каждой момент образует с лучом один и тот же угол α (рис. 1). Спираль эта имеет бесконечно много витков не только при раскручинии, но и при закручинии.
По этой спирали летят на пламя свечи новые баочки. Из-за сложного устройства глаз они направляются к целли так, что их скорость составляет постоянный угол с направлением на пламя свечи. По этой спирали моллюск направляется секции своей раковины (рис. 2).
Равноугольная спираль используется в разнообразных технических устройствах. Например, врашащие ножки в резуших машинах часто имеют профиль, очеченный по равноугольной спирали — под постоянным углом к разрезаемой поверхности, благодаря чемуlezвие ножка сращивается равномерно (рис. 3).
Вернувшись к рисунку на обложке, вы заметите, что спирали одного семейства на нем могут быть совмещены друг с другом поворотом относительно центра всей фигуры (он же — полос каждой из спиралей) на угол . Еще
*) Равноугольную спираль называют также матрифический.
раз встречшись в тот же рисунок, вы заметите переходящие друг в друга в результате гомотетии относительно общшего центра четырехугольники (каждый из них есть обведенное двух треугольников — равностороннего и равнобедренного прямоугольного). Равноугольная спираль при гомотетии относительно полюса также переходит с себя.
Вот эти два свойства равноугольной спирали (то, что она при врашении и гомотетии переходит с себя) настолько восхитили Я. Бернулли*), что он распорядился выгравировать ее изображение на своей надгробном памятнике. Особенности этой замечательной кривой при влекалки многохвилих выдаюшихся математиков. Первые из них были Э. Торрицелли** и Р. Декарт (1596—1650)***.
Э. Торрицелли, кстати, выяснили удивительные факты. Оказывается, несмотря на бесконечное число витков, длина других логарифмических спирали от произвольной ее точки A до полюса O конечна.
Действительно, обратимся к рисунку 4. Пусть равноугольная спираль катится без скольжения по своей касательной AB. Полос спирали O будет тогда перемещаться под прямым углом к AO и, в конце концов, попадет в точку B. А дуга AO прокатится без скольжения по AB. Поэтому длина AO равна .
А теперь задача: требуется найти полос равноугольной спирали, если известны направления касательных в трех известных ее точках.
В. Березин
*) См. «Лемниската Бернулли», «Квант», № 1. 1977.
**) См. «Строфида», «Квант», 1977, № 2.
***) Рене Декарт — математик, физик, физофизик. Родился он во Франции в городе, носящем ныне его имя. Декарт — создатель «всеобещей математики», которая, по его замыслу, должна быть стать универсальным средством исследования в научках о природе. В его работах получил развитие метод исследования, опирающийся на разносторонние использование алгебраических уравнений. Из «всеобещей математики» выросли алгебра и анализческая геометрия. Книги Р. Декарта многоне десятилетия являлись настольными для творческих работющих математиков.